基于Cook距離的三維激光掃描點云平面擬合*

嚴劍鋒 鄧喀中

1)中國礦業大學國土環境與災害監測國家測繪局重點實驗室，徐州 221116

2)中國礦業大學環境與測繪學院，徐州221116

1 引言

三維激光掃描技術是20世紀90年代發展起來的一種快速獲取空間三維信息的新技術手段，以其非接觸、掃描速度快、獲取信息量大、實時性強、自動化等優點廣泛用于測繪領域［1］。大部分情況下，三維激光點云處理的最終目的是建立精確的掃描物體的可視化模型。石銀濤等［2］采用CAD 建模和地面三維激光掃描建模分別對某歷史建筑進行三維模型重建，得出掃描建模方法具有快速、高效、精度高等優點;張毅等［3］將地面三維激光掃描技術應用于公路建模，完成了數字表面模型、等高線、縱橫斷面等的模型生成。

由于真實場景中含有大量平面特征，這些平面特征可以在后續建模中簡化數據或者直接進行局部建模。因此平面特征提取成為3D 建模的重要組成部分，獲取高精度的擬合平面是建模的重要研究內容［4］。很多研究人員對于平面擬合進行了研究和應用，潘國榮等［5］對RANSAC 算法進行改進，提出擬合平面自動提取算法，得到了理想的結果;官云蘭等［4］針對點云數據存在粗差或異常值情況，采用一種以特征值法為基礎的穩健的點云數據平面擬合方法。蔡來良［6］對三維激光掃描儀采集的變形監測數據進行平面擬合處理，分析了建筑物的整體形變，證明該方法的可行性和有效性。

三維激光掃描點云數據在獲取過程中因樹木、行人等遮擋會出現異常值，當異常點較多時，平面擬合結果會產生較大的偏差，最小二乘就失去了擬合的意義，影響最終的建模結果。針對這個問題，本文引入可以表征數據對模型估計影響大小的Cook 距離，提出一種基于Cook 距離的平面擬合方法。這種方法通過優選擬合點進行最小二乘平差計算，從而達到精確的平面擬合結果。

2 點云數據的平面擬合

設空間平面方程:

平面擬合總存在一定的誤差，對測得的點云數據(xi，yi，zi)(i=0，1，…，m)，要求其最小二乘擬合平面其實就是使

即可表示成:vi=a0xi+a1yi+a2zi+1，i 為點的個數。求使v 最小的a0、a1、a2的值。對于有m 個點的點云數據，間接平差模型為

寫成誤差方程:

用最小二乘求解，得:

擬合中誤差為:

式中，P 為權陣，一般取單位權。A 為由已知點信息構成的系數矩陣。

3 Cook 距離的定義

設有線性回歸模型

這里Y 為n×1 的觀測向量，β 為p×1 的參數向量，e 為n×1 的誤差向量，X 為n ×p 的系數矩陣。在回歸分析中，常常需要考慮對回歸推斷具有較大影響的數據，這些數據點稱為強影響點。在眾多選擇強影響點的方法中，重要的一類是所謂的影響函數。記β 為從完全數據算出的β 的LS 估計;β(i)為剔除第i 組數據后，從其余n－1 組數據算出的β 的LS估計。稱

為第i 組數據對β 的影響函數。IFi反映了剔除的數據引起回歸系數的LS 估計變化大小。

為了更方便地表征影響函數變化的大小，通常考慮它的某種函數。對于剔除一組數據的情形，Cook 等引進了判定數據對LS 估計影響大小的IFi函數:

這里的M是正定方陣，C 為給定的常數。Di，1(M，C)愈大表示第i 組數據剔除后，β 變化愈大。因此，Di，1(M，C)度量了回歸系數估計β 影響的大小。顯然，Di，1(M，C)依賴于M、C 的選擇。取M=為必要觀測數，為利用完全數據算得的單位權方差)，則稱為Cook 距離:

Cook 距離愈大，表示剔除第i 組數據后，參數的變化愈大［7－9］。

對于本文的平面擬合，不同于文獻［7］中的情況:文獻［7］不存在剔除較大誤差點的問題，只需要找到對擬合影響最大的點，也稱為強擾動點;本文中，計算得到的Cook 值較大的點實際上是平面擬合的強擾動點，Cook 值越大，對應的點與點云整體偏差越大。Cook 值越小，說明去掉該點對整體平面擬合的影響并不大，該點在點云的趨勢中或接近點云整體趨勢，為平面擬合的強勢點。本文基于Cook 距離的最小二乘擬合的目的是將偏離真實平面較多的點剔除在外，采用準確的數據點進行擬合。

4 實驗及結果分析

文中對于部分點云數據進行優選，期望用若干Cook 距離較小的點，進行平面擬合，獲得較準確的結果。本文為說明問題，進行試驗分析，采用一已知平面:1.732 0x+0.577 3y－z+1=0，用該平面完成試驗分析。

已知平面如圖1，從該平面上隨機選取50 個點，并人為將其中任意13個點的坐標改動，使之成為異常點(有的異常點粗差較大，有的較小，如15號點只在z 方向加了0.04 的誤差)，誤差點達到了26%。為方便辨識，異常點號為:5、7、10、15、18、20、25、30、35、37、40、45、50。在三維激光掃描的點云數據中，這些異常點由樹木、行人等遮擋產生。下面的實驗基于經過改動的50 個點的新坐標數據。

