一類具有次凸位勢的二階系統的周期解

王少敏，楊存基

（大理學院數學與計算機學院，云南大理 671003）

1 引言和主要結果

考慮二階系統

（A）F（t，x）對于每個 x∈RN關于 t可測，對于a.e.t∈［0，T］關于 x 是連續可微的，存在 a∈C（R+，R+），b∈L1（0，T；R+）使得

對于 x∈RN和 a.e.t∈［0，T］成立。

其等價于如下范數

相應泛函

當 q（t）≡0，t∈［0，T］時，在假設（A）和一些適當的條件下，通過使用最小作用原理和臨界點理論中的極大極小方法，人們已經獲得了很多存在性結果〔2-12〕。

本文的主要結果如下：

定理1設F（t，x）＝F1（t，x）+F2（t，x）滿足假設（A）以及F1（t，x），F2（t，x）滿足以下條件：

（i）F1（t，·）是（λ，μ）－次凸的且存在δ∈［0，2），β、γ∈L1（0，T；R）

（ii）存在 f∈L2（0，T；R）且k∈L1（0，T；R）使得

2 定理的證明

我們知道存在一個常數c0>0，使得

如果函數G：RN→R滿足

G（λ（x+y））≤μ（G（x）+G（y）），?x，y∈RN

稱函數G為（λ，μ）－次凸的。

證明：由F1（t，·）的（λ，μ）－次凸性及S o b o l e v不等式，有

由（2）式，（3）式，有

注：定理的條件是全新的；所以，文中所得結果是全新的。

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