“概率統計”教學中融入數學文化的探討

劉東海，彭 丹

(湖南科技大學 數學與計算科學學院，湖南 湘潭4112011)

我國教育經歷著由“應試教育”向“素質教育”的重要改變，這要求著數學課程的“素質教育”。概率統計作為高等院校大學生的公共基礎數學課程，由于其研究對象的復雜性，研究方法的獨特性和教學內容的實用性，這門數學課程越來越受到重視。傳統的概率統計教學只注重了概念、定理講解，忽略了課程的“素質教育”。與時俱進的數學課程應充分發揮數學的文化價值，在潛移默化中影響學生的觀念、精神以及思維方式。

數學文化是數學科學在實踐中不斷摸索，逐步上升為理論和規律性的東西，是對數學科學知識的一種補充。主要包含了數學史、數學思想方法、數學美和數學實用性等內容。數學史是數學文化融入數學課程的一種載體。在概率統計教學中，講授相關背景知識，將幫助學生認識概率統計概念、思想方法發展過程，讓學生對整門課程有一個清晰、連貫的認識。數學思想方法則是數學的靈魂和精髓，而概率統計是唯一一門研究隨機現象統計規律的數學考察，其蘊涵的數學思想方法有其獨特的表現，系統學習這些方法可以幫助學生形成一種隨機的思想和統計的觀念。同時概率統計在美學領域用自己獨特的內涵詮釋了一個不同的文化境界。概率統計與實用學科有著密切聯系，使之具有強大生命力。適時添加現實生活的素材，有助于學生更好地認識世界，了解世界，從而增強他們利用概率統計知識解決實際問題的意識，促進他們學以致用。

一 融入數學背景

在課堂上給數學多一點兒人文色彩，激發學生靈感，將數學背景資料:如概率統計發展中若干重要事件，重要人物或重要成果等融入教學內容中，這也是體現數學文化價值的一種有效途徑。

在闡述概率論基本概念時，先說說1651年，法國貴族梅累向數學家、物理學家帕斯卡(Pascal)提出的一個十分有趣的“分賭注”問題:一次梅累和賭友擲骰子，各方押賭注32 個金幣.雙方約定，梅累如果先擲出3 次6 點，或者賭友先擲3 次4 點，就贏了對方.賭博進行了一段時間，梅累已經2 次擲出6 點，賭友已經1 次擲出4 點，這時候梅累接到通知，要他馬上陪同國王接見外賓，賭博只好中斷了。請問:兩個人應該怎樣分這64 個金幣才算合理呢?帕斯卡苦苦思考了兩三年，到1654年才算有了點眉目，于是寫信給他的好友費馬(Pierre de Fermat)，兩人討論并取得了一致的意見。這個看來不過是17世紀版本的棋盤游戲帶來的卻是風險概念的數學核心—概率論的產生，他們對這個迷題的解答意味著人們第一次可以借助于數字做出決定，預測未來。到底是如何分配賭注呢?引導學生去思考，這些將激發學生興趣去探索隨機世界。

說到正態分布，不得不提英國數學家棣莫弗(de Moivre)，他不畏艱難、歷經數十載，最終由二項分布逼近導出正態分布的密度函數表達式，起研究成果在概率論發展中起著承前啟后的作用，奠定了概率論的極限理論基礎。從他們身上看到的是偉大的數學數學家鍥而不舍的精神和攻克難關的勇氣。

還有英國統計學家哥塞特(Gesset)在一家釀酒廠擔任化學技師時，通過大量實驗數據的積累，發現了一種分布與傳統標準正態分布不同。經過深入研究，以“student”筆名發表了此項研究成果，故后人也稱t 分布為學生氏分布。t 分布的發現在統計學史上具有劃時代意義。

概率統計中每一個定義、定理都有其獨特背景故事，適時講解這些精彩的片段，可以開闊眼界、增長知識，鍛煉學生邏輯思維能力。讓學生悉心體會數學家們解決問題的思想和方法，學習他們實事求是的科學態度和優良的品質。更重要的是學習一種數學精神:正如美國著名數學史家克萊因(M.Kline)所寫道:“數學是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，激發、促進、鼓舞并驅使人類的思維得以運用到最完善的程度…盡力去探求和確立已經獲得知識的最深刻的和最完美的內涵?！备M一步自然而然地激發學生創新思維意識，增強解決問題的勇氣和能力。

二 滲透數學思想方法

概率統計中蘊涵了較廣泛的數學知識，也蘊涵了豐富而獨特的數學思想方法。在教學過程中將重要的一些數學思想方法加以介紹、講解將對提高學生的思維素質和解決問題能力有非常重要的意義。

概率統計中比較重要的思想方法有下面幾種:

1.轉化思想:我們把遇到的問題通常轉化成比較熟悉的問題來處理，比如求隨機變量方差轉化為求隨機變量函數的期望計算;或者將較為繁瑣、復雜的問題，變成比較簡單的問題，比如求解某一事件概率，直接計算比較復雜，則可轉化為求其對立事件概率。很大，很小時，二項分布問題轉化為泊松分布問題簡化計算;或者從非標準型向標準型進行轉化，比如服從正態分布的隨機變量轉化為標準正態分布隨機變量求解;或者難以解決的問題轉化為比較直觀的問題，比如變量估計中矩估計方法用樣本矩去替換總體矩得到近似解等等;

