ZnO薄膜/金剛石在不同激勵條件下聲表面波特性的計算與分析*

錢莉榮 楊保和

1)(天津大學精密儀器與光電子工程學院，天津 300072)

2)(天津理工大學電子信息工程學院，天津市薄膜電子與通信器件重點實驗室，天津 300384)

(2013年1月8日收到;2013年2月22日收到修改稿)

1 引言

隨著高速、寬帶、無線移動通信系統(tǒng)的迅速發(fā)展和應用普及，對高頻、寬帶、大功率、低損耗聲表面波器件的需求也越來越大.金剛石具有目前已知材料中最高的聲速和最大的熱導率，非常適合做高頻、大功率聲表面波器件的基片[1-3]，但其沒有壓電性，所以需要在其表面添加壓電薄膜才能激勵聲表面波，這便構成了壓電薄膜/金剛石復合基片.在常見的壓電薄膜中，具有高度c軸擇優(yōu)取向的多晶ZnO是目前應用最為廣泛的一種薄膜材料[4-6]，它不僅具有較高的機電耦合系數(shù)，而且制備工藝簡單、成熟.另外，最近的研究表明[7]，通過在 ZnO 薄膜中摻雜少量的 Cu，Co，V，Cr，F(xiàn)e，Mn等過渡金屬，可以顯著地提高其壓電特性，這對于低損、寬帶聲表面波器件的應用具有十分重要的意義[8-10].

與傳統(tǒng)單晶基片(如石英、鈮酸鋰、鉭酸鋰等)不同，ZnO薄膜/金剛石這種復合基片中的聲表面波具有頻散特性，所以由其制作的器件性能也會隨ZnO膜厚和聲表面波波長(或頻率)的變化而不同[11-13].而且這種復合基片的聲表面波可以有四種激勵方式[14,15]，即叉指電極(IDT)/ZnO/金剛石 (I-F結構)、IDT/ZnO/短路金屬/金剛石 (IM 結構)、ZnO/IDT/金剛石 (F-I結構)和短路金屬/ZnO/IDT/金剛石(M-I結構)，在不同的激勵條件下，其聲表面波特性也會不同.因此，準確地計算ZnO薄膜/金剛石在四種激勵條件的聲表面波特性是應用這種復合基片設計制作高性能聲表面波器件的基礎.

在ZnO薄膜/金剛石聲表面波特性的計算方法中，Campbell的分波法[14,16]和Adler的傳遞矩陣法[15,17]是最為常見的兩種方法.與傳統(tǒng)的分波法相比，傳遞矩陣法具有數(shù)值計算復雜度與介質層數(shù)無關、易于編程等優(yōu)點[17]，所以近些年來在多層介質聲波特性的計算中應用得更為廣泛.但當介質層厚度與聲波波長之比較大時，傳遞矩陣法會出現(xiàn)數(shù)值計算不穩(wěn)定性問題[18-21].為了解決該問題，表面阻抗矩陣[18]、散射矩陣[19]、反射矩陣[20]和剛度矩陣[21]等方法在傳遞矩陣法的基礎上被相繼提了出來，利用這些方法能夠計算任意層數(shù)、任意層厚壓電多層介質的有效介電常數(shù)或格林函數(shù)[19-22]，而有效介電常數(shù)或格林函數(shù)又是研究基片聲表面波特性及其器件建模的重要手段和工具[12,22-27].

目前大多數(shù)文獻僅給出了I-F結構下ZnO薄膜/金剛石的有效介電常數(shù)或格林函數(shù)的計算方法[12,20,21,25]，其他三種激勵方式的卻鮮見介紹[28]，而且在計算過程中都采用的是ZnO和金剛石的單晶材料常數(shù)[14,28]，但在實際基片材料中[3]，金剛石為多晶薄膜，在其上也無法外延出單晶ZnO，所以研究c軸擇優(yōu)取向多晶ZnO薄膜/多晶金剛石復合基片的聲表面波特性具有現(xiàn)實意義，對此國內外未見有報道.

