阻尼環(huán)對(duì)齒輪系統(tǒng)軸向振動(dòng)的減振特性研究

王慶洋，曹登慶，楊軍波

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001;2.中聯(lián)重科股份有限公司，長(zhǎng)沙 410205)

阻尼環(huán)對(duì)齒輪系統(tǒng)軸向振動(dòng)的減振特性研究

王慶洋1，曹登慶1，楊軍波2

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001;2.中聯(lián)重科股份有限公司，長(zhǎng)沙 410205)

分析了齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)機(jī)理與阻尼環(huán)減振原理。建立了齒輪—阻尼環(huán)系統(tǒng)的軸向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程組，采用諧波平衡法求解動(dòng)力學(xué)方程，得到了近似解析解，并與數(shù)值解進(jìn)行了比較。在此基礎(chǔ)上，采用一組典型參數(shù)，討論了系統(tǒng)的幅頻特性，并探討了齒輪—阻尼環(huán)系統(tǒng)減振效果與阻尼環(huán)參數(shù)的關(guān)系。

齒輪;阻尼環(huán);諧波平衡;振動(dòng)特性

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)是機(jī)械傳動(dòng)領(lǐng)域中最為常見(jiàn)的傳動(dòng)裝置，齒輪傳動(dòng)具有功率范圍大、傳動(dòng)效率高、圓周速度高、傳動(dòng)比精確、使用壽命長(zhǎng)、結(jié)構(gòu)尺寸小等一系列特點(diǎn)，廣泛的應(yīng)用于航空航天，船舶，機(jī)械，電子等領(lǐng)域。而在機(jī)械傳動(dòng)中噪聲往往是不可忽視的，齒輪傳動(dòng)中的振動(dòng)與噪聲是許多機(jī)械設(shè)備噪聲的主要來(lái)源［1－2］，如何對(duì)齒輪機(jī)構(gòu)進(jìn)行減振降噪處理在整個(gè)機(jī)械傳動(dòng)領(lǐng)域都有著重要的意義。

齒輪的振動(dòng)在形式上分為周向振動(dòng)、徑向振動(dòng)和軸向振動(dòng)。由于齒輪的各種誤差以及輪齒嚙合剛度的周期性變化等會(huì)對(duì)齒輪輪齒造成激勵(lì)，從而引起圓周方向的振動(dòng)［3］，同時(shí)這個(gè)齒面動(dòng)負(fù)荷使軸和軸承產(chǎn)生撓曲變形，從而引起齒輪徑向方向的振動(dòng)。其次，在齒面載荷作用于軸承時(shí)，由于軸的撓曲變形，軸和軸承之間的摩擦引起的軸向力在齒輪的左右兩端不一致，從而引起齒輪的軸向振動(dòng)。也就是說(shuō)徑向和軸向的振動(dòng)都是以圓周方向振動(dòng)作為起振因素而產(chǎn)生的［4］。

常用的減振降噪方法有主動(dòng)設(shè)計(jì)和被動(dòng)減振兩大類(lèi)，前者優(yōu)化齒輪設(shè)計(jì)參數(shù)和提高加工精度，后者是指在設(shè)計(jì)加工好齒輪之后，采用其它方法對(duì)齒輪的振動(dòng)進(jìn)行控制［5］。利用阻尼環(huán)進(jìn)行減振降噪就是一種行之有效的被動(dòng)減振方法，它在結(jié)構(gòu)裝配上簡(jiǎn)單，且與主動(dòng)設(shè)計(jì)方法相比較為經(jīng)濟(jì)，阻尼環(huán)在齒輪上的鑲嵌示意圖如圖1。阻尼環(huán)減振的基本原理為：當(dāng)齒輪發(fā)生振動(dòng)時(shí)，齒輪和阻尼環(huán)之間產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)，即存在滑動(dòng)摩擦力;利用滑動(dòng)摩擦力的耗能原理，將齒輪振動(dòng)的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為由于摩擦而產(chǎn)生的熱能，從而減小齒輪的振動(dòng)能量，對(duì)齒輪的振動(dòng)實(shí)現(xiàn)有效的控制。總之，利用阻尼環(huán)對(duì)齒輪進(jìn)行減振降噪是一種簡(jiǎn)單、經(jīng)濟(jì)、效果顯著的方法。

圖1 阻尼環(huán)在齒輪上的鑲嵌Fig.1 Damping ring in the gear body

于英華等［6］建立了齒輪—阻尼環(huán)系統(tǒng)的軸向振動(dòng)模型，并進(jìn)行了理論分析;孫濤等［7］建立了齒輪—阻尼環(huán)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型，采用數(shù)值方法研究了隔振效果與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系。本文在文獻(xiàn)［6］的基礎(chǔ)上，建立了動(dòng)力學(xué)方程組，并采用諧波平衡法進(jìn)行解析求解，從理論角度研究了阻尼環(huán)的隔振效果。

