基于外部坐標測量的六自由度并聯機構標定方法

延皓，李長春，張金英

(北京交通大學 機械電子控制工程學院，北京100044)

0 引言

并聯機構具有良好的剛度特性和承載能力，在武器平臺運動模擬領域有著廣泛的應用，如自行武器動態(tài)試驗系統[1]、機載光機系統振動試驗臺[2]以及艦船運動模擬器[3]等都以并聯機構作為主要運動機構。而在空間對接地面試驗系統中，并聯機構被用于復現航天器在失重條件下的相對運動[4]。由于不可避免地存在加工和安裝誤差，并聯機構的運動精度受到的影響難以定量控制，這是限制并聯機構進一步發(fā)展的重要因素之一。對于位姿精度要求較高的場合，需要尋求一種簡便而有效的標定方法對并聯機構進行校準。

并聯機構的標定方法分為自標定法和外標定法。自標定法不需要外部測量設備，利用源于并聯機構自身的冗余信息來辨識其幾何參數。比較典型的自標定法有在被動關節(jié)處安裝附加傳感器的半自動法[5－6]，以及僅依靠作動器位移傳感器的全自動法[7－8]。自標定法面臨的問題是:1)需要在機構設計之初就考慮冗余信息的測量方式;2)不是所有的幾何參數都能夠辨識[9]。外標定法也稱開環(huán)標定，通過外部測量工具獲取并聯機構的位姿信息，據此來辨識其幾何參數。外標定法的實現方式取決于測量設備，如Besnard 等[10]提出采用兩個傾角儀檢測并聯機構的姿態(tài)角，并用姿態(tài)角構造殘差方程。這是一種操作簡便而且低成本的實現方案，但是由于獲得的運動信息不完整，造成6 個幾何參數不可辨識[9]。黃田等[11]提出一種使用末端位移傳感器測量并聯機構垂向位移的標定方法，然而為了保證所有參數的可辨識性，需要在標定過程中修改測量坐標系來補充約束條件，標定結果只在新測量坐標系中有效，而對于很多并聯機構應用而言，坐標系的更改將引起與之關聯的其他問題。

為了改善并聯機構的精度性能，本文提出一種基于外部測點坐標測量的標定方法，利用通用的測量設備，如全站儀和棱鏡等，間接獲取并聯機構的完整位姿信息，通過求解冗余方程對并聯機構進行標定。該方法不再需要其他的高端輔助設備，并克服了幾何參數的可辨識性問題，增加了構造辨識算法的靈活性，而且測量坐標系理論上不受標定過程的限制，可以根據需要確定。

1 并聯機構的幾何參數

對于通用的并聯機構而言(見圖1)，控制點是定位或者實現空間運動軌跡的目標點。并聯機構的校準，就是要保證控制點OE相對于測量坐標系{OB}的位置和姿態(tài)角精度。在控制點建立笛卡爾坐標系{OE}，并使其與上平臺固連，這樣就可以用以下幾何參數來描述并聯機構:上鉸點在{OE}系中的坐標Ai=[aixaiyaiz]T，i =1，2，…，6，下鉸點在{OB}系下的坐標Bi=[bixbiybiz]T，6 個作動器的長度Li=‖AiBi‖，以及{OB}系和{OE}系之間的變換陣BTE，它由OE點相對于{OB}系的6 維位姿向量確定。以上48 個變量并非都是獨立的，當Ai、Bi、Li都已經確定時，BTE可以計算得到。把Ai、Bi、Li這42個變量作為需要辨識的未知幾何參數，則BTE可以作為參數辨識所需要的冗余運動信息。

圖1 幾何參數的定義示意圖Fig.1 Geometry parameters of 6DOF parallel mechanism

2 并聯機構標定問題的描述

運動學標定的目標是估計并聯機構的實際幾何參數以用于補償運動誤差，所有的標定方法在數學上可以歸結為求解某個龐大的非線性標定方程組，此方程組以要辨識的幾何參數實際值作為未知量，還包含了作動器伸長量、外部測量信息等參數。一般標定方程組的形式為

式中:pr為未知的42 ×1 幾何參數向量為第j 個位姿下外部測量的物理量;Δlj為6 ×1 的作動器伸長量向量;n 為位姿數;Qm=[()T，…，(qnm)T]T;ΔL=[(Δl1)T，…，(Δln)T]T.

