基于改進灰色ARMA 模型的衛星鐘差短期預報研究*

李曉宇 楊 洋 胡曉粉 賈蕊溪

1)中國人民解放軍裝備學院，北京 101416)

2)中國人民解放軍61081 部隊，北京100094

1 引言

高精度、高穩定性的星載原子鐘是衛星導航系統精確定位的關鍵，是衛星導航系統有效載荷的核心。研究認為原子鐘的頻率總波動是幾種不同噪聲的線性疊加，因此很難建立精確的原子鐘運行模型［1］。衛星鐘差則是衛星導航定位尤其是精密單點定位的主要誤差源［2］。鐘差預報的可靠程度直接決定導航精度，研究鐘差預報有利于提高參數預報的可靠性和準確性。

傳統的鐘差預報模型主要有線性模型、二次項模型與灰色預報模型。線性模型和二次項模型計算簡單、短期預報效果好，但由于二次多項式建模時，把噪聲看作是服從正態分布的誤差，從而導致預報精度隨時間的增加而降低;灰色模型需要樣本數據少，抗干擾能力強，但是模型要求原函數光滑且呈指數規律變化，影響了預報的精度和長度［3］。這幾種模型均考慮鐘差的趨勢項，忽略了其隨機項。

本文針對灰色模型預報的局限性以及鐘差的組成特點，結合ARMA 模型隨機項建模的突出優勢，構建組合模型進行鐘差預報，并采用IGS 提供的精密鐘差進行仿真分析，驗證模型的有效性和可行性。

2 灰色模型的改進

2.1 灰色模型［4］

設x0={x0(1)，x0(2)，…，x0(k)，…，x0(n)}為原始鐘差數據列，對x0進行一次累加得生成數列x1={x1(1)，x1(2)，…，x1(k)，…，x1(n)}，其中x1(k)，k=1，2，…，n。

對生成數列x1有:

式(1)的解為:

其離散形式為:

式中，k 為自變量序列，a 為發展系數，u 為控制系數。其中參數序列數據陣為G，數據列為Yn，即:

2.2 灰色模型的改進

由文獻［5］可知，對于衛星鐘差預報，不同的模型指數系數對預報精度的影響很大。圖1 為對PRN1 號衛星利用灰色模型對模型指數系數分別為1 和0.99 時時預報15天的衛星鐘差。由圖(1)可以看出指數系數為1 時，鐘差誤差最大達到40 ns，當指數系數為0.99 時，鐘差誤差最大約10 ns。

圖1 不同模型指數系數得到的預報誤差Fig.1 Prediction errors with different model exponent coefficient

由于灰色模型對GPS 衛星鐘差的預報結果并不好，文獻［5］提出引入指數系數變量λ，對模型進行改進，即將式(3)修改為

為了研究不同衛星鐘差類型情況下的指數系數，可以得到指數系數變量λ 的一般表達式為

在GM(1，1)模型中，a是發展系數，a 的大小及符號反映了以及的發展趨勢［6］。如果a 為負，那么態勢是增長的，a 的絕對值越大，增長越快;如果a 為正，那么態勢是衰減的，a 的絕對值越大，衰減越快。在GM(1，1)模型中引入指數模型參數λ，使預測模型得到優化。如果以及(k)發展態勢增長太快，可以考慮引入λ ＜1，抑制增長態勢;反之引入λ ＞1，促進增長態勢。模型指數系數的優化步驟可概括為:

1)利用原始序列建立灰色模型，通過最小二乘求參數a、u;

2)λ 取值范圍為［0.5，2］，微調λ 代入式(5)利用改進灰色模型計算預報誤差;

3)求出每個λ 對應的灰色預測誤差的均方差;

4)均方差最小對應的λ 值即為最優值，代入改進灰色模型進行鐘差預報。

3 ARMA 模型

時間序列分析(ARMA，Auto Regressive Moving Average)對于一個時間序列{Xi}可以表示為ARIMA(p，d，q)，p、q 稱為模型的階，d表示差分次數。

自回歸滑動平均模型ARMA(p，q)的基本形式為

模型定階過程是通過考察平穩序列樣本自相關函數和偏自相關函數的性質選擇適合的模型擬和觀察值序列，估計自相關階數和滑動平均階數［7］。

由自相關及偏相關計算作圖可以概略判斷ARMA 模型的階數，獲得準確的ARMA 模型階數使用BIC 準則［8］:

確定模型之后，可以對模型中的參數進行估計，選用自回歸方法對參數進行估計。其基本方法為，首先對觀測數據建立AR 模型，取自回歸階數的上界P］，采用BIC 定階方法得到ARMA 模型的階數自回歸系數的估計(a'1，a'2，…，a'p)，計算殘差得

式中t=p' +1，p' +2，…，N。由此可以得到近似的ARMA(p ，q)模型為

式中t=L+1，L +2，…，N，L=max(p'，p，q)，a、b是待定參數。

采用最小二乘估計的計算方法求解待定參數:

則可解出參數的最小二乘估計為:

4 組合模型

鐘差序列可以認為是由趨勢項和隨機噪聲項兩部分疊加而成。針對這一特點，提出一種基于改進灰色模型和ARMA 模型的組合預報模型。組合模型鐘差預報過程如圖2 所示。

1)鐘差數據的預處理。主要是檢測鐘差數據中的異常點、無數據段、數據跳變等數據異常，并對這些異常進行修正，以便預測模型取得更好的結果。對于異常點和無數據段，在取出異常點的基礎上，可以用插值的方法內插出這些點以及無數據段。而對于數據的跳變，可以采用滑動窗口探測到跳變，在鐘差預處理完成后，即可進行鐘差預報模型的建立;

圖2 組合模型鐘差預報示意圖Fig.2 Block diagram of clock error prediction with integrated model

2)利用改進灰色模型對M 個歷元進行鐘差預報，提取鐘差的趨勢項、隨機項，并利用ARMA 模型對隨機項建模，建立隨機項預報模型;

3)對后N 個歷元利用改進灰色模型進行趨勢項預報，利用ARMA 模型進行隨機項預報，將結果相加得到鐘差預報值。

5 算例分析

采用IGS 公布的精密星歷的鐘差數據，對星載原子鐘真實數據進行分析，時間2011-01-01 T0:00分—2011-07-30T23:55 分，數據間隔5 分鐘。將鐘差預報結果的最大值、最小值、標準差、均方差作為評價指標對結果進行分析。

方案一:選擇PRN3、PRN14、PRN21、PRN24 四顆衛星，其中PRN03、PRN24 為星載銫鐘，PRN14、PRN21 為星載銣鐘。采用灰色模型和改進灰色模型進行分別進行衛星鐘的短期預報，預報時間1天，結果如圖3 和表1 所示。

由圖3 和表1 可以看出，四顆衛星改進的灰色預報模型在短期預報中精度要高于灰色模型。由結果可以看出PRN14、PRN21 衛星的預報結果好于PRN03、PRN24 衛星，這是由于銫鐘主要應用于早期發射的衛星，本身精度不高，由于長時間使用也造成設備的老化。

方案二:選擇PRN3、PRN14、PRN21、PRN24 四顆衛星，采用改進灰色模型和改進灰色ARMA 模型進行分別進行衛星鐘的短期預報，預報時間1天，結果如圖4 和表2 所示。

由圖4 和表2 可以看出，基于改進灰色模型的時間序列分解模型對鐘差進行短期預報與改進灰色模型相比具有更好的精度，而且24 小時的預報精度均達到了ns級。這是由于利用改進灰色模型對鐘差進行趨勢項提取后，隨機項經過差分具有很好的平穩性;而ARMA 模型利用提取的平穩序列擬合數據，對線形系統的預測具有較高的精度，因此預測精度較高，驗證了模型的合理性和可行性，同時銣鐘的鐘差預報精度同樣優于銫鐘。

圖3 PRN3、PRN14、PRN21、PRN24 灰色與改進灰色模型鐘差預報Fig.3 Clock error prediction of PRN3，PRN14，PRN21，PRN24 with grey model and improved grey model

表1 PRN3、PRN14、PRN21、PRN24 灰色與改進灰色模型鐘差預報對比結果(單位:ns)Tab.1 Comparison between grey model and improved grey model for clock error prediction of PRN3，PRN14，PRN21，PRN24(unit:ns)

圖4 PRN3、PRN14、PRN21、PRN24 改進灰色ARMA 模型鐘差預報Fig.4 PRN3，PRN14，PRN21，PRN24 clock error prediction of improved Grey ARMA model

表2 改進灰色模型與基于改進灰色模型ARMA 鐘差預報對比結果(單位:ns)Tab.2 Comparason between improved grey model and improved grey ARMA model for clock error prediction of PRN3，PRN14，PRN21，PRN24(unit:ns )

6 結論

針對常用鐘差預報中存在的問題，將鐘差分為趨勢項和隨機項之和，提出改進灰色模型與ARMA模型相結合的模型。通過仿真實驗驗證了模型的可行性和有效性。但在長期預報時文中構建的模型與傳統灰色模型相比優勢并不突出，這是由于在利用初始歷元進行模型指數系數解算時，結果并不是長期鐘差趨勢的最優值。

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4 張清華，等.利用改進灰色模型的鐘差預報算法及精度分析［J］.測繪科學，2012，37(1):51－53.(Zhang Qinghua，et al.A prediction method of the clock errors based on modified grey model［J］.Science of Surveying and Mapping，2112，37(1):51－53)

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7 徐君毅，曾安敏.ARIMA(0，2，q)模型在衛星鐘差預報中的應用［J］.大地測量與地球動力學，2009，(5):116－120.(Xu Junyi and Zeng Anmin.Application of ARIMA(0，2，q)model to prediction of satellite clock error［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2009，(5):116－120)

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