在概率統計教學中按照熟悉化、簡單化、直觀化、標準化這些原則實施轉化操作，將省時省力。

2.數形結合思想:正如華羅庚先生說過的:數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。概率統計中也蘊涵這種思想:如用文氏圖來表示事件之間關系，一目了然;幾何概型中用有限可度量區域(線段、面積等)大小計算事件發生概率，以形助思，巧妙直觀。數形結合不僅能幫助學生溝通知識內在聯系，解決新問題。還能有助于學生開發潛能，提高思維品質，培養審美情趣。

3.數學模型思想:概率統計作為一種隨機數學，有很多從隨機現象觀察中提出的相應概率模型，如古典概型，幾何概型，伯努利概型等等。教學生用隨機變量來描述隨機現象，然后研究相應數學模型的數字特征，從而闡述隨機現象的統計規律性。

在教學中經常滲透這些思想，可以提高學生解題的水平和創新能力。概率統計課程中有意識將教學內容上升到思想方法高度，讓學生體會到數學的抽象性和應用性，也是培養學生的理性精神，對學生進行文化熏陶的一種途徑。

三 加強數學美熏陶

概率統計課程學習不僅有利于學生邏輯思維能力發展，與其他數學課程一樣也有利于學生創造性才能包括審美直覺的發展。數學美包括對稱美、和諧美、簡潔美和奇異美。在概率統計中隨處可見這些美倫美幻的情形。

1.對稱美:比如正態分布圖象展現的就是一副對稱的美麗圖案;條件概率公式與乘法公式的“對稱性”，連續型隨機變量的分布函數與密度函數的表達式“對稱性”，利用這些特點，在求解時往往事半功倍。

2.和諧美:文氏圖中事件與其對立事件在中是那么“對立”、“統一”，呈現出一副和諧圖案;幾何概型中“約會問題”，運用數形互化解題也是追求和諧美的結果。

3.簡潔美:追求簡潔美不僅能激發學生學習興趣，往往還可以促進學生獨辟蹊徑，找到優美而簡潔的解法。如正態分布、分布可加性表達式結構簡單、整齊。

4.奇異美:在解決問題過程中變更思路，求新求異。如“蒲豐投針”用偶然性方法去做確定性計算。

從這些概率統計知識講述過程中，讓學生體會到其中的美，體會到數學也是賞心悅目的，讓追求其中的美成為學生的學習動力，利用美陶冶情操，實現數學文化教育功能。

四 強調聯系實際

概率統計在社會生活各個領域應用十分廣泛，在理論講授過程中，針對不同專業的學生，采用不同實用案例，讓學生了解概率統計內容與自己專業之間聯系，認識到學概率統計是有所用的。進一步感受這門課程的應用價值、文化價值。這樣有利于學生學好概率統計課程同時學好本專業的知識，培養學生的發展應用意識，創新精神和創新能力。

例如在講解方差，可以從幾個廠家同一產品抽樣檢查百分比計算參數方差從而評價出廠家生產的產品質量好壞;統計中判別分析可將到應用于生物品種的鑒別，選礦中礦藏儲量貧富的辨別等等;

講到正態分布中原則，這個結論不僅應用在生產上，還應用到高考中。高考閱卷中主觀評分和客觀評分不一樣。如何才能保證公平呢?大家運用概率統計知識攻克這個難題，大致情況是這樣的:請一批最有聲望的老師，其中包括大學的教援來判分，發現他們判得都比較穩定、都比較準、相差不多，就用他們的經驗來作為統計數據，然后按一定的波動范圍給出上下界來。在高考閱卷過程中，不斷檢查卷宗，如果改卷者評分在規定的范圍以內，就沒有問題，不用介入;如果發現有的卷宗超出這個范圍以外，就請別組老師或者專家組介入。這樣一定程度上保證了高考閱卷的公平、公正。

另外，在工程設計中，概率統計知識也舉足輕重，比如要設計個橋梁，這個橋應該設計多寬，他們就事先做這個工程的系統設計，用蒙特卡洛(Monte Carlo)方法來模擬。然后根據車輛的到達時間服從泊松分布，車占位多寬，有幾個車道，車有多長，車流量是多少，還有司機的心理和居民的心理能夠承受的等待時間等等，作為設計橋梁寬度的依據，用模擬方法來做實驗，進行設計。

也可補充講統計學的方法做科學計算，如算積分、解微分方程、解偏微分方程和解線性代數等等。

這些應用都說明了概率統計理論的實用價值，讓學生感受到知識的魅力。

隨著素質教育改革深入發展，數學文化教育勢在必行。教師的觀念只有從學科基本概念、定理、解題中跳出來，走向數學文化，才能從根本上轉變這門課程在學生心目中的印象。概率統計課也應當是數學文化傳承的地方，教師在概率統計知識與技能的教學中，適時介紹概率統計知識產生的背景;在過程與方法的教學中，有意提煉數學的思想方法;意會數學中的美，讓學生浸潤在數學文化氛圍中。這樣學生就可以在獲得概率統計較為系統的基礎理論知識與方法同時，學到一種觀察世界的隨機性思維方式，學會一種描述偶然現象的基本語言，掌握一種處理不確定性問題的隨機分析技術，奠定學習其他學科的基礎。

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