為了減小測量噪聲的影響，位姿數n 必須足夠大，使得標定方程組成為超定方程組，于是可以通過優(yōu)化方法來估計未知的幾何參數。因而(1)式通常以殘差方程的形式表示為

式中e 為殘差向量。

則標定問題轉化為在殘差向量范數最小意義下估計幾何參數。對于此非線性優(yōu)化問題，經過驗證可以采用Levenberg－Marquardt 方法、Newton－Raphson方法或Trust－Region Dogleg 方法等來求解。其中Newton－Raphson 方法效率最簡單，但收斂速度較慢，而Trust－Region Dogle 方法計算速度快，但精度相對較差，本文采用相對平穩(wěn)的Levenberg－Marquardt 方法。

與并聯機構的正解計算和逆解計算相對應，標定方法可以分為基于正解和基于逆解兩種。當e 是并聯機構的位姿或其他外部測量物理量(如上平臺繞某軸的傾角、上平臺某點的平移等)的殘差，殘差方程(2)式中必然含有正解運算，由于六自由度并聯機構的正解沒有解析形式，殘差方程也沒有解析形式，使分析和求解變得困難。基于逆解的方法是將測量位姿進行逆解得到作動器的理論伸長量，用它來構造殘差方程，從而避開正解問題，不過如果不能獲得完整的位姿信息，此種方法將無法應用。

此外，某些少自由度的并聯機構，其正解和逆解均有解析形式，因此更傾向于運用基于正解的標定方法，這樣做可以減小計算量和矩陣計算引起的誤差。

另一個問題是，e 中的諸元素度量單位可能不統一(例如包含位置量和角度量)，應該對這些分量進行加權以保證優(yōu)化求解過程中各物理量對殘差向量范數的影響是合適的。

3 基于外部測量的標定方法

3.1 測量坐標系的建立

用外部坐標測量設備建立測量坐標系{OB}，一般采用下鉸分布圓圓心作為坐標系原點。具體過程如下:在原點、x 軸和y 軸上放置棱鏡(見圖2)，用全站儀測量三點的空間坐標，然后結合三點的理論坐標，就可以通過計算獲得測量坐標系，使得三點在此坐標系中處于理論位置。這個過程通常由外部測量設備自動完成，并把坐標系方位信息記錄下來，于是只要測量設備位置不變，測量坐標系就能確定，而在標定過程中測量得到的所有坐標都是基于此坐標系的。

圖2 測量坐標系的建立Fig.2 Construction of measuring coordinate system

為建立測量坐標系，需要在并聯機構的原點、x軸和y 軸上設置棱鏡安裝點，其坐標是已知且準確的，這樣可以保證測量坐標系與設計坐標系的一致性。但由于機械結構存在誤差，造成這些安裝點可能存在位置不準確的情況，所以新建立的測量坐標系相對設計坐標系可能存在不一致。受此影響，Ai、Bi等結構參數將產生一定的偏差。但是由于測量坐標系已經唯一確定，可以把它作為正常工作的基準坐標系，棱鏡的測量和并聯機構的標定都在此坐標系中完成，則測量坐標系不一致所引起的Ai、Bi坐標偏差完全可以作為參數誤差的一部分通過標定過程消除，也就是說標定后并聯機構的定位精度在測量坐標系中將是準確的。從這個意義上講，容許測量坐標系相對于設計坐標系存在少量偏差。

3.2 位姿的測量

即使控制點在并聯機構的上平臺上，直接測量控制點的位姿一般也比較困難，要想獲取并聯機構的完整位姿信息，須對上平臺的外部測量點進行坐標測量。

將3 個棱鏡安裝在上平臺的固定位置，見圖3.

3 個棱鏡中心的位置應該是已知的，這一點應在上平臺的機械設計中予以考慮。也可先用全站儀在控制點處建立坐標系{OE}，再測量3 個棱鏡在{OE}中的空間坐標。設3 個棱鏡中心在{OE}中的坐標為

圖3 上平臺示意圖Fig.3 Top platform

此時，選擇并聯機構的n 組位姿，并通過控制系統實現這些位姿。測量這些位姿下三點在{OB}中的空間坐標，如圖4 所示。

圖4 棱鏡空間坐標的測量Fig.4 Coordinate measurement of prism

對第j 個位姿測得Pi點的坐標為

每個位姿下，都得到9 個空間坐標值，它們包含了并聯機構的完整位姿信息，并且其中3 個是冗余的。

為了辨識出并聯機構的全部42 個幾何參數并進行誤差補償，必須選取一定數量的位姿。由于每個位姿包含6 個獨立的變量，因而至少需要7 個位姿來構造殘差方程。然而，為使標定算法具有良好的魯棒性，應選取不少于20 個位姿來構造一個超定的殘差方程。

值得注意的是，并聯機構的標定位姿彼此間應該保持較大區(qū)別，并包括盡可能大的擺動角，以降低各幾何參數的耦合程度，從而減小測量噪聲對標定結果的影響[12－14]。

3.3 殘差方程的構造

可以采用以下3 種方式構造度量統一的殘差方程。

1)用3 個測量點的空間坐標Bxji構造殘差方程。選擇并執(zhí)行n 組位姿，則{OB}系下的測量點坐標可測量得到，由它們組成的向量為

對于六自由度并聯機構而言，從幾何參數到{OB}下測量點坐標的非線性映射可以表示為

式中:Xc為n 個位姿下測量點坐標的理論值向量;pr為未知的42 ×1 幾何參數向量;ΔL 為n 個位姿作動器伸長量實測值向量.