1 齒輪—阻尼環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

齒輪的振動(dòng)分為周向振動(dòng)、徑向振動(dòng)和軸向振動(dòng)，三個(gè)方向的振動(dòng)均是不可忽視的。本文僅對(duì)齒輪的軸向振動(dòng)進(jìn)行分析。文獻(xiàn)［6］軸向振動(dòng)模型，建立了齒輪—阻尼環(huán)系統(tǒng)的軸向振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程組。齒輪—阻尼環(huán)系統(tǒng)軸向振動(dòng)模型如圖2。

圖2 齒輪—阻尼環(huán)系統(tǒng)軸向振動(dòng)模型Fig.2 Axial vibration model of gear－damping ring

假設(shè)齒輪內(nèi)部的阻尼力與由阻尼環(huán)帶來(lái)的阻尼力相比小到可以忽略不計(jì)，并且將齒輪系統(tǒng)和阻尼環(huán)簡(jiǎn)化為集中質(zhì)量。圖2中m1為齒輪和軸的等效質(zhì)量，即為主質(zhì)量，m2為阻尼環(huán)的等效質(zhì)量，k1為齒輪和軸的等效剛度，k2為阻尼環(huán)的等效剛度，c2為阻尼環(huán)的等效粘性阻尼系數(shù)，F(xiàn)為阻尼環(huán)與齒輪之間的滑動(dòng)摩擦力。齒輪與阻尼環(huán)之間的滑動(dòng)摩擦力模型采用理想的庫(kù)倫摩擦模型，即滑動(dòng)摩擦力的大小等于摩擦系數(shù)乘以正壓力，方向與速度方向相反。圖2中x1為齒輪的振動(dòng)位移，x2為阻尼環(huán)的振動(dòng)位移。由于齒輪在工作環(huán)境下做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，因此設(shè)其受到的外激勵(lì)為簡(jiǎn)諧激振P0sin(ωt)。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程組如下：

2 動(dòng)力學(xué)方程的解析求解與理論分析

2.1 方程組的解析求解

式中：f是矩形波函數(shù)，如圖3所示。

圖3 滑動(dòng)摩擦力f的函數(shù)圖像Fig.3 Function image of the friction force f

將上述矩形波進(jìn)行Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)，即：

因?yàn)閮H考慮系統(tǒng)的一次諧波響應(yīng)，所以對(duì)摩擦力函數(shù)進(jìn)行諧波分析時(shí)可僅考慮基波，忽略高次諧波，則有：

由于函數(shù)f是以2π為周期的偶函數(shù)，因此Fourier級(jí)數(shù)表達(dá)式中應(yīng)無(wú)正弦項(xiàng)，即b1=0。則摩擦力函數(shù)f便可寫(xiě)成：

2.2 穩(wěn)態(tài)周期解的存在性

3 算例分析

3.1 給定某一特定激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計(jì)算

取定系統(tǒng)參數(shù)如下 m1=1 kg，m2=0.1 kg，k1=8 000 N/m，k2=800 N/m，c2=0.5 Ns/m，P0=30 N，激振角頻率ω=70 rad/s(系統(tǒng)的無(wú)阻尼固有頻率是ω1=76.4 rad/s，ω2=104.7 rad/s)，

阻尼環(huán)和齒輪之間的滑動(dòng)摩擦力取如下四種情況，F(xiàn)0=0 N，F(xiàn)1=1 N，F(xiàn)2=2 N，F(xiàn)3=3 N，分別計(jì)算主質(zhì)量的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值A(chǔ)1，其中解析解由公式(8)求得，數(shù)值解則利用Matlab直接對(duì)動(dòng)力學(xué)方程(1)進(jìn)行求解得到(初始位移和初始速度均取0)，并計(jì)算了相對(duì)誤差，結(jié)果列于表1。

表1 不同摩擦力下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解及誤差Tab.1 Steady-state response and error under different friction force

從表1中可以看出隨著滑動(dòng)摩擦力的增大，解析解的誤差逐漸增大，這說(shuō)明了非線(xiàn)性項(xiàng)越大，解析解的誤差越大。但當(dāng)摩擦力為 F3=3 N時(shí)，誤差為2.668%，仍在可以接受的范圍之內(nèi)，這也驗(yàn)證了利用諧波平衡法求解動(dòng)力學(xué)方程(1)具有足夠的精確性，即采用諧波平衡法求解是合理的。

對(duì)于利用諧波平衡法得到的解析解和用Matlab求解的數(shù)值解的圖像見(jiàn)圖4，其中滑動(dòng)摩擦力取F1=1 N。從圖中可以看出，數(shù)值解分為兩部分，前3 s為瞬態(tài)解，3 s之后進(jìn)入穩(wěn)態(tài)解階段。

