區域似大地水準面擬合方法及適用性分析*

郭春喜 聶建亮 王 斌 蔣光偉

(國家測繪局大地測量數據處理中心，西安 710054)

1 引言

區域似大地水準面精化一般通過高精度的GPS/水準點糾正高分辨率的重力似大地水準面實現，因此，高精度GPS/水準成果以及可靠的重力似大地水準面是決定區域似大地水準面精化精度的關鍵因素。目前，GPS/水準成果通常利用高精度GPS測量獲取厘米級甚至毫米級的大地高成果與采用等級水準測量得到可靠的水準成果;而重力似大地水準面一般通過高階次的重力場模型、高精度高分辨率的DEM 以及重力測量資料而獲取，在計算過程中，需嚴格考慮地形影響。在獲取高精度GPS/水準成果以及高分辨率重力似大地水準面的基礎上，合理有效的擬合方法成為提高區域似大地水準面精度的一個重要因素。

擬合逼近方法通常分為函數模型逼近和統計模型逼近，其中函數模型對趨勢項有很好的擬合效果，而統計模型對隨機過程擬合效果較好［1，2］。有學者已將多種擬合逼近方法應用于GPS 高程與重力場等領域，以提高擬合精度［1－19］。雖然以上擬合方法在一定條件下能得到可靠的擬合結果，但很少文獻對這些方法在似大地水準面擬合的應用進行適用性分析。

本文以不同區域面積、不同地形復雜程度的實驗數據為例，系統討論最小二乘配置等多種擬合方法及其在似大地水準面精化中的應用，深入分析各種方法的特點與適用性;首次將自適應最小二乘配置應用于區域似大地水準面擬合，有效控制噪聲與信號協方差矩陣關系不匹配影響，進一步提高擬合效果;采用薄板樣條增強GPS/水準成果控制作用，抑制低精度重力似大地水準面對最終結果的影響，從而提高區域似大地水準面精度。

2 擬合方法

區域似大地水準面擬合一般將離散點的GPS/水準與重力似大地水準面的差值Δξ 作為擬合量。由于重力似大地水準面與實際情況匹配以及GPS/水準數據處理方案等問題，Δξ 不僅含有偶然誤差，還可能含有系統誤差。因此，對于不同區域面積、不同地形復雜程度的區域似大地水準面擬合，合理有效的擬合方法顯得尤為重要。限于文章篇幅，文中僅介紹薄板樣條、神經網絡、最小二乘配置以及自適應最小二乘配置方法，而常用的多項式［12］、球冠諧函數［8，9］等方法可參考相應文獻。

2.1 薄板樣條

薄板樣條是一種二維曲面，它是由一維三次樣條到二維的擴展。該曲面通過所有控制點且不要求擬合點呈規則格網排列，在實際高程異常是連續漸變時，由于樣條函數是曲率最小光滑的曲面，每個擬合點可控制局部范圍，從而被廣泛地應用于各種曲面擬合［11］。薄板樣條函數是樣條函數在兩維空間上的推廣，具有連續、光滑的數學特性。利用薄板樣條函數糾正重力似大地水準面，可以較好逼近實際似大地水準面變化趨勢。

2.2 BP 神經網絡

BP 神經網絡理論上可以無限逼近，使計算結果更加接近于區域似大地水準面的真實趨勢［20，21］。這是因為BP 神經網絡是一種復雜的非線性映射系統，能夠削弱不確定因素等的影響。區域似大地水準面擬合時，BP 神經網絡不僅可以使用擬合點經緯度作為輸入向量中的元素，還可以考慮影響似大地水準面精度的地形信息、觀測精度等因素，以便精確真實地反映區域似大地水準面的變化趨勢。總之，BP 神經網絡擬合區域似大地水準面時，不僅要顧及神經網絡本身的局部極小值、計算結果的隨機性以及訓練函數與學習效率選取等因素影響，還要考慮GPS/水準點的分布、數量、控制范圍等因素。

2.3 最小二乘配置

將GPS/水準和重力似大地水準面之差Δξ 分為固定效應和隨機效應兩部分，較好地解決含有傾向性、隨機性因素的問題，適宜于削弱Δξ 中的系統誤差影響［2］。最小二乘配置的關鍵問題是根據協方差函數確定信號的方差-協方差矩陣ΣS和ΣSS'，目前常用的協方差函數有高斯(Gauss)函數、希爾伏寧(Hirvonen)協方差函數與似高斯(Gauss)函數等。

2.4 自適應最小二乘配置

最小二乘配置能夠控制信號影響，提高估計精度。但觀測噪聲與信號的協方差矩陣一般依靠經驗或者函數模型確定，可能造成兩類協方差矩陣之間的關系不合理，這可以部分歸結方差因子不一致，最終將導致計算精度偏低。針對該問題，楊元喜等［22，23］提出了自適應最小二乘配置方法。該方法首先使用Helmert 方差分量估計構造自適應因子，然后利用自適應因子合理調整觀測噪聲與信號的協方差矩陣之間的比例關系，進一步控制信號對計算結果的影響［22－24］。將自適應最小二乘配置應用于似大地水準面擬合中，抑制Δξ 中的信號影響，調整觀測噪聲與信號協方差矩陣的不匹配關系，以提高似大地水準面的擬合精度。