顯然，W 中包含了正解運算以及從{OE}系到{OB}系的坐標變換。于是可以這樣構造殘差方程

則并聯機構的參數辨識問題轉化為關于幾何參數pr的優(yōu)化問題，可用Levenberg－Marquardt 算法求解。用這種方法構造的殘差方程原理簡單，形式直觀，但由于優(yōu)化求解過程內嵌并聯機構的正解計算，二者都是迭代運算，使得計算效率較低。

2)用作動器伸長量ΔL 構造殘差方程。對第j個位姿，測量點在{OE}和{OB}下的坐標有如下關系

式中:R 為{OE}相對{OB}的旋轉矩陣;b 為OE點的位置向量。

由3.2 節(jié)可知，Ex 是已知或已測得。方程組(7)式經過優(yōu)化求解可以得到并聯機構位姿Djm.有了并聯機構的位姿，通過運動學逆解可以求得6 個作動器伸長量的理論值，逆解過程表示為

考慮n 個位姿，殘差方程可以表示為

由于用這種方法構造的殘差方程在優(yōu)化求解過程中不需要進行正解運算，因而計算效率較高。

非線性優(yōu)化問題的求解過程包括線性化和迭代運算，(9)式在pr處的線性化形式為

式中J 為誤差雅可比矩陣。

可以證明，J 是能夠解析表示的[15]。根據誤差理論，雅可比陣是否病態(tài)將直接決定測量誤差對辨識結果的影響程度。一般來說，用矩陣的條件數(最大奇異值與最小奇異值之比)來衡量矩陣的病態(tài)程度，而J 的條件數取決于并聯機構的結構尺寸以及標定時所選取的測量位姿。所以，用ΔL 構造殘差方程的另一個優(yōu)點是能夠得到解析的誤差雅可比陣，從而可以用J 的條件數作為測量位姿選取的依據。本文的仿真和實驗以此方法為基礎。

分別采用Levenberg－Marquardt 法和Newton－Raphson 法進行迭代求解，結果表明只要不出現結構奇異，該方法都是收斂的。只有當誤差雅可比矩陣的條件數大于1 000 時，系統求解的誤差會顯著變大，并逐漸有發(fā)散趨勢。另外，方程存在多解，因此其初值最好選取在預期收斂點附近。目前，鑒于并聯機構的復雜性，其優(yōu)化求解方法的收斂性還未得到解析的證明。

3)用一個測量點的空間坐標B構造殘差方程。為了進一步簡化操作過程，提高標定過程的自動化程度，提出一種設想，就是只采用一個測量點，并放置在上平臺的任意位置，把測量點在{OE}中的空間坐標本身也作為待辨識的變量。

此方法克服了某些情況下測量點在上平臺{OE}系中的坐標確定困難問題;此外，當前的全站儀或者動態(tài)跟蹤儀等測量設備能夠跟蹤一個測量點進行全自動測量，省去了各種人工操作，能夠極大地提高標定效率。另一方面，要辨識的變量個數由42個增加到45 個，由于每次測量獲得的方程相對較少且變量個數增加，誤差雅可比矩陣的條件數會變得惡劣，因此標定位姿數要有所增加。

經過仿真，采用36 個不同的標定位姿，初步證實了此設想的可行性。暴露的問題是方程組優(yōu)化求解時測量點在{OE}中空間坐標的初值一定要在實際值附近范圍選取，否則容易收斂到某個對稱的點上去。其對噪聲的敏感度等還需要進一步驗證。

3.4 誤差的補償及誤差測量

將辨識出的幾何參數代入并聯機構控制系統的逆解運算模塊中，然后讓并聯機構實現一些指定的位姿以檢查標定的有效性。顯而易見，并聯機構運動的可重復性決定了標定所能達到的精度上限。

