平面鏡成像問題再討論

陳 雁

（浙江省寧波市鎮海教師進修學校，浙江 寧波 315200）

1 用平面鏡成像的基本原理對競賽題進行簡明求解

本刊2012年第11期刊登了“對一道競賽題的再思考”，以下簡稱“再思考”，文章對競賽題的錯誤答案進行了分析，并給出了正確的結果.但文章中關于為何成7個像的討論和作圖過于復雜，本文試著用平面鏡成像的基本原理，簡明得出成像的個數.

圖1

“再思考”一文討論的競賽題：如圖1所示，房間內一墻角處相臨兩墻面掛了兩個平面鏡，兩平面鏡相互垂直，在該墻角緊靠鏡面處放有一個臉盆，盆內有水.某學生通過鏡面和水面最多能看到自己像的個數為

（A）3個. （B）6個. （C）9個 （D）無窮.

原題答案是選項（B），是錯誤的.正確的結論應該能看到7個像.

競賽題中，臉盆內的水可以看作水平面上的平面鏡.因此，本題就相當于研究3面互相垂直平面鏡的成像問題.

平面鏡成像特點：像與物關于鏡面對稱.

先討論2面互相垂直的平面鏡成像，如圖2所示.M1、M2為互相垂直的平面鏡.S1、S2是一次反射成像：S1是物體經過平面鏡M11次反射成的像，S2是物體經過平面鏡M2成的像；S12是物體先經過M1再經過M22次反射后所成的像.由于M1、M2互相垂直，所以物體先經過M1后經過M2反射所成的像S12與先經M2后經M1反射所成的像S21剛好重疊，物體S共成3個像.

圖2

3面互相垂直的平面鏡的成像如圖3所示.M1、M2、M3為互相垂直的平面鏡.根據平面成像特點，物體在平面鏡M1、M2所成的3個像連同物體S，在平面鏡M3中成4個像，所以物體S在3面互相垂直的平面鏡中共成7個像.7個像中，3個是正立的，4個是倒立的；其中S123是物體經過3次反射后所成的像.由于3個平面鏡互相垂直，使得3次反射所成的像S123、S132、S213、S231、S312、S321重疊.

圖3

為了驗證結果，筆者做了實驗，能很清楚看到7個像.

出題者，可能是遺漏了物體S在平面鏡M3中所成的像，給出了錯誤的結果.

2 對互成角度2面平面鏡成像規律的討論

“再思考”一文中另一個結論：“像和被成像者關于鏡面對稱，既然是對稱的，它們應該成對出現，成像個數就為奇數.”

平面鏡成像個數一定為奇數嗎？從上面的討論可知，2面互相垂直的平面鏡應該成4個像，因為經過2次反射所成的2個像重疊，所以能看到3個像.如果2次反射所成的像不重疊，那么成像個數可以是偶數個，這種情景存在嗎？

圖4

如圖4所示，設兩平面鏡OM、O N鏡面夾角為θ，兩鏡面間有一物點S，與兩鏡面直線相交于0點的距離為R.根據平面鏡成像的特點，作物點S的像點S1、S2、S3、S4、…… 和 S1′、S2′、S3′、S4′、…….S1、S2、S3、S4、……是物體最后經 平 面 鏡 OM 反 射 所 成 的 像 點；像 點 S1′、S2′、S3′、S4′、……為最后經平面鏡O N反射所成的像點.

物點經過2平面鏡多次反射后，成像位置在2平面鏡延長線之間，則這個像即為最后成像，如圖4中的像S7、S7′.如果S7、S7′不重疊，則成像為偶數個.

直接研究物點S經2平面鏡反射成像個數，試過幾種方法，發現問題比較復雜，很難得出一般規律.為此，換一種思路，先討論2平面鏡自身成像情況，在此基礎上，再討論物點成像個數規律.

2.1 平面鏡自身成像

任意夾角θ的2平面鏡，當它們之間的物點S經過2平面鏡多次反射成像時，平面鏡本身作為物體，經過彼此平面鏡的多次反射也能成像.平面鏡OM、ON之間的夾角為θ，根據平面鏡成像原理，2平面鏡成像如下圖所示，小標號表示反射的次數.如OM1為平面鏡OM經過1次反射后成的像，OM2為平面鏡OM經過2次反射成的像……同理，ON1為平面鏡ON經過1次反射后成的像，ON2為平面鏡ON經過2次反射成的像……根據平面鏡成像原理，OM2可以看作OM經過虛鏡ON1反射成像，OM4可看作虛物OM2經過虛鏡ON2反射成像……2平面鏡經過多次反射后，成像位置在其自身延長線OA、OB之間，則為最后成像位置，因為此時的像位于平面鏡背面，從這些“像”發出的光線不能射到鏡面，因而不能再成像.

若L為奇數，平面鏡及其所成的像將圓分為2 K＋1個圓心角為θ的區域和1個圓心角為α的區域，L＝2 K＋1.最后的K、K′區域沒有重疊部分.所分區域關于角平分線CD對稱，如圖5所示.

圖5

若L為偶數，平面鏡將圓周分為2 K個圓心角為θ的區域和1個圓心角為α的區域，L＝2 K.平面鏡成像關于角平分線對稱，在角平分線的2側各形成圓心角為θ的K個區域，最后的K、K′區域部分重疊，重疊部分所對圓心角θ－α.如圖6所示.

圖6

2.2 物點S成像情況

物點S位于平面鏡MN 之間，經過多次反射，在每個圓心角為θ的區域內成一個像.因像點位于2平面鏡之間，平面鏡OM、ON 的延長線OA、OB在最后的K、K′區域內，所以問題變得比較復雜.物點S最終能成幾個像，關鍵要討論以下2個方面.

（1）最后的K、K′區域的像SK、SK′的位置：如果SK、SK′位于2平面鏡的延長線OA、OB之間，則不能再成像；如果SK、SK′位于2平面鏡的延長線OA、OB之外，則能再次經平面鏡反射成像.

（2）最后成的2個像會不會重疊：如果最后的2個像重疊，則成像數要減去一個.

物點S在每個圓心角為θ的區域中成1個像，成2 K個像，再對K、K′區域的像SK、SK′，進行討論.

①K區域中像點SK能再次成像SK＋1；K′區域的像SK′位于2平面鏡延長線OA、OB之間，不能再成像，如圖7所示.

圖7

像SK＋1和像SK′不可能重疊.

事實上，SK＋1、SK關于OB 對稱，OMK、OMK－1關于OB對稱，像點SK＋1不可能位于K′區域，所以像SK＋1和像SK′不可能重疊.

①K、K′區域中的2個像SK、SK′均能再次成像，最后2個像為SK＋1、SK＋1′，如圖8所示.

圖8

圖9

①K區域中的像SK能再次反射成像為SK＋1，K′區域的像SK′位于OA、OB之間，不能再次成像.如圖10所示.

圖10

若α≠0，像SK、SK不會重疊，共成2 K＝L個像.

圖11

這2種情況，成像個數均為L－1.

（3）成像個數列表.

表1

表1中，θ為2平面鏡夾角，β為物點S與平面鏡交點O的連線與2平面鏡的夾角.2.4 舉例L為奇數：

β≤12°，成9個像；12°≤β≤21°，成8個像.

以上是對互成角度2平面鏡成像規律的討論，如有不當之處，請各位同仁指正.