本文首先以剛度矩陣法為基礎，通過定義表面剛度矩陣，推導出ZnO薄膜/金剛石在四種不同激勵條件下的有效介電常數(shù)計算公式.然后以有效介電常數(shù)為工具，計算單晶ZnO薄膜/多晶金剛石和多晶ZnO薄膜/多晶金剛石在四種不同激勵條件下聲表面波的相速度和機電耦合系數(shù)頻散特性，并通過與相關文獻中實驗數(shù)據(jù)的比較，討論激勵條件的差異和ZnO薄膜材料參數(shù)的不同對聲表面波特性的影響.最后根據(jù)設計和制作多層結構聲表面波器件的要求，對ZnO/金剛石基片中ZnO膜厚和金剛石膜厚如何選擇的問題進行探討和分析.

2 理論推導

在各向異性壓電介質中傳播的聲表面波，必須同時滿足動力學方程和麥克斯韋方程.在準靜態(tài)近似下，當介質中自由電荷近似為零時，利用愛因斯坦附標求和慣例，可以將聲表面波場的控制方程簡潔地表示為如下張量形式：

圖1 ZnO薄膜/金剛石多層聲表面波介質坐標系

對于圖1所示坐標系，為了求得方程(1)—(4)的解，假設沿x1方向傳播的平面諧波，其質點位移ui和電勢φ具有如下解的形式：

(10)式表明壓電層狀介質中聲波的解，可以表示為8個聲平面諧波的線性組合，其中4個分波沿正x3方向傳播或衰減，4個分波沿負x3方向傳播或衰減.由于(10)式解中混合著指數(shù)衰減項和指數(shù)增長項，從而會為數(shù)值計算帶來不穩(wěn)定性[12,18-21]，為了提高解的穩(wěn)定性，利用Wang和Rokhlin提出的剛度矩陣法[21]對(10)式進行分解重構.

2.1 剛度矩陣

對于任意層數(shù)壓電多層介質的計算，可以通過遞歸調用(17)或(18)式得到其總表面剛度矩陣.

2.2 有效介電常數(shù)

對于ZnO薄膜/金剛石多層介質，聲表面波的激勵可以有四種方式[14,15]，如圖2所示，其中叉指換能器(IDT)用于實現(xiàn)聲電轉換，而金屬薄膜用于使壓電薄膜表面短路，一般而言叉指電極和短路金屬薄膜很薄，故其質量負載的影響可以忽略.在不同的激勵方式下，介質的邊界條件不同，所以其聲表面波特性也有所差異.表面有效介電常數(shù)εs是計算壓電介質表面聲表面波特性的有效方法，它通常定義為[23]

圖2 ZnO薄膜/金剛石多層介質中四種聲表面波激勵方式 (a)I-F結構;(b)I-M結構;(c)F-I結構;(d)M-I結構

為了便于定義有效介電常數(shù)，將(16)式和(19)式中的表面剛度矩陣Ks展開為如下形式：

2.2.1 表面源結構：I-F和I-M

2.2.2 界面源結構：F-I和M-I

2.3 聲表面波特性的計算

聲表面波波速和機電耦合系數(shù)是設計聲表面波器件必須要掌握的基本聲學參數(shù)，這兩個參數(shù)都可以利用有效介電常數(shù)εs計算得到.

3 計算結果與討論

根據(jù)上節(jié)推導的有效介電常數(shù)εs計算公式，編制程序計算c軸擇優(yōu)取向ZnO薄膜/金剛石復合基片在四種激勵條件下的聲表面波特性.計算所用材料參數(shù)見表1所示，其中金剛石采用的是多晶薄膜參數(shù)，而ZnO薄膜使用的是單晶和多晶兩種材料參數(shù)，這是因為在實際基片材料中[3]，金剛石通常是硅基多晶薄膜，而ZnO薄膜的材料參數(shù)通常與制備方法和條件有關.為便于描述和行文，以后用s-ZnO表示單晶ZnO(002)薄膜，p-ZnO表示多晶ZnO(002)薄膜，Dia表示多晶金剛石膜.