3.2 幅頻特性分析

取定系統(tǒng)參數(shù)如下 m1=1 kg，m2=0.1 kg，k1=8 000 N/m，k2=800 N/m，c2=0.5 Ns/m，P0=30 N(系統(tǒng)的無(wú)阻尼固有頻率是 ω1=76.4 rad/s，ω2=104.7 rad/s)。選取滑動(dòng)摩擦力四種情況：F0=0 N，F(xiàn)1=1 N，F(xiàn)2=2 N，F(xiàn)3=3 N。

利用式(8)繪制的幅頻特性曲線(xiàn)如圖5。從圖5中可以看出，隨著滑動(dòng)摩擦力的增大，在共振處的響應(yīng)峰值依次減小，說(shuō)明滑動(dòng)摩擦力的作用確實(shí)有助于減振降噪。齒輪與阻尼環(huán)之間的滑動(dòng)摩擦力的大小取決于二者間的材料摩擦系數(shù)和正壓力的大小，而正壓力的大小取決于阻尼環(huán)的壓縮量。總之，可以從選用阻尼環(huán)的材料以及壓縮量來(lái)對(duì)阻尼環(huán)進(jìn)行設(shè)計(jì)，以便于實(shí)現(xiàn)更好的減振效果。

對(duì)于上述討論中的數(shù)據(jù)參數(shù)僅將阻尼改為c2=3 Ns/m，其它參數(shù)不變。仍選取滑動(dòng)摩擦力四種情況：F0=0 N，F(xiàn)1=1 N，F(xiàn)2=2 N，F(xiàn)3=3 N，利用式(8)繪制幅頻特性曲線(xiàn)如圖6。

將圖6與圖5比較可知改用大阻尼后，振動(dòng)響應(yīng)的最大幅值顯著下降，而且第二階固有頻率對(duì)應(yīng)的峰值由于過(guò)小，已經(jīng)從圖中顯現(xiàn)不出來(lái)。從而可以得出利用高阻尼材料制作阻尼環(huán)可以得到較好的減振效果的結(jié)論。圖6還可以看出隨著干摩擦力的增大，振動(dòng)響應(yīng)的最大幅值并不是一直減小，當(dāng)超過(guò)某一臨界值后，干摩擦力增大，振動(dòng)響應(yīng)的最大幅值反而上升。也就是說(shuō)并非是干摩擦力越大，減振效果越好，即存在一個(gè)最佳摩擦力，使減振效果最好，當(dāng)齒輪、阻尼環(huán)材料選定時(shí)，最佳摩擦力與正壓力有關(guān)，因此在設(shè)計(jì)阻尼環(huán)時(shí)壓縮量即不能過(guò)大，也不能過(guò)小。這與文獻(xiàn)［5，10］中討論的內(nèi)容是一致的。

圖4 兩種方法求解的比較(F=1 N)Fig.4 The comparison by two kinds of solving methods

圖5 幅頻特性曲線(xiàn)(c2=0.5 Ns/m)Fig.5 Amplitude－frequency characteristic Curve(c2=0.5 Ns/m)

圖6 幅頻特性曲線(xiàn)(c2=3 Ns/m)Fig.6 Amplitude－frequency characteristic Curve(c2=3 Ns/m)

4 結(jié)論

利用文獻(xiàn)［6］的假設(shè)，建立了齒輪－阻尼環(huán)系統(tǒng)軸向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程組，利用諧波平衡法，求出了動(dòng)力學(xué)方程組的解析解，并將解析解與Runge－Kutta數(shù)值解進(jìn)行了比較，二者相差很小，證明了解析解法的精確性與合理性。給出了系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的條件。在特定的工況下，得到了系統(tǒng)的幅頻特性曲線(xiàn)，討論了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)最大值與阻尼和滑動(dòng)摩擦力的關(guān)系，結(jié)果表明：采用高阻尼材料減振效果好;在一定滑動(dòng)摩擦力范圍內(nèi)，增大滑動(dòng)摩擦力有助于減振，但滑動(dòng)摩擦力并不是越大越好，即齒輪—阻尼環(huán)系統(tǒng)存在最佳摩擦力的概念。

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Axial vibration reduction characteristics of a gear system with a damping ring

WANG Qing－yang1，CAO Deng－qing1，YANG Jun－bo2

(1.The school of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China;2.Zoomlion Heavy Industry Science＆ Technology Development Co.，Ltd.，Changsha 410205，China)

The vibration mechanism of a gear system was analyzed，and the anti－vibration principle as regards a damping ring device was elaborated.The axial vibration equations of a gear－damping ring system were established.The harmonic balance method was employed to obtain an approximate analytical solution which was used to compare with the numerical solution.On this basis，by using a set of typical data，the amplitude－frequency characteristic was discussed.The relationships between vibration reduction characteristics and the parameters of system were also discussed.

gear;damping ring;harmonic balance;vibration characteristic

TH13

A

國(guó)家自然科學(xué)基金(50935002)

2011－12－20 修改稿收到日期：2012－04－27

王慶洋 男，碩士生，1988年生

曹登慶 男，博士生導(dǎo)師，1958年生