圖1 原始平面Fig.1 Original plane

用所有50 個點進行最小二乘平面擬合，得出平面方程2 為:1.635 7x+0.545 7y－0.947 6z+1=0，由式(5)計算擬合中誤差。由式(9)計算Cook 距離，選出Cook 值最小的6 個點，即Cook距離達到0 的6 個點，點號為:13、14、36、43、44、48。

這6 個點即為對準確的模型估計影響最大的點，用該6 個點擬合平面方程3 為:1.732 0x +，擬合中誤差

和用所有數據擬合中誤差相比，Cook 點選取擬合精度更高，相差的數量級在103。

Cook 距離最大的6 個點如表1。從表1 可以看出，這6 個點全是異常值較大的點，通過Cook 距離計算可以被選出與剔除。這樣可以對點云數據進行有效去噪。

增加兩個異常點，當異常點達到15 個時，計算Cook 距離并選出值最小的6 個點用于平面擬合，如表2。

用表2 中點擬合出的平面方程為:1.732 1x +0.577 3y－1.000z+1=0，中誤差為2.369 5 ×10－5，結果仍較準確。

表1 Cook 距離最大的6 個點Tab.1 6 points with the largest Cook distance

表2 15 個異常點時Cook 距離計算的6 個強影響點Tab.2 6 strong impact points based on Cook distance when 15 outliers exist in the point cloud

當然，當點云中異常點較多時，擬合精度和可靠性會降低。通過多次試驗，當有17 個異常點時，無論異常數據在整體點云的哪個位置，15 號點(異常點)的Cook 值始終較小，導致作為異常數據的15 號點被選為擬合點。當擬合點中混入異常數據，對于后期的最小二乘平面擬合不利，精度必然降低。試算發現，該情況下，參數估計中誤差在10－3的數量級，精度明顯下降。這時可以通過適當增加選取的擬合點來提高精度。

5 結論

1)基于Cook 距離的點云數據平面擬合精度較高，穩定性較好，在一定范圍內不會因為某個數據點的變化而導致整個平面的變化。當粗差點在30%內時，可以保持擬合結果的可靠性，和真實平面相當接近。同時，在平面特征明顯的區域使用該方法可以大幅度縮減點云，精簡數據。

2)在最小二乘進行平面擬合過程中，擬合點并不是越多越好，選取適量并有效的擬合點才是應用最小二乘方法的關鍵。

3)當異常點超過30%，中誤差會下降很快，并且擬合出的平面和原始平面差距較大。在三維激光點云數據中，異常點數超過這一限值的情況并不多，然而，對于某些復雜情況，則需要將該方法和其他簡單的濾波方法結合使用，以期達到較高的建模精度。同時，基于Cook 距離的最小二乘也可以進行點云去噪，即通過計算，Cook 距離值較大的點即為誤差較大點或粗差點。

1 張啟福，孫現申.三維激光掃描儀測量方法與前景展望［J］.北京測繪，2011，(1):39－42.(Zhang Qifu and Sun Xianshen.Measuring principle and developmental prospect of 3D laser scanner［J］.Beijing Surveying and Mapping，2011，(1):39－42)

2 石銀濤，程效軍，張鴻飛.地面三維激光掃描建模精度研究［J］.河南科學，2010，2(2):182－186.(Shi Yintao，Cheng Xiaojun and Zhang Hongfei.Study on the accuracy of terrestrial 3D laser scanning modeling［J］.Henan Science，2010，2(2):182－186)

3 張毅，閆利，崔晨風.地面三維激光掃描技術在公路建模中的應用［J］.測繪科學，2008，9(5):100－102.(Zhang Yi，Yan Li and Cui Chenfeng.Application of terrestrial 3D laser scanning to highway modeling［J］.Science of Surveying and Mapping，2008，9(5):100－102)

4 官云蘭，程效軍，施貴剛.一種穩健的點云數據平面擬合方法［J］.同濟大學學報(自然科學版)，2008，7(7):981－984.(Guan Yunlan，Cheng Xiaojun and Shi Guigang.A robust method for fitting a plane to point clouds［J］.Journal of TONGJI University(Nature Science)，2008，7(7):981－984)

5 潘國榮，等.三維激光掃描擬合平面自動提取算法［J］.同濟大學學報(自然科學版)，2009，9(9):1 250－1 255.(Pan Guorong，et al.Fitted plane automatic extraction algorithm of 3－D laser scanning［J］.Journal of Tongji University(Nature Science)，2009，9(9):1 250－1 255)

6 蔡來良，吳侃，張舒.點云平面擬合在三維激光掃描儀變形監測中的應用［J］.測繪科學，2010，9(5):231－232.(Cai Lailiang，Wu Kan and Zhang Shu.Application of point cloud plan fitting to deformation monitoring using 3D laser scanner［J］.Science of Surveying and Mapping，2010，9(5):231－232)

7 丁旭，等.基于Cook 距離的GPS 高程擬合點優選［J］.科技創新導報，2010，(20):81－82.(Din Xu，et al.GPS elevation fitting point optimization based on cook distance［J］.Science and Technology Innovation Herald，2010，(20):81－82)

8 R Dennis Cook.Detection of influential observations in linear regression［J］.Techonmetrics，1997，2(1):15－18.

9 田保光.最小二乘估計中的Cook 距離與相關系數［J］.貴州師范大學學報(自然科學版)，1993，(2):10－15.(Tian Baoguang.Cook Distance and Correlation Coefficient in Least Square Estimator［J］.Journal of Guizhou Normal University(Natural Science)，1993，(2):10－15)