探究逐差法處理紙帶時奇數段位移該如何取舍

戴耀東

（江蘇省海門中學，江蘇 南通 226100）

根據紙帶上的點跡求加速度，是高中物理實驗數據處理的一個重點.高中最常用的是逐差法，其優勢在于充分利用數據，從而獲得比較準確的結果.在用“逐差法”求加速度的時候，如果位移為偶數段，則可以把紙帶整體分成兩份，后面的減去前面的就可以了.

但是如果有奇數段位移的時候，就需要舍棄一段，但是究竟舍棄哪一段呢？對于這個問題一般有兩種說法：第一種說法：舍棄第一段，因為第一段的長度最小，相對誤差會比較大；第二種說法：舍棄最中間的一段，因為中間段的數值較接近真實值，這個時候就需要對兩邊的數據進行平均，才能較好地反映出加速度.

這其實是一個關于實驗數據處理方法的問題，必須分析結果與真實值的吻合度，才能判斷哪個說法更好.

1 參考值的獲得——最小二乘法

最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數學優化技術.它通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配.利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數據，并使得這些求得的數據與實際數據之間誤差的平方和為最小.根據此種最小二乘法處理數據得到的結果相對是比較精確的，也成為比較專業的數據處理方法.其結果可作為本次數據處理結果的參考值.

筆者利用專業軟件Origin二次曲線擬合x－t關系x＝Intercept＋B1t＋B2t2，可知a＝2B2.Origin使用最小二乘法擬合數據，得到的加速度（2B2）將作為兩種數據處理方法的參考值，根據差異來判斷兩種方法的優劣.

2 實驗簡介與數據

2.1 實驗簡介

圖1

如圖1，筆者參照人教版高中物理必修1中的演示實驗“用打點計時器研究自由落體運動”.據多次嘗試，該實驗獲得的紙帶穩定性較好.而且只要紙帶能達1m，就能獲得比較多的數據.然而若選擇“小車速度隨時間的變化規律”則會受軌道長度的限制，不利于本次研究的展開.

實驗注意點：① 使用的墨粉紙盤或者復寫紙要勤換，一般1～2次實驗就換一次.因為本實驗一次性打點比較多，其中任何一個點跡不清晰都會導致失敗.

②一次實驗用兩條紙帶，分別位于墨粉紙盤上下兩側，有助于減少不清晰的點跡.

③接通電源后要盡快釋放紙帶，否則會有不清晰的點跡.

2.2 實驗數據

本次處理的數據共9組，全部來自筆者在同一時間完成.

表1

圖2

3 數據處理

（1）將各次的實驗數據分別輸入Origin，二次函數擬合x－t關系，分別得到參考值如圖2.

圖2

將各次實驗處理結果中的B2的兩倍作為各次的加速度的參考值（表2）.

表2

（2）舍棄最中間一段DE.

計算公式：

注：每兩個點取一個記數點（T＝0.04s），下同.

Excel計算結果見表3（根據實驗數據取小數點后4位）.

表3

（3）舍棄第一段OA.

計算公式：

Excel計算結果表4.

表4

（4）實驗結果匯總分析見表5.

表5

可得，9組數據中除第6、8組之外，其他的7組均是舍棄中間一段計算出的a更加接近參考值.

如果定量分析其中的差異，可以借鑒方差的方法，算法如下：

得到a1與a0的“差異”為0.000946164.同理可得a2與a0“差異”為0.012743815.

從實驗數據上看，兩種方法均能較好地計算出加速度，而舍棄中間一段這種數據處理方法更好一些.筆者認為原因有以下兩點：

（1）舍棄第一段有和處理紙帶前“舍棄前面不清晰的點跡”重復，導致第一段的數據在處理過程中沒有任何的作用，僅僅是為了滿足逐差法的這種處理方法，有削足適履之嫌.

（2）舍棄中間一段，讓兩端的數據相距較遠，更加獨立.但是否可以減小誤差，又或者是其他原因還有待商榷.

1 劉曉紅.幾種由紙帶求加速度的實驗數據處理方法的比較.物理教師，2004（5）：34～35

2 李進，楊長春.對由紙帶求加速度實驗方法的探討.物理通報，2009（5）：43～44

3 鄧雪益，林飛.對逐差法算加速度的原理及紙帶數據科學性的疑惑.物理教學探討，2013（5）（上半月）：39