點質量模型與最小二乘配置在多源重力數據融合中的應用*

高新兵 李姍姍 李海 張宏偉 王應建

1)解放軍信息工程大學測繪學院，鄭州 450052

2)解放軍61365 部隊，天津300140

1 引言

隨著空間重力測量手段與技術的發展，覆蓋陸海交界區域的重力數據呈現多樣化，為了綜合利用這些多源重力場信息有效構建陸海交界區真實可靠的重力基礎數據，將這些數據進行有效融合顯得尤為重要。因此，越來越多的學者開始研究多源重力數據的融合問題［1－5］。目前最小二乘配置是比較常用的方法，但存在一些缺點:1)必須有足夠的實測數據以構建準確的先驗信息;2)協方差函數模型的選取具有一定的盲目性;3)用配置法進行推估未知點時需要解算N ×N 階矩陣，觀測數據密度很大時協方差矩陣可能變得高度病態，另外大型矩陣的求逆也是一個問題。因此尋找合適的多源重力場信息融合處理方法以盡量彌補以上缺限顯得很有必要。本文重點研究點質量模型方法與最小二乘配置方法在融合多源重力數據中的應用，并針對融合過程中存在的問題進行改進。

2 最小二乘配置

2.1 基本原理

最小二乘配置(LSC)的基本公式為［6－9］:

式中Δg、Δg、Δga分別為待求點、地面已知點、空中已知點的重力異常，Cst為未知點重力異常與已知點重力異常之間的協方差矩陣，Csg、Csa分別為未知點與地面已知點、空中已知點之間的協方差矩陣;Ctt為已知點重力異常的協方差矩陣，其中g 代表地面點、a 代表空中點。

從式(1)可以看出，準確確定重力測量數據的自協方差與互協方差矩陣需要大量的先驗信息，本文采用常見的三維協方差模型［10］:

式中，C0為重力異常的方差，B是模型參數，b=1/B，地面和空中的C0、b 分開統計與計算。

2.2 多分辨率最小二乘配置融合

多源重力數據來源廣泛并且在分辨率、頻譜敏感性方面存在較大差異，不同分辨率的重力場觀測信息對應頻譜的頻率不同。基于此，本文提出的多分辨率最小二乘配置則是對同一區域的多分辨率信號在相同頻譜上進行融合，而不改變不交叉的頻譜段。這樣低分辨率數據的加入只使信號的低頻部分發生改變，而對信號的高頻沒有影響，從而提高數據融合的精度。其具體實現步驟為:

1)將已知最高分辨率的觀測數據根據最小二乘配置的基本原理推估得到待估信號在該分辨率上的最優估值;

2)利用低通平滑濾波將第一步得到的信號估值稀疏到分辨率較低一級的尺度空間;

3)由2)得到的數據和具有相同分辨率的觀測數據作差;

4)將差值擬合推估成較高分辨率的校正差;

5)將4)得到的校正差疊加到1)得到的較高分辨率的信號上，最終融合形成高分辨率的最優估值。

3 基于逐級余差思想的點質量模型方法

3.1 基本原理

根據龍格定理，地球外部擾動位可以用包含在地球內部一個球外的正則調和函數逼近，該球稱為Bjerhammar 球。如圖1 所示，假定點質量模型由離散地分布于地下的擾動質量為Mj(j=1，2，…，k)的k 個擾動質點Mj組成，則地面點或空間點的重力異常的計算式為:

式中，G 為引力常數，ri為第i 個重力異常Δgi的地心距離，Rj為第j 個點質量Mj的地心距離，ψij為第i 個重力異常Δgi與第j 個點質量Mj之間的球心角距，rij為第i 個重力異常Δgi與第j 個點質量Mj之間的距離。

將式(3)寫成矩陣形式為:

點質量模型的具體建立過程:首先將已知最低分辨率的實際重力異常減去模型重力異常(36 階)得到殘差重力異常，進而解算得到相應深度(1° ×1°、20' ×20'、5' ×5、2' ×2'的點質量層埋藏深度分別為:100、40、10、(4 + 0.655)km(航高))的點質量［10］;然后按照分辨率遞增(1° ～2')順序，利用相應殘差重力異常依次解算該分辨率對應的點質量層，其中殘差重力異常是相應分辨率的實際重力異常減去模型重力異常和所有由比該分辨率低的點質量計算的重力異常。

