分布式驅動用永磁同步電機電磁轉矩的解析計算

馬琮淦，左曙光，何呂昌，孫 慶，孟 姝

(同濟大學 新能源汽車工程中心，上海 201804)

由于分布式驅動電動汽車主要采用輪轂永磁同步電機直接驅動，其振動噪聲問題呈現新的特點:分布式驅動用永磁同步電機的6k階轉矩波動是車身階次振動與車內噪聲的主要振源，瞬態工況下對整車縱向振動的影響尤為顯著［1-3］。

對于永磁同步電機6k階轉矩波動，文獻［4］分析了6階諧波轉矩波動機理，討論了6階轉矩諧波的抑制方法，但未對6k階轉矩波動機理進行分析;文獻［5-7］給出了電磁轉矩的數學模型，大多數轉矩控制模型都基于此數學模型建立［8-13］，但由于電磁轉矩的解析解不含6k階轉矩項，故該模型不能反映永磁同步電機的6k階轉矩波動;文獻［14］提出了永磁同步電機6k階電磁轉矩的數學模型，但關鍵參數感應電動勢1階、5階、7階諧波分量需要通過磁場計算或試驗獲取，1階電流諧波分量也需通過轉矩指令才能獲得。綜上所述，對揭示永磁同步電機6k階振動與噪聲現象的理論依據—6k階電磁轉矩的精確解析解的文獻非常少見。為此，本文提出了基于磁場畸變的輪轂永磁同步電機6k階電磁轉矩的解析計算方法，對6k階電磁轉矩做了階次分析，論證了由永磁體磁場諧波引起的電磁轉矩波動頻率是電源頻率的6k倍頻，并進行了有限元驗證。

1 基于磁場畸變的氣隙磁場傅里葉分解

分布式驅動用永磁同步電機多采用外轉子瓦片型表貼式，如圖1。永磁體的空間分布將直接影響感應電動勢的波形，進而會影響電磁轉矩的生成。為了便于分析作如下假設:

圖1 外轉子表貼式永磁同步電機物理模型Fig.1 Model of exterior surface mounted PMSM

(1)轉子磁場于磁極中心線對稱分布;

(2)忽略定子槽和轉角對電感的影響，定子表面光滑;

(3)磁路不飽和，忽略電樞反應的作用［15］;

(4)定子繞組三相對稱。

圖2 永磁體磁場強度徑向分布Fig.2 radial distribution of the permanent magnet field

文獻［15］給出了忽略電樞反應磁場的影響、基于磁場畸變的永磁體磁場的徑向分布。基于以上假設與文獻［15］，本文得到分布式驅動用永磁同步電機磁場徑向分布Br(θ)，如圖2。Br(θ)是周期為2π 的偶函數，則徑向磁通密度表達式為:

對式(1)用傅里葉級數展開得:

2 磁鏈、感應電動勢的解析計算

2.1 磁鏈的解析計算

為了計算a、b、c相內的磁鏈，假設定子繞組局部均勻分布，即在β范圍內每相繞組的磁通恒定，如圖3所示。

圖3 a、b、c相定子繞組簡化模型Fig.3 Simplified model of the stator winding for Phase a，b，c

磁鏈的計算公式為:

因此，由永磁體磁場徑向磁通密度分布式(2)與磁鏈計算式(3)可求得a相感應磁鏈:

式中

k為繞組分布系數;Nc為一相繞組線圈串聯匝數;αj定義見圖3;rs為定子外圓半徑;ls為定子軸向長度。

故，將abc坐標系下三相磁鏈式(5)經過Blondel-Park變換可得到dq0坐標系下d、q、0軸的磁鏈:

式中，Tdq，ph為 Blondel-Park 變換矩陣。

由此可得定子總磁鏈:

式中，Ld、Lq、L0分別為d、q、0 軸定子電感。

2.2 感應電動勢的解析計算

abc坐標下的電壓方程為:

式中，Vph為abc坐標系下相電壓;Rs為相繞組電阻;ia，ib，ic分別為a、b、c三相電流;ψph為abc坐標下總磁鏈。

由式(8)，經Blondel-Park變換和矩陣微分可得dq0坐標系下的電壓方程為:

