顆粒流體數學模型研究進展

譚 成，張克平

(甘肅農業大學工學院，甘肅蘭州 730070)

顆粒流體數學模型研究進展

譚 成，張克平

(甘肅農業大學工學院，甘肅蘭州 730070)

顆粒流廣泛存在于工農業生產過程中，分析顆粒體系的流體動力學特征越來越受到眾多科研工作者的關注，但是人們對于其機理認識的還不深入。介紹了描述顆粒流動的數學模型，深入分析了各個模型的適用范圍和優缺點，探討了目前存在的問題和今后研究的重點。

顆粒流；數值模擬；數學模型；兩相流

在自然環境中，以顆粒狀態存在的物質非常之多。所謂“顆粒流”，是指顆粒在其內應力和所受到的外力的共同作用下發生的類似流體的運動狀態[1-2]。在食品、生物制藥等很多工農業生產領域都會遇到顆粒流問題，但人們一直對顆粒流方面的知識尤其是它的機理認識不夠深入。據相關部門統計，在相關的工農業生產部門中，單憑輸送顆粒材料所遭遇的問題，在工農業設備利用能力方面造成的浪費就已經達到40%左右，與節約能源和優化設計的目標要求相差甚遠[3]。顆粒流是一個復雜的多相體系，研究者大多將其視為兩相流來研究。在20世紀之前，就有相關科研工作者展開了對溝渠中泥沙的顆粒兩相流的研究[4]。但是真正對顆粒流系統展開理論研究，是從20世紀40年代末開始。近些年來，研究工作者們根據不同的假設以及觀點建立了不同的顆粒流動的數學模型。主要歸結為2類觀點：一是把顆粒群體看作離散體系，把流體看作連續介質；二是把顆粒群體看作擬流體，把流體看作連續介質，假設顆粒群體在空間上有連續的速度場和溫度場分布，即連續介質模型、離散顆粒模型和流體擬顆粒模型。

本研究綜述了顆粒流動兩相流的3種數學模型，分析了各個模型的適用范圍和特點，并對其進行展望。

1 連續介質模型

1.1連續介質模型定義及常見的3種數學表達式

在對顆粒兩相流進行研究的過程中，很多研究工作者把離散的顆粒相看成是擬流體，擬流體與真實流體在同一時間充滿同一個空間，這就是連續介質模型。

連續介質模型主要包括3種：塑性模型﹑黏性流動模型﹑勢流模型。塑性模型主要由2個內容組成，一是屈服函數，二是流動判據。

在Mohr-Coulomb條件下屈服條件的數學表達式如式(1)所示。

|τn|=c+σntanΦ。

(1)

式中：σn為單位黏聚力；Φ為內摩擦角。

黏性流動模型的數學表達式如式(2)所示。

div(εsρsvΦ-εsμsgradΦ)=-εsgradPs-εsρsg+F。

(2)

式中：μs為固體顆粒黏度；F為除重力以外的其他作用力。

勢流模型的數學表達式可分別由連續方程和動量方程表示，表達式如式(3)和式(4)所示。

連續方程：

div(ρsv)=s；

(3)

動量方程：

div(-ρsgradψs)=s。

(4)

1.2連續介質模型的特點

CFD軟件是計算流體力學軟件的簡稱，是基于流體控制方程對流體問題模型求解，用來進行流場分析、計算、預測的專用工具，隨著計算機硬件技術的飛速發展，已逐漸作為一種新手段受到重視。近幾十年來CFD軟件得到了蓬勃的發展[5-7]，在顆粒兩相流的研究成果上有很多。而在一般情況下，顆粒單相流動的方程形式恰恰與顆粒兩相流動的方程形式差別不是很大，因而可借助CFD對顆粒兩相流的研究成果。另外，在連續介質模型的數學方程中，用“場”來表示固相方程，使得研究工作者可以很方便地運用高等數學中的微積分方法來求解固相方程[8]。

連續介質模型的缺點如下：首先，該模型沒有把顆粒的直徑、顆粒的形態、顆粒的大小、顆粒的分布等因素對顆粒的影響考慮在內；其次，該模型的基本假設是連續性假設，即假設離散在流體中的顆粒是充滿整個空間并且完全沒有空隙的流體。然而，在實際工況中，當流體中的顆粒濃度相對較低或者存在不均勻分布這一特點時，顯然該模型的基本假設是不成立的[9]。

