單擺周期是否存在“無窮大”——由“太空授課”引發的思考

王太軍 唐忠敏

（1.西北師范大學教育學院物理教育研究所，甘肅 蘭州 730070；2.西北民族大學預科教育學院，甘肅 蘭州 730030）

2013年6月20日上午10時“神舟十號”航天員王亞平在“天宮一號”中給地面的師生講授了一堂“太空物理課”（下稱“太空授課”）.此次太空授課主要面向中小學生，使其了解失重條件下物體運動的特點、液體表面張力的作用，加深對質量、重量以及牛頓定律等基本物理概念和規律的理解.

太空授課中所做的物理實驗，可謂奇妙無比，是在地面重力環境下無法完成的，讓人尤為感慨“知道”與“看到”太不一樣了.其中最為中小學生熟悉的莫過于“單擺實驗”：T形支架上，細繩拴著一顆小球，這是物理課上常見的實驗裝置——單擺.航天員王亞平將小球拉開離支架一定角度后釋放，小球卻以非常慢的速度移動，并沒有像在地面上那樣來回擺動，隨后她再拿著小球拉直細繩，輕推小球，小球即繞著支架的固定點不停地做圓周運動.

1 簡諧運動物體的動力學方程

做簡諧運動的物體要受到回復力的作用，其回復力F與物體相對于平衡位置的位移x成正比，方向與位移x的方向相反，即F＝－kx，其中k是比例系數.對于質量為m的小球，設在t時刻的位移是為x，加速度為a，根據牛頓第二運動定律有F＝ma＝－kx，可得

這就是做簡諧運動物體的周期.

2 單擺的周期及其適用條件

單擺是一種典型的簡諧運動，是一種理想化的物理模型.在地面上，實際的擺只要懸掛小球的擺線不會伸縮，懸線的長度又比球的直徑大很多，或擺球的直徑與懸線長相比可以忽略，再忽略各部分阻力，可認為是構成單擺的條件之一.

圖1

當擺球靜止在O點時，擺球受到的重力G和擺線的拉力T平衡，如圖1所示，這個O點就是單擺的平衡位置.讓擺球偏離平衡位置，此時，擺球受到的重力G和擺線的拉力T就不再平衡.在這兩個力的作用下，擺球將在平衡位置O附近來回往復運動.當擺球運動到任一點P時，重力G沿著圓弧切線方向的分力G1＝mgsinθ提供給擺球作為來回振動的回復力，因此有

其中L為單擺的長度，g為地球表面的重力加速度.

表1

在單擺周期公式的推導中如果用θ代替sin θ，從理論上講，相比直接用sinθ所產生的相對誤差，隨最大擺角的增大而增大.由表1可以看出，最大擺角為5°時相對誤差約為0.13%，10°時約為0.51%，14°時約為1.00%.當實際擺的最大擺角為θ＜10°時，其周期與理想單擺的相對誤差不超過0.5%，可近似地認為單擺的運動為簡諧運動.這一結論，與用不同的方法通過對單擺模型動力學方程的解的高階無窮小量分析所得結論基本一致［5］.

3 關于單擺的周期是否存在“無窮大”情形的探討

根據公式（7），從純數學的角度看，g→0時，有T→∞，似乎成立.但是這在物理意義上講，g→0時，意味著是在近乎完全失重的條件下，而此時擺的模型中就不存在回復力了，沒有回復力，其運動就不再是簡諧運動，當然也就談不上物理意義上的“單擺”了.那么，不是單擺的物理模型，而仍然用單擺模型的運動規律去討論，顯然這是不妥的，它失去了原有的意義.

地面上常用的單擺裝置在“天宮一號”內，由于在近乎完全失重的狀態下，沒有了回復力，這時細繩并沒有給球拉力，裝置的鋼球不再像地面上那樣來回擺動，而是幾乎靜止在原始位置，它不構成單擺的條件，所以不能說成是“單擺的周期無窮大”，因為其前提就是錯誤的.若此時推動小球，相當于給了小球一個初速度，同時細繩又給小球提供拉力，細繩拉力平衡離心力，小球便繞著支架的固定點做圓周運動.這就是“太空授課”中后來我們能看到的“單擺不擺繞圓周”的有趣現象.

如果說從g→0的角度來探討單擺的周期“無窮大”情形沒有物理意義，那么據公式（7），單擺的擺長L→∞時，是否能得出單擺的周期“無窮大”？回答依然是否定的，因為公式（7）的導出過程中實際上是在把地球表面看作無限大的平面情況下得到的，而事實上地球半徑的有限性使得地球表面是一個球面［6］.當擺長L很長以至可和地球半徑R相比時，考慮到地球萬有引力和單擺擺線的拉力的共同作用，我們必須對單擺周期公式重新進行推導［7］，得到單擺周期的修正公式為

故單擺的最長周期是約84min，而不是“無窮大”.

1 周衍柏.理論力學教程（3版）.北京：高等教育出版社，2009.

2 譚志中.求大擺角單擺周期近似解的“局部常化”方法.大學物理，2005（12）：14～17

3 劉鳳祥.單擺運動周期的近似解.大學物理，1999（19）：5～7

4 邵子蘭.簡諧運動方程的求解方法.安徽大學學報（自然科學版），1993（3）：92～94

5 吳云虎.對單擺周期測定值誤差的詮釋.中學物理教學參考，2004（6）：18～19

6 管習文，韋聯福.單擺周期與地球半徑.四川師范大學學（自然科學版），1991（4）.

7 于俊亭.對單擺周期公式若干問題的理論詮釋.中學物理，2008（7）：11