式中，id，iq，i0分別為d、q、0 軸電流;ωr為轉子的電角速度。

故，由式(9)可得分布式驅動用永磁同步電機感應電動勢為:

3 電磁轉矩的解析計算與階次分析

3.1 電磁轉矩的解析計算

電磁功率可由下式求得:

由電磁功率、電磁轉矩、轉速的關系式，可得電磁轉矩表達式:

式中，ωm為轉子機械角速度;p為極對數。

由于分布式驅動用永磁同步電機通常采用Y型連接，有:

故，由式(10)、(11)、(12)、(13)聯立可得到電磁轉矩的解析解為:

式中:

大多數文獻［7-13］轉矩控制系統所采用的永磁同步電機數學模型［4-6］的轉矩解析表達式為:

3.2 電磁轉矩的階次分析

式中，n為轉子機械轉速;t為時間。

故，分布式驅動用永磁同步電機轉矩波動的第6k階頻率為:

式中，f6k為第6k階電磁轉矩波動頻率;f為電源頻率。

由式(17)可知:由永磁體磁場諧波引起的電磁轉矩波動頻率是電源頻率的6k倍頻;當極對數p確定時，電磁轉矩第6k階頻率與轉速n成正比。在電動汽車加速或回饋制動過程中，穿越永磁同步電機的結構固有頻率時，可能引起永磁同步電機的共振，進而對車身振動造成很大影響，并影響整車舒適性。因此，在設計永磁同步電機時，需要根據極對數p和轉速范圍，規劃電機定、轉子模態頻率，防止共振。

4 解析計算的驗證

為了驗證本解析計算方法的有效性，本文利用以上計算模型，對1臺虛擬單元樣機—2極6槽永磁同步電機額定狀態下的電磁轉矩進行編程計算，電機基本參數如表1。同時利用二維有限元計算程序，對虛擬單元樣機進行電磁轉矩計算，其計算結果如圖4所示。在電機額定轉速下，由式(17)，可初步預測該電機的第k階轉矩波動頻率為:

表1 永磁同步電機參數Tab.1 parameters of PMSM

與文獻［5-14］類似，本文解析計算假設定子表面光滑，未考慮定子開槽。為驗證解析計算，有限元計算的定子模型也未開槽。因為本解析計算方法以永磁體徑向氣隙磁場分布為基礎，所以，本文首先由有限元計算得到氣隙中點處的永磁體徑向氣隙磁場分布，然后通過式(2)進行永磁體徑向氣隙磁場分布曲線的曲線擬合，最后由式(3)-式(15)計算得到電磁轉矩的解析解。根據圖4，利用式(2)進行的永磁體徑向氣隙磁場分布解析擬合與有限元計算結果基本一致，但仍有高頻成分未實現完全擬合。當忽略電流諧波的影響時，由式(14)可知，6k階電磁轉矩諧波由(6k-1)階和(6k+1)階磁鏈諧波共同決定;由式(4)可知，(6k-1)階和(6k+1)階磁鏈諧波分別由(6k-1)階和(6k+1)階永磁體徑向磁場諧波決定。故，6k階電磁轉矩諧波由(6k-1)階和(6k+1)階永磁體徑向磁場諧波共同決定。當永磁體徑向磁場的解析計算結果與有限元計算結果基本一致、但存在高頻成分未完全擬合時，這將引起電磁轉矩解析計算結果與有限元計算結果基本一致、但存在高頻成分差異，如圖4所示。

圖4 解析計算結果與有限元計算結果比較Fig.4 Comparison of finite element analysis and analytical calculation

綜上所述，本解析計算方法是正確的，可以用于預測6k階電磁轉矩。但也具有一定的局限性:其精度依賴于永磁體徑向磁場分布的準確擬合。

5 結論

(1)建立了永磁體磁場畸變的分布式驅動用永磁同步電機電磁轉矩解析計算模型，為分布式驅動用永磁同步電機6k階轉矩波動提供了理論解釋;

(3)與有限元分析對比表明:本解析模型能較好地解釋永磁同步電機6k階振動問題，為避免電機定、轉子共振提供了理論指導。

［1］王 建，張立軍，余卓平，等.燃料電池轎車電機總成的振動階次特征分析［J］.汽車工程，2009，31(3):219-223.

