雙基線姿態確定三種算法的比較分析*

劉曉輝 黨亞民 王潛心 楊 磊

1)中國測繪科學研究院，北京 100830

2)山東科技大學，青島266510

1 引言

所謂定姿，就是確定載體坐標系與參考坐標系的相對關系。在航空、航天、航海和陸地導航任務中，都需要準確測定載體的姿態信息。目前用于測定姿態的傳感器主要有陀螺儀、星敏感器、太陽敏感器、磁力計和全球定位系統(GNSS)等。

通常將確定三軸姿態的算法分為兩類:確定性算法和最優化算法［1］。目前最好的確定性算法是TRIAD 算法［2］，但該算法只能利用兩個觀測矢量的信息，不是最優算法且有主軸敏感性。黎湧等人［4］于2000年提出一種融合TRIAD 算法，他們利用兩個觀測矢量的和與差構造正交矢量從而消除了主軸敏感性，并且對姿態角而不是對姿態矩陣進行加權從而省去了矩陣的正交化過程。最優化算法就是尋找使建立的代價函數最小的姿態矩陣，也就是Wahba 問題［5］，這一問題直到QUEST 算法［6］提出才得以完滿解決。但是QUEST 方法需要求解特征值和特征向量，計算過程復雜、耗時長，對計算機要求較高。在雙基線定姿的實際應用中，有時需要較高的姿態更新率，有時需要程序計算簡單，有時需要較高的定姿精度，究竟該選擇哪種算法才能滿足需要，本文將對這一問題進行研究。

2 雙基線定姿算法

2.1 TRIAD 算法

已知參考坐標系下兩條非平行單位矢量為W1和W2，它們在載體坐標系下對應的單位矢量為V1和V2。

在參考坐標系下構造三條正交的單位矢量:

在載體坐標系下構造三條正交單位矢量:

利用單位正交矢量構造單位正交陣:

式中A 為姿態矩陣。

式中α 為橫滾角，β 為俯仰角，γ 為航向角。

2.2 優化TRIAD 算法

一般情況下，第一個觀測矢量和第二個觀測矢量測量精度不同。該方法就是分別用第一和第二個觀測矢量作為主矢量構造正交陣，得到兩個姿態矩陣，然后再對這兩個矩陣進行加權平均，最后對得到的矩陣進行正交化。具體解算步驟如下:

以W1和V1作為主矢量求得的姿態矩陣為A1，方差為;以W2和V2為主矢量求得的姿態矩陣為A2，方差為。

式(5)是對A'的正交化［3］。矩陣A 即為最后要得到的姿態矩陣。

2.3 Quest 算法

設代價函數定義為:

最優化算法是尋找最優的正交姿態矩陣Aopt使L(A)最小，Quest 算法把問題轉化為尋找最優四元數，然后根據四元數和姿態矩陣的關系求得姿態角，四元數與姿態矩陣的關系為:

定義函數

載體運動后的姿態可以看作是繞旋轉軸轉動一定的角度得到的，旋轉軸所指方向的單位矢量用n表示，轉動的角度用θ表示。

用四元數q表示繞n 旋轉θ 角的表達式為:

函數g(A)可以表示成關于四元數q 的二次型函數:

3 試驗分析

分別用TRIAD 方法、優化TRIAD 方法、QUEST方法對不同的仿真雙基線數據進行處理，然后對各種方法的計算精度、計算耗時、代價函數進行分析。

選取載體坐標系下的基線W1和W2如下:

姿態矩陣為:

如果沒有誤差，則V1和V2為:

由于傳感器觀測存在誤差，假設基線誤差服從零均值高斯分布，根據基線精度和姿態角精度的關系［7］，并參考實際測量中姿態角的測量精度，在V1中加入均值為零、方差為0.000 1m2的隨機白噪聲，根據第二條基線和第一條基線的精度比=40、20、10、5 、1、0.2、0.1、0.05 在V2中分別加入8 種均值

從圖1 可以看出，利用優化TRIAD 方法和QUEST 方法計算得到的航向角完全相同。隨著的減小，用優化TRIAD 方法和QUEST 方法計算的優勢越來越明顯(1)。

圖1 三種方法得到的航向角偏差Fig.1 Heading angle deviation with the three algorithms

表1 姿態角標準差信息(單位:°)Tab.1 Standard deviation of attitude angles(unit:°)

通過對三種方法進行比較可以看出:優化TRIAD 方法和QUEST 方法計算得到的航向角、俯仰角和翻滾角的精度完全相同，值為0.1 和0.05時利用優化TRIAD 和QUEST 方法得到的姿態角精度比TRIAD 方法高;利用TRIAD 方法得到的姿態角精度隨的增大而減小，這是因為主基線的精度不變，而第二條基線的精度不斷增高，因此總體上精度不斷增高;而優化TRIAD 和QUEST 方法得到的姿態角精度從向兩邊遞減，并且向減小的方向遞減的速度明顯高于增大的方向的遞減速度。

圖2 不同精度比下三種方法的代價函數比較Fig.2 Comparison among the three algorithms in different precision ratio

表2 代價函數平均值Tab.2 Mean values of cost function

表3 不同情況下三種方法的計算耗時(單位:s)Tab.3 Computation time in different cases(unit:s)

4 結論

1)利用兩條基線進行姿態解算，優化TRIAD 算法和QUEST 算法得到的定姿結果完全相同;

4)姿態角解算精度與代價函數的變化規律不一致。

1 Malcolm D Shuster.Deterministic three-axis attitude determination［J］.The Journal of the Astronautical Science，2004，52(3):405－419.

2 BLACK H D.A passive system for determining the attitude of a satellite［J］.AIAA Journal，1964，2:1 350－1 351.

3 Itzhack Y Bar－Itzhack and Richard R Harman.Optimized TRIAD algorithm for attitude determination［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics(S0731－5090)，1997，20(1):208－211.

4 黎湧，吳宏鑫，劉良棟.融合TRIAD 算法用于GPS 姿態確定［J］.中國空間科學技術，2000，4(2):30－36.(Integration of TRIAD algorithm for GPS attitude determination［J］.Space Science and Technology，2000，4(2):30－36)

5 WAHBA G.Problem 65－1:A Least Squares Estimate of Spacecraft Attitude［J］.SIAM Review，1965，7(3):409.

6 Shuster M D and OH S D.Three-axis attitude determination from vector observations［J］.Journal of Guidance and Control，1981，4(1):70－77.

7 Lu G.Development of a GPS multi-antenna system for attitude determination［D］.University of Calgary，Calgary ，Canada，1995.