圖3是s-ZnO/Dia在F-I結構下k1hZnO=2時的相對有效介電常數(shù) εs/ε∞，其中 k1=2π/λ 為聲表面波傳播方向波數(shù).在所考察的3—9 km/s相速度范圍內，圖中有效介電常數(shù)εs的虛部始終為零，這表明聲波能量始終集中于介質表面附近，沒有泄漏到金剛石基底內部，所以εs實部在相速度為4405 m/s，5819 m/s和8179 m/s附近的三對零極點，分別對應于三種聲表面波模式的自由表面波速和金屬化表面波速.若以k1hZnO作為自變量，以εs的零點作為函數(shù)，可以計算得到ZnO/Dia的自由表面波相速度頻散曲線.

圖4是s-ZnO/Dia(粗實線)和p-ZnO/Dia(細虛線)分別在(a)I-F和(b)F-I結構下前三種聲表面波模式的相速度，圖中散點為文獻[1]中的實驗數(shù)據(jù)，從計算結果與實驗數(shù)據(jù)的比較可以看到，兩者符合得較好，而p-ZnO/Dia中的相速度要比s-ZnO/Dia中的低一些.值得注意的是，對于基模(M0)聲表面波，隨著ZnO膜厚與波長之比hZnO/λ由0增大到∞，其波速由金剛石本身的瑞利波波速(～10936 m/s)減小到ZnO的瑞利波波速(～2531 m/s)，所以M0實際上是傳統(tǒng)意義上的Rayleigh波;而高次模式則在金剛石的剪切體聲波波速(～12323 m/s)處表現(xiàn)出截止特性，其中一次模(M1)稱為Sezawa波.需要特別指出的是，在 k1hZnO=1.22(s-ZnO/Dia)或 k1hZnO=1.48(p-ZnO/Dia)附近時，Rayleigh波和Sezawa波的相速度非常接近，而并非文獻[1]中所認為的相交[15].

表1 計算所用材料參數(shù)

圖3 s-ZnO/Dia在F-I結構下k1hZnO=2時的相對有效介電常數(shù) εs/ε∞

圖5是利用有效介電常數(shù)計算的s-ZnO/Dia和p-ZnO/Dia在四種不同激勵條件下前三種聲表面波模式的機電耦合系數(shù)(K2)頻散曲線，與圖4中對相速度的影響相比，激勵條件的不同對機電耦合系數(shù)的影響要顯著得多.而且K2對ZnO材料參數(shù)的變化也比較敏感，雖然多晶ZnO與單晶ZnO的K2總體變化趨勢相似，但其數(shù)值通常比單晶ZnO的要小一些，特別是對于Sezawa波表現(xiàn)得更明顯.而對于Rayleigh波，在F-I和M-I結構下當ZnO膜厚hZnO/λ較小時，其多晶ZnO的K2卻比單晶ZnO的要大.通過與文獻[1]實驗數(shù)據(jù)的比較可以看到，在圖5(a)的I-F結構中，實驗數(shù)據(jù)與s-ZnO/Dia的計算結果符合得好一些;而在圖5(c)的F-I結構中，實驗結果卻與p-ZnO/Dia的計算結果符合得更好.

圖4 ZnO/Dia在(a)I-F和(b)F-I結構下前三種聲表面波模式的相速度(s-ZnO：單晶ZnO;p-ZnO：多晶ZnO;Dia：多晶金剛石)