WANG Jian，ZHANG Li-jun，YU Zhuo-ping，et al.An analysis on the vibration order feature of the electric motor assembly in a fuel cell car［J］.Automotive Engineering，2009，31(3):219-223.

［2］于增亮，張立軍，孫 北.輪轂電機驅動電動微型車車內噪聲道路試驗分析［J］.上海汽車，2009，(8):8-12.

YU Zeng-liang，ZHANG Li-jun，SUN Bei.Road test analysis of interior of wheel-hub motor driven micro electric vehicle［J］.Shanghai Auto，2009，(8):8-12.

［3］馬琮淦，左曙光，何呂昌，等.聲子晶體與輪邊驅動電動汽車振動噪聲控制［J］.材料導報，2011，25(8):4-8.

Ma Cong-gan，Zuo Shu-guang，He Lü-chang，et al.The phononic crystals and vibration noise control of electric vehicles with direct wheel drive system［J］.Materials Review，2011，25(8):4-8.

［4］CoLamartino F，Marchand C，Razek A.Torque ripple minimization in permanent magnet synchronous servodrive［C］.Ed.Eds.，1999，14(3):616-621.

［5］王秀和.永磁電機［M］.北京:中國電力出版社，2007，203-205.

［6］陳 榮.永磁同步電機控制系統［M］.北京:中國水利水電出版社，2009，34-36.

［7］唐任遠.現代永磁電機理論與設計［M］.北京:機械工業出版社，1997，244-248.

［8］李耀華，劉衛國.永磁同步電機直接轉矩控制不合理轉矩脈動［J］.電機與控制學報，2007，11(2):148-152.

LI Yao-hua，LIU Wei-guo.Unreasonable torque ripple of direct torque control in permanent magnet synchronous motor［J］.Electric Machines and Control，2007，11(2):148-152.

［9］王 斌，王 躍，王兆安.空間矢量調制的永磁同步電機直接轉矩控制［J］.電機與控制學報，2010，14(6):45-50.

WANG Bin，WANG Yue，WANG Zhao-an.Direct torque control of permanent magnet synchronous motor drives using space vector modulation［J］.Electric Machines and Control，2010，14(6):45-50.

［10］劉賢興，卜言柱，胡育文.基于精確線性化解耦的永磁同步電機空間矢量調制系統［J］.中國電機工程學報，2007，27(30):55-59.

LIU Xiao-xing，BU Jiao-qing，HU Yu-wen，et al.Space vector modulation system for permanent magnet synchronous motor based on precision linearization decoupling［J］.Electric Machines and Control，2007，27(30):55-59.

［11］皇甫宜耿，劉衛國，馬瑞卿.永磁同步電機高階滑模控制與擾動轉矩估計［J］.西北工業大學學報，2009，27(5):630-634.

HUANGFU Yi-geng，LIU Wei-guo， MA Rui-qing. High order sliding mode control for a PMSM with disturbance torque estimation［J］.Journal of Northwesten Polytechnical Universtiy，2009，27(5):630-634.

［12］賈洪平，孫 丹，賀益康.基于滑模變結構的永磁同步電機直接轉矩控制［J］.中國電機工程學報，2006，26(20):134-138.

JIA Hong-ping，SUN Dan，HE Yi-kang.The PMSM DTC based on variable structure sliding mode［J］.Electric Machines and Control，2006，26(20):134-138.

［13］李長紅，陳明俊，吳小役.PMSM調速系統中最大轉矩電流比控制方法的研究［J］.中國電機工程學報，2005，25(21):169-174.

LI Chang-hong，CHEN Ming-jun，WU Xiao-yi.Study of maximum ratio of torque to current control method for PMSM［J］.Electric Machines and Control，2005，25(21):169-174.

［14］王成元，周美文，郭慶鼎.矢量控制交流伺服驅動電動機［M］.北京:機械工業出版社，1994:212-217.

［15］謝 衛，趙冰潔，鄭宗亞.控制電機［M］.北京:中國電力出版社，2008:83-89.