3 算例分析

為了充分比較分析各種方法的特點，分別選取不同面積、不同地形復雜程度的省市區域似大地水準面精化數據進行驗證。在擬合計算過程中，首先對GPS/水準數據進行粗差探測，削弱異常數據對計算結果的影響;然后根據GPS/水準點分布情況，選取擬合點與檢核點，其中選取特征點作為擬合點，另外隨機選取一部分GPS/水準點作為檢核點;最后，采用不同的擬合方法進行計算，并評價計算精度。

1)北部S 市地區

S 市地區地勢平坦，全境東西寬60 km，南北長50 km。該區域重力資料豐富，重力似大地水準面變化平緩，GPS/水準點分布均勻且密度較高。試驗區共獲取了81 個GPS/水準點的數據，選取均勻分布的56 個數據點作為擬合點，剩余25 個點為檢核點。算例采用6 種方案進行比較分析:三次多項式(POL)、球冠諧函數(SCH)、最小二乘配置(CO)、自適應最小二乘配置(ACO)、薄板樣條(SP)、BP 神經網絡(BP)。6 種方案誤差統計于表1，內、外符合誤差曲線如圖1 ～2。

2)東部Q 市地區

東部Q 市緯度跨度為0.34°，經度跨度為0.53°;該區域地勢相對平坦;重力資料豐富，重力似大地水準面精度較高;GPS/水準點分布均勻，但精度稍差。收集了Q 市102 個GPS/水準點，選取均勻分布的89 個GPS/水準點作為擬合點，剩余13 個點為檢核點。采用S 市似大地水準面擬合所用的6 種擬合方法糾正該區域重力似大地水準面，誤差統計于表2，誤差曲線如圖3 ～4。

3)西部C 省地區

西部C 省東西長1 075 km，南北寬921 km。該地區中部為盆地，盆地周圍為丘陵、山地，西部是高原。由于地形復雜，重力等資料相對缺乏，重力似大地水準面精化程度不高，且變化幅度較大。選取567 個GPS/水準點作為擬合點，均勻地空出了95個GPS/水準點作為檢核點。選取6 種方案進行處理，誤差統計于表3，誤差曲線如圖5 ～6。

由三個典型區域的實驗結果可以得出如下:

1)對于面積較小、地勢平坦、重力與GPS/水準資料豐富的地區，常用擬合方法能夠得到較高的擬合精度，真實逼近似大地水準面變化趨勢，尤其是BP 神經網絡方法得到了最好的內、外符合精度;在面積較大、地形稍復雜的區域，常用擬合方法計算效果一般，而自適應最小二乘配置與薄板樣條都能得到較好的擬合效果;在面積更大、地形非常復雜的地區，自適應最小二乘配置與薄板樣條方法明顯優于其他擬合方法。

表1 各方案誤差統計結果(單位:cm)Tab.1 Statistics of error under each scheme in the city S(unit:cm)

2)在多處實驗區擬合中，薄板樣條函數都能夠得到較好的逼近效果。這是因為該方法使用過點方法進行似大地水準面擬合，充分利用擬合點信息，最大限度地逼近GPS/水準與重力似大地水準面的差值，從而能精確地反映似大地水準面的變化趨勢;但該方法要求擬合點中不能存在異常數據，否則將導致似大地水準面局部變形。

表2 各方案誤差統計結果(單位:cm)Tab.2 Statistics of error under each scheme in the city Q(unit:cm)

表3 各方案誤差統計結果(單位:cm)Tab.3 Statistics of error under each scheme in the province C(unit:cm)

3)與最小二乘配置方法相比，自適應最小二乘配置通過自適應因子的調節作用能夠得到更可靠的計算結果，這種改進效果在C 省擬合計算中有非常明顯的表現，從而證明了該方法的有效性和可靠性。其原因為最小二乘配置能較好地逼近與預測的趨勢性、規律性等變化，還能較合理地反映對中的信號等的影響;利用自適應因子調整信號與噪聲協方差矩陣的不匹配關系，使統計模型更加可靠，進而提高重力似大地水準面的糾正效果。

4 結論

在面積較小、地勢平坦的地區，常用擬合方法能夠得到較好的逼近效果;在面積較大、地形復雜、重力似大地水準面精度較差的地區，薄板樣條函數能夠進一步提高GPS/水準的控制作用，提高重力似大地水準面的擬合效果;在面積較大、地形復雜、重力資料豐富、GPS/水準點分布均勻且密度較高的地區，自適應最小二乘配置能夠得到可靠的似大地水準面擬合結果。自適應最小二乘配置、薄板樣條等多種擬合方法在一定條件下能得到較高的擬合精度，但數據中的粗差將大大降低這些擬合方法的計算精度與可靠性。

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