1.3連續介質模型的分類及其應用發展

宏觀上連續介質模型可以分成2種：一是通過對非連續的顆粒相平均處理來研究顆粒相群體的平均行為，解決的方法跟單相流動相似，都是利用各種實驗結果﹑已知的經驗公式將偏微分方程組封閉，然后再進行求解；二是把顆粒流體系統分為不同的連續介質，然后通過引入不同連續介質之間的相互作用建立數學模型。例如：在流態化研究中，科研工作者使用Davidson氣泡模型[10]。該模型把顆粒流體系統分為乳化顆粒連續介質和氣泡連續介質，乳化顆粒連續介質和氣泡連續介質兩者間是相互獨立的，互相不包含彼此，氣泡往上運動，乳化顆粒向兩邊運動，通過這兩者之間的相互作用建立數學模型。

連續介質模型具體可細分為3種，分別是擴散模型﹑單流體模型﹑雙(多)流體模型，其中雙流體模型包括小滑移雙流體模型和完整的有滑移-擴散的雙流體模型[11]。

1.4連續介質模型的應用發展

基于上述的優點，GIDASPOW等在運用該模型對氣固流態化進行模擬的研究中，獲得了較有影響的研究成果[12-14]。基于前述的缺點，該模型產生的誤差較大，模擬精度不高，適用范圍有局限，所以該模型仍然處于一個發展的初期。

2 離散顆粒模型及其特點、應用

2.1離散顆粒模型

離散顆粒模型是把顆粒當作離散體系，在拉格朗日坐標系中，對顆粒與顆粒﹑流體與顆粒之間的相互作用力分別列出運動方程，直接模擬顆粒與顆粒之間的碰撞過程。對顆粒與顆粒之間的碰撞存在2種假設，一是硬球模型，二是軟球模型。

2.1.1 硬球模型

硬球模型假設顆粒與顆粒之間的碰撞是瞬時的，碰撞的過程中顆粒本身不會產生明顯的塑性變形，3個以上的顆粒同時碰撞不作考慮，僅考慮2個顆粒的瞬時碰撞。該模型能跟蹤所有顆粒，然而由于該模型假設顆粒間的碰撞是瞬時碰撞，所以不能對靜態系統模擬。另外，在大顆粒系統中，該模型選取的各個參數是真實值，其推導的公式具有合理的理論基礎，但是模擬系統的顆粒數目不能太多。

針對模擬系統的顆粒數目不能太多這一缺點，TSUJI曾使用硬球模型與Monte-Carlo相結合的方法，對大規模顆粒構成的氣固兩相流動進行了數值模擬。但是，在固相濃度較大時，顆粒間的碰撞率小于1的條件以及顆粒與顆粒之間的碰撞是瞬時的這個假設都將不能滿足。因此，硬球模型主要適用于顆粒相濃度低、顆粒流相對比較快的顆粒流中。

2.1.2 軟球模型

與硬球模型相比，軟球模型假設顆粒與顆粒之間的碰撞不是瞬時的，可以持續一段時間，把3個以上的顆粒同時碰撞也放在考慮范圍之內，因此軟球模型適用范圍比較廣。另外，軟球模型可以跟蹤顆粒流場中的所有顆粒，所以它能夠相對比較準確地描述顆粒碰撞接觸過程中產生的碰撞力。

但是，軟球模型的計算工作量大，因此模擬顆粒的直徑、數量等這參數將受到嚴格限制，與實際規模的數值模擬相比具有較大差距。從現實的狀況來看，目前該模型的應用成果仍局限于裝置規模小、直徑相對比較大的顆粒、時間周期短的模擬。

2.2離散顆粒模型的特點及其應用發展

離散顆粒模型能相對比較準確地描述顆粒兩相流的實際運動原理，而且由碰撞模型理論所得到的顆粒兩相流方程很好求解。不足的是，離散顆粒模型在建立模擬碰撞方程時，所得到的顆粒運動方程與顆粒數同樣多，這就造成了計算工作量大，模擬真實流場的精度不高；另外數值模擬迭代次數大，易出現收斂問題。

為了克服計算工作量大的缺點，YONEMURA的直接模擬Mmonte-Carlo法引入了碰撞幾率的概念，認為顆粒間的碰撞由碰撞幾率而不是顆粒的運動軌跡所決定[15]。這種降低計算量的簡化處理方法使得軌道模型不再完全跟蹤所有顆粒的運動，在一定程度上淹沒了離散顆粒模型的跟蹤運動的優點。