圖5 ZnO/Dia在四種激勵條件下前三種聲表面波模式的機電耦合系數(shù) (a)I-F結構;(b)I-M結構;(c)F-I結構;(d)M-I結構

從圖4和圖5的比較中我們還注意到，在k1hZnO=1.22(s-ZnO/Dia)或k1hZnO=1.48(p-ZnO/Dia)附近，即Rayleigh波和Sezawa波相速度十分接近的區(qū)域，其對應的K2也變化得異?？?特別是在I-M結構下).為了探究其中的原因，我們以I-M結構下的s-ZnO/Dia為例，考察了其Rayleigh波和Sezawa波在該區(qū)域附近位移場的變化情況，如圖6所示，圖中 |u1|，|u2|和|u3|分別為聲表面波位移矢量縱向(x1方向)分量、水平剪切(x2方向)分量和垂直剪切(x3方向)分量的相對幅度，由于|u2|始終為零，而u1和u3相位相差π/2，所以聲表面波位移矢量在x1-x3平面內形成橢圓偏振.注意到隨著k1hZnO由1.21增大到1.24，其Rayleigh波位移矢量由縱向分量占主導的橢圓偏振態(tài)變化為由垂直剪切分量占主導的橢圓偏振態(tài)，而Sezawa波位移矢量的變化情況則與之相反，特別是在k1hZnO=1.2263附近時，兩種模式位移矢量的偏振態(tài)出現(xiàn)互換，這可能是導致兩者相速度十分接近及K2異常變化的原因.

圖6 s-ZnO/Dia在I-M結構下Rayleigh波(M0)與Sezawa波(M1)在不同k1hZnO時位移場的變化 (a)k1hZnO=1.21;(b)k1hZnO=1.2263;(c)k1hZnO=1.24

在應用ZnO/Dia基片設計聲表面波器件時，ZnO薄膜厚度hZnO的選擇至關重要，這不僅要考慮獲得更大的機電耦合系數(shù)K2和更高的聲速Vp，還應盡量減小頻散對器件特性的影響[11,12]，從而降低器件制作過程中對工藝精度的要求，對此我們需要從圖4和圖5中綜合考慮上述因素.

首先看Rayleigh波(M0)，從圖5中注意到，在I-F，F(xiàn)-I和M-I結構中，機電耦合系數(shù)K2存在兩個峰值，在前一個峰值處，其對應于圖4中的相速度較高，而且頻散也不大，所以滿足設計器件的要求.而在K2的后一峰值處，雖然K2可能很高(如在M-I中為6.7%)，但其對應的Vp卻不大(如M-I中為4493 m/s)，這就失去了較傳統(tǒng)單晶基片所具有的高聲速優(yōu)勢.在I-M結構中，由于K2在其峰值附近變化太快，且對應的Vp頻散很大，所以在此很難制作出穩(wěn)定可靠的器件.但可以選擇靠近K2峰值的左側進行設計，因為此處K2和Vp都較高，而且Vp的頻散也不大.

對于 Sezawa波 (M1)，從圖 4中可以看到，在 k1hZnO＜ 1.0(或 hZnO＜ 0.16λ)的高聲速(＞7000 m/s)區(qū)域，其對應于圖5中I-M，F(xiàn)-I和M-I結構中的K2也很大，這雖然有利于高頻器件的應用，但Vp在此區(qū)域內的高頻散特性，也使器件制作工藝的難度增大.在k1hZnO＞1.0(或hZnO＞0.16λ)的低聲速區(qū)域，雖然相速度不高，但其頻散也很小，甚至優(yōu)于Rayleigh波，而且對應的K2很高，若在K2峰值附近設計諧波器件，也同樣可以制作出高頻器件[33,34].

對于二次模(M2)，從圖5中可以明顯看到，其在F-I結構中的K2很小(＜0.15%)，所以很難應用于實用器件.而在I-F，I-M和M-I結構中，其在k1hZnO=1.0(或 hZnO=0.16λ)附近的 K2較高，且對應于圖4中的相速度大于10000 m/s，Vp的頻散也適中，若能控制好膜厚hZnO的精度，有可能在此制作出較好的高頻器件.

表2和表3總結了s-ZnO/Dia和p-ZnO/Dia在四種激勵方式下前三種模式中較為適合制作器件的一些典型ZnO膜厚值hZnO、及其相應的相速度Vp、機電耦合系數(shù)K2和Vp的頻散大小，其中Vp的頻散值未見有文獻給出過明確定義[11,12]，本文則以Vp在中心頻率 f附近隨膜厚hZnO的變化值d(Vp)/d(fhZnO)來表示，其物理意義可以理解為：當中心頻率 f=1 GHz時，實際制備的ZnO膜厚hZnO比理論設計值相差1 nm時Vp變化的大小.由于IDT周期λ的單位通常為μm，所以當相速度Vp變化1 m/s時，實際器件的中心頻率將與理論設計值 f相差約1/λMHz.實際上在ZnO薄膜/金剛石器件的制作過程中，ZnO膜厚是最難掌控的參數(shù)，一般都會與設計值存在一定的誤差，所以Vp的頻散值對于多層結構器件的設計和制作具有重要的參考價值.