對于并聯機構來說，直接測量姿態(tài)角存在困難，因此在檢測運動精度時，并不直接進行位姿測量。本文采用方法為:測量指定姿態(tài)時上平臺固定棱鏡的空間坐標，再通過求解非線性方程組求得并聯機構的當前位姿。這樣無論是標定過程還是最后的檢測，都是采用同樣的外部測量設備，并且在同樣的測量坐標系中完成的，避免了更換測量設備帶來的坐標系須重新校準問題。

4 標定仿真

用外部測量的方法進行并聯機構標定的步驟總結如下:1)通過設置若干測量點(如棱鏡)，用測量設備(如全站儀)建立測量坐標系{OB};2)在上平臺便于測量的位置固定3 個測量點，并在控制點建立坐標系{OE}，若此3 點在{OE}中的位置未知，須先進行測量;3)選取能夠使得誤差雅可比陣條件數盡可能小的20 組位姿(超過20 組對條件數的大小影響有限);4)用測量設備測量每個位姿下測量點在{OB}中的空間坐標;5)構造殘差方程并進行優(yōu)化求解，得到并聯機構的所有幾何參數誤差;6)對控制模塊中的名義幾何參數進行補償，并測量任意一些位姿以確認標定的有效性。

仿真的并聯機構結構參數見表1.

表1 并聯機構結構參數Tab.1 Structural parameters of parallel mechanism mm

為了進行標定仿真，首先假定并聯機構的幾何參數包含誤差，作為參數辨識的目標(見表2，其中序號表示支腿編號)。計算表明，在20 組位姿下(見表3)，由幾何參數誤差引起的并聯機構運動的最大位置誤差為2.83 mm，最大姿態(tài)誤差為0.11°.此誤差代表了標定前并聯機構的位姿精度。在不考慮測量噪聲的情況下，按照上述標定步驟進行仿真，其中誤差雅可比陣的條件數為286.經過優(yōu)化求解，可以辨識出并聯機構的所有幾何參數，表4 列出了各幾何參數的辨識精度。

表2 假定的原始參數誤差Tab.2 Given original errors of geometry parameters

仿真表明，當不考慮測量噪聲的影響時，參數辨識的精度能夠達到10－4mm 數量級，據此補償后并聯機構的最大位置和姿態(tài)誤差能減小到5.1×10－4mm和1.2 ×10－5°.然而考慮到全站儀的測量精度，在仿真過程中添加－0.02 ～0.02 mm 的隨機測量噪聲，仿真結果見表5.仿真顯示，此時參數辨識的偏差比測量噪聲高一個數量級，而標定后并聯機構的最大位置和姿態(tài)誤差分別為1.6 ×10－2mm(與測量噪聲同一數量級)和2 ×10－3°，這正體現了并聯機構對參數誤差的敏感性相對較低的特點。

表3 仿真位姿Tab.3 Configurations in simulation

表4 不考慮測量噪聲的參數辨識精度Tab.4 Identification precision of geometry parameters without measurement noise

表5 考慮噪聲影響的參數辨識精度Tab.5 Identification precision of geometry parameters in consideration of measurement noise

5 標定實例

用上述方法標定一個用于定位的實際并聯機構(見圖5)，結構參數見表1.任選11 個位姿并用并聯實現，采用全站儀來測量上平臺固定棱鏡的空間坐標，再通過優(yōu)化方法求得控制點的位置和姿態(tài)，從而避免了直接測量角度的困難。標定前后并聯機構的誤差見圖6.對這些位姿而言，標定前最大平動誤差為4.28 mm，最大轉角誤差為0.44°，標定后最大平動誤差為0.366 mm，最大轉角誤差為0.085°.用此方法標定后，并聯機構的位置精度提高了10 倍以上，姿態(tài)精度也提高了5 倍左右。由于各鉸點本身存在加工誤差，標定后的位姿誤差大于仿真結果。

圖5 被標定的并聯機構Fig.5 Parallel mechanism calibrated

6 結論

圖6 實驗結果曲線Fig.6 Experiment results

通過對六自由度并聯機構的外部坐標測量，可以獲得并聯機構的完整位姿信息，因而能夠辨識出并聯機構所有的42 個幾何參數，這樣測量坐標系可以是非特定的，事實上容許與下鉸分布圓中心存在一定程度上的偏差，適用于測量條件不佳的標定情況。仿真和實驗表明，用此方法標定后的位姿誤差和測量噪聲處于同一量級，但由于鉸鏈的加工誤差，實際標定后的精度可能會受到一些影響。基于外部坐標測量的標定方法，不需要設計制造專門用于標定的輔助設施，能夠降低標定工作的復雜程度，并完全適合于少自由度并聯機構。在該標定方法的基礎上，可以設計不同的并聯機構校準工程方案。

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