等效法在自主招生考題中的應用

李柏濤

（寧波市柴橋中學，浙江 寧波 315809）

等效法也叫等效替代法，是物理學研究的重要方法之一.它是把陌生、復雜的物理對象、物理過程在保證某種效果、特性或關系相同的前提下，轉化為簡單、熟悉的物理對象、物理過程來研究其本質和規律的一種思想方法.在高中物理解題中，常見的等效法替代有很多種情況：諸如對象的等效、模型的等效、過程的等效、運動的等效、作用的等效、原理的等效、圖形的等效和方法的等效等等.在歷年的自主招生考題中常會出現要用或能用等效法解決的問題，今賞析如下.

1 原理的等效

例1.（2008年復旦大學自主招生考題）現有帶刻度的尺，細直玻璃管，玻璃杯，一根彎成直角的細玻璃管，一定量的水，量角器，要制成最簡單方便的加速度測量儀，用于測量列車的加速度，應選用

（A）細直玻璃管、尺、水. （B）玻璃杯、尺、水.

（C）彎成直角的細玻璃管、尺、量角器、水.

（D）細直玻璃管、玻璃杯、尺、水.

解析：當列車做加速度為a的勻加速直線運動時，玻璃杯中的水面將與水平面形成一定的傾角，如圖1所示.

圖1

圖2

本例正確答案為選項（B）.

2 模型的等效

例2.（2011年卓越聯盟自主招生考題）如圖3所示，兩段不可伸長細繩的一端分別系于兩豎直桿上的A、B兩點，另一端與質量為m的小球D相連.已知A、B兩點高度相差h，∠CAB＝∠BAD＝37°，∠ADB＝90°，重力加速度為g.現使小球發生微小擺動，則小球擺動的周期為

圖3

圖4

解析：根據題設條件，可得△CAB?△DAB，則BD＝BC＝h.過D點向AB作垂線，交AB于E點，如圖4所示，DE即為等效單擺的擺長，其長度為

本例正確答案為選項（D）.

3 效果的等效

例3.（2011年卓越聯盟自主招生考題）半徑為R的接地金屬球外有一電荷量為q的點電荷，點電荷與球心O相距d＝2R，如圖5所示.金屬球上的感應電荷為

圖5

圖6

解析：用假想點電荷q′來等效替代金屬球上的感應電荷，根據對稱性，q′應在Oq連線上，如圖6所示.在q和q′的共同作用下，球面上任一點P的電勢都為0，則

4 過程的等效

例4.（2011年卓越聯盟自主招生考題）心電圖儀是將心肌收縮產生的脈動轉化為電壓脈沖的儀器，其輸出部分可用一個與大電阻（r＝40k Ω）相連的交流電源來等效，如圖7所示.心電圖儀與一理想變壓器的初級線圈相連，揚聲器（可以等效為阻值R＝8Ω的電阻）與該變壓器的次級線圈相連.在等效電源的電壓有效值U0不變的情況下，為使揚聲器獲得最大功率，變壓器的初級線圈和次級線圈的匝數比約為

圖7

圖8

解析：設輸入電流為I1、輸入電壓為U1、初級線圈的匝數為n1，輸出電流為I2、輸出電壓為U2、次級線圈的匝數為n2，則

把心電圖儀等效地看成一個電動勢為U0、內阻為r的電源，把變壓器和負載R等效地看成一個電阻R′，如圖8所示，根據電阻的定義有

5 運動的等效

圖9

例5.（2011年華約聯盟自主招生考題）如圖9所示，水平高臺上有一小車，水平地面上有一拖車，兩車之間用一根不可伸長的繩跨過定滑輪相連.拖車從滑輪正下方以恒定速度沿直線運動，則在拖車行進的過程中，小車的加速度

（A）逐漸減小. （B）逐漸增大.

（C）先減小后增大. （D）先增大后減小.

解析：將拖車的運動依據實際效果分解為沿繩的分運動，分速度v1＝vc o sθ；垂直于繩的分運動，分速度v2＝vsinθ，如圖10所示.眾所周知，加速度是表示速度變化快慢的物理量.加速度的改變與其速度的大小改變和與其垂直速度的方向改變有關.今拖車的分速度v1和v2的大小和方向都在變化，因此拖車的加速度應該有4個分量，如圖11所示.加速度a1改變分速度v1的大小，使v1增大，加速度a1′改變分速度v1的方向；加速度a2改變分速度v2的大小，使v2減小，加速度a2′改變分速度v2的方向.

圖10

圖11

由于拖車以恒定速度沿直線運動，所以拖車的加速度為0.現在“無中生有”，將“0”等效為4個加速度，即

本例正確答案為（A）.

6 方法的等效

圖12

例6.（2013年北約聯盟自主招生考題）如圖12所示，在一豎直平面內有水平勻強磁場，磁感應強度B的方向垂直該豎直平面朝里.豎直平面中a、b兩點在同一水平線上，兩點相距l.帶電荷量q＞0，質量為m的質點P，以初速度v從a對準b射出.略去空氣阻力，不考慮P與地面接觸的可能性，設定q、m和B均為不可改變的給定量.

（1）若無論l取什么值，均可使P經直線運動通過b點，試問v應取什么值？

（2）若v為（1）問可取值之外的任意值，則l取哪些值，可使P必定會經曲線運動通過b點？

（3）對每一個滿足（2）問要求的l值，計算各種可能的曲線運動對應的P從a到b所經過的時間.

（4）對每一個滿足（2）問要求的l值，試問P能否從a靜止釋放后也可以通過b點？若能，再求P在而后運動過程中可達到的最大運動速率vmax.

圖13

圖14

圖15

圖16

圖17

通過以上6個例題看到了等效法在解題中的應用，不難發現等效法是把復雜的物理現象、物理過程轉化為簡單的、等效的物理現象、物理過程來研究和處理的一種重要科學思維方法.在教學過程中，若能把等效的解題方法滲透到對物理現象、物理過程的分析中去，不僅可以使我們對物理問題的分析和解答變得簡捷，而且對靈活運用知識、促使知識、技能和能力的遷移，都會有很大的幫助，能極大地活躍學生的思維.