表2 s-ZnO/Dia在不同激勵方式下前三種模式聲表面波特性典型參數(shù)值

表3 p-ZnO/Dia在不同激勵方式下前三種模式聲表面波特性典型參數(shù)值

最后要說明的是，在常見的Si基金剛石膜晶片中，金剛石膜厚hDia的選擇也很重要.對此有些文獻認為[1,14]，當 k1hDia≥4(或 hDia/λ≥0.64)時，ZnO/Dia/Si中的聲表面波能量將主要集中于ZnO/Dia層中而很難到達Si襯底.為了驗證這一結論，我們計算了F-I結構下s-ZnO/Dia/Si中Rayleigh波在不同金剛石膜厚hDia時的傳播損耗，如圖7所示，當金剛石膜厚hDia有限且k1hZnO＜1.44時，Rayleigh波波速將超過硅襯底的慢剪切體波波速(～5645 m/s)，所以其部分能量會通過與體聲波的耦合而泄漏到Si襯底內部，從而引起能量損耗，實際上此時的聲表面波已成為漏表面波.對于漏表面波，當其傳播損耗小于10-3dB/λ時[35]，其傳播損耗對器件的影響就可以忽略.若以此為標準對圖7進行考察后會發(fā)現(xiàn)，當hZnO/λ較小時，ZnO/Dia/Si中的金剛石膜厚hDia至少應滿足hDia≥2λ才能忽略Si襯底的影響，此時ZnO/Dia/Si中的聲表面波特性與ZnO/Dia中的基本相同.例如文獻[1]中的實驗數(shù)據(jù)雖然是在ZnO/Dia/Si基片上所測，但由于其金剛石膜厚hDia=20μm[36]，測試器件的IDT周期λ=6或8μm[1]，顯然滿足hDia＞2λ，所以其實驗數(shù)據(jù)與本文所計算的ZnO/Dia聲表面波特性結果符合得很好.

圖7 s-ZnO/Dia/Si在F-I結構下Rayleigh波在不同金剛石膜厚hDia時的傳播損耗

4 結論

本文以剛度矩陣法為基礎，推導了ZnO薄膜/金剛石在I-F，I-M，F(xiàn)-I和M-I四種激勵條件下的有效介電常數(shù)計算公式，并以此為工具計算了多晶ZnO(002)薄膜/多晶金剛石和單晶ZnO(002)薄膜/多晶金剛石四種激勵條件下聲表面波模式的相速度和機電耦合系數(shù)頻散曲線，通過與相關文獻中實驗數(shù)據(jù)的比較，驗證了本文計算方法的有效性.此外，從計算結果的討論和分析中發(fā)現(xiàn)：1)相比于聲表面波的相速度，其機電耦合系數(shù)對激勵條件的不同和ZnO材料參數(shù)的差異都要敏感得多，而且當ZnO膜厚較小時，多晶ZnO中的K2有可能比單晶ZnO中的大;2)在Rayleigh波和Sezawa波相速度十分接近的特殊區(qū)域，其機電耦合系數(shù)也出現(xiàn)了快速變化的現(xiàn)象，這可能與該區(qū)域附近兩種模式位移偏振態(tài)的互換有關.最后本文列出了ZnO薄膜/金剛石基片在四種激勵方式下前三種聲表面波模式的一些典型聲學參數(shù)，如ZnO膜厚、相速度、機電耦合系數(shù)及相速度頻散值等，這些參數(shù)對于金剛石膜厚hDia≥2λ(λ為叉指電極周期)的ZnO/金剛石/Si晶片仍然適用，所以對于高頻金剛石聲表面器件的設計和制作具有重要的參考價值.

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