3 流體擬顆粒模型

3.1流體擬顆粒模型的提出背景

在使用連續介質模型的過程中，科研工作者們所采用的微元，雖然它們的內部結構相對比較豐富，但這些微元不是完全處于近平衡狀態，這時簡單的本構關系就不再適用。另外，由于人們對多尺度結構的形成和相互作用的機理知之甚少，所以很不合理也很無可奈何地舍去了其中的一些差別影響，主要從現象的描述入手，用那些可靠性和適用范圍均有局限性的經驗和理論來估計修正結構的影響。在沒有系統的理論基礎情況下，各種龐雜的修正之間容易產生相互沖突甚至會出現違背基本原理的情況。

當然目前也有一些模型，如Davidson鼓泡模型[16]﹑環核結構模型[17]和EMMS模型[18]等已經考慮不均勻結構和間斷性的存在，但它們都結合了具體系統的特性，對結構設定了先驗的輪廓，而且只是對系統中典型的整體和時均行為的描述，因而還是相當粗略的，難以系統地改進微元模型。

3.2流體擬顆粒模型的核心思想

為了能準確地模擬顆粒流體系統在連續介質尺度上的行為，必須從更小的尺度上模擬顆粒及其周圍流體的運動。基于此，研究者提出了流體擬顆粒模型[19]。該模型把顆粒當作離散相，將氣體當成離散的氣體“顆粒”微團，通過模擬氣體“顆粒”與真實固體顆粒之間的碰撞等相互作用，來描述研究對象，從而精確把握顆粒兩相流動中的一些宏觀現象和微觀特性。

3.3流體擬顆粒模型模擬中的一些限制

在開展用擬顆粒模型來模擬顆粒兩相流的研究中，為了保證復現所需的現象，一般顆粒與擬顆粒間應有相對比較大的尺度差別。擬顆粒模擬可借鑒MD模擬中的刻畫準則，即用Knudson數Kn=λ/D

3.4流體擬顆粒模型的應用發展

擬顆粒模型目前發展還不成熟，對顆粒兩相流的數值模擬還局限于理想狀況，如利用擬顆粒模型對二維單圓柱繞流的模擬。在該模擬中，其精確結果僅限于2種極限情況：一是雷諾數無限接近于0；二是流體體積份額無限接近于1[21]。另外，葛蔚等針對流體擬顆粒模型計算量大的缺點，提出了采用加權平均和有限差分等手段，將粒子間作用提升到符合N-S方程的流體微元尺度的宏觀擬顆粒模擬，能初步應用于實際問題的求解[22]。

事實上，流體擬顆粒模型對實際顆粒兩相流的模擬終究過于微觀，因此有關科研工作者試圖以類似SPH中所采用的流體微元間作用代替粒子間的碰撞，以擴散擬顆粒模擬，稱之為宏觀擬顆粒模擬[23]。這方面的工作仍處在探索中。

4 結 語

描述了顆粒兩相流動的3種數學模型，分析了這3種數學模型的運用范圍和特點，并對其進行了展望。認為連續介質模型目前存在的關鍵問題是用什么方法對顆粒相方程進行封閉﹑校正，離散顆粒模型目前存在的關鍵問題是如何解決計算時間過長以及建立顆粒與顆粒之間比較準確的碰撞模型。對流體擬顆粒模型的進一步深入研究，可以為連續介質模型方程中同相之間﹑不同相之間作用力的封閉問題提供理論指導。

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Research advance in granular flow mathematical model

TAN Cheng, ZHANG Keping

(School of Engineering, Gansu Agricultural University, Lanzhou Gansu 730070，China)

Granular flow exists widely in the production process of industry and agriculture. Scientists pay more and more attention to the analysis of fluid dynamic features of particles, but the mechanism is not well understood yet. The mathematical model of granular flow is introduced, and the scope of application, the advantages as well as the shortcomings of various models are analyzed. The existing problem and the key points to be studied in the future are discussed.

granular flow; numerical simulation; mathematical model; two-phase flow

1008-1542(2013)04-0293-04

10.7535/hbkd.2013yx04006

TQ018

A

2013-04-03；

2013-05-05；責任編輯：馮 民

國家自然科學基金(51265001)；甘肅農業大學伏羲青年英才培養計劃

譚 成(1988-)，男，江蘇鹽城人，碩士研究生，主要從事農產品加工機械方面的研究。

張克平博士。E-mail：zhangkp@gsau.edu.cn