圖1 局部點質量模型的計算Fig.1 Calculation of local point mass model

4 實驗分析

實驗數據來源于澳大利亞某區域2' ×2'的航空重力異常數據和5' ×5'、20' ×20'、1° ×1°的地面重力異常數據(圖2。1° ×1°分辨率的數據范圍為25°×25°，圖中沒有完全顯示)，利用這些數據融合得到與航空重力數據相同范圍分辨率的地面重力數據。計算采用EGM2008 的前36 階模型。

4.1 融合結果

基于最小二乘配置與點質量模型理論對實驗區的數據進行融合，所得的結果見圖3、4(白色區域為航空重力空白區)。從圖3 可以看出，最小二乘配置的兩種方法融合結果大體趨勢相同。從圖4 易知，與最小二乘配置結果相比，僅有地面數據構建的三層點質量模型融合結果存在嚴重偏離，而聯合航空和地面重力數據建立的四層點質量模型與最小二乘配置總體趨勢基本相同。

4.2 精度分析

為了評定精度，對融合所得數據進行三次插值得到的數據，與地面重力測量的離散數據在12°12'S～12°24'S，133°E ～133°20'E 范圍內的121 個點(圖5)進行檢核，其結果見圖6 與表1。從圖7 和表1容易看出，多分辨率最小二乘配置融合的精度要明顯優于最小二乘總體配置。

從圖7 和表2 可以看出，基于點質量模型理論可以有效融合多源重力場數據。本文聯合航空重力數據與地面數據建立四層點質量模型的精度要高于只用地面數據建立的三層點質量模型，但存在接近4 ×10－5ms－2的系統誤差，從表3(與地面離散數據對比結果)可以看到，基本可以忽略EGM2008 模型誤差對此的影響。這可能與不同重力測量手段和觀測儀器得到的測量數據表現出不同的誤差特性以及重力基準、坐標基準、地球參考框架的選擇有一定的關系;另外點質量模型的誤差也不容忽視［12］。

表1 最小二乘配置融合所得數據的插值結果與地面離散數據的對比結果(單位:10 －5ms －2)Tab.1 Comparison between data of LSC fusion and ground discrete data(unit:10 －5ms －2)

圖7 點質量模型融合所得數據插的值結果與地面離散數據的差值(單位:10 －5ms －2)Fig.7 Difference between interpolation result of point mass fusion and ground discrete data(unit:10 －5ms －2)

表2 點質量模型融合所得數據的插值結果與地面離散數據的對比結果(單位:10 －5ms －2)Tab.2 Comparison between data of point mass model fusion and ground discrete data(unit:10 －5ms －2)

表3 EGM2008 模型截斷誤差對點質量模型融合結果的影響(單位:10 －5ms －2)Tab.3 Effects of the EGM2008 truncation error on the fusion result of point mass model(unit:10 －5ms －2)

4.3 病態性分析

為了檢驗實驗方法解的穩定性與可靠性，需分析法方程的制約性(表4)。

法方程的制約性是指法方程的解對法方程系數矩陣和自由項向量的微小擾動(如舍入誤差)的敏感程度。若微小的擾動引起解的變化較大則法方程制約性差、病態;反之則法方程制約性好、良態。統計應用中的經驗認為:當條件數＜100 時，沒有復共線性;當100 ＜條件數＜1 000時，存在中等程度或較強程度的復共線性;當條件數＞1 000 時，存在嚴重的復共線性，存在病態［13］。

從表4 容易看出，最小二乘總體配置的病態性最嚴重，多分辨率最小二乘配置次之，較最小二乘總體配置有很大改善，點質量模型則不存在病態。而矩陣病態性越嚴重，對其求逆就越不穩定，從而得到的解就越不可靠。總之，點質量模型的法方程的制約性要明顯好于最小二乘配置，可以有效解決最小二乘配置存在的病態問題。

表4 各種實驗方法的系數矩陣的病態性分析Tab.4 Ⅲ-conditioning analysis on coefficient matrix of every experimental methods

5 結論

通過實驗得知，最小二乘配置與基于逐級余差思想的點質量模型都可以有效地融合多源重力數據。從精度上分析，多分辨率最小二乘配置的精度要明顯優于最小二乘總體配置，加入空中數據的四層點質量模型精度高于僅由地面數據建立的三層點質量模型。從病態性分析來看，最小二乘配置存在較為嚴重的病態性問題，而點質量模型的各層系數矩陣都是良態的，即點質量模型方法具有良好的抗拒病態性干擾的能力。

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