基于近似模型的空調配管阻尼層優化設計

郭亞娟，孟 光

(1.北京交通大學，北京 100044;2.中鐵第五勘察設計院集團有限公司，北京 102600;3.上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240)

基于近似模型的空調配管阻尼層優化設計

郭亞娟1，2，孟 光3

(1.北京交通大學，北京 100044;2.中鐵第五勘察設計院集團有限公司，北京 102600;3.上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240)

空調配管系統的減振降噪是空調結構開發中的一個設計難點，是制約空調整體品質的一個關鍵參數。針對空調仿真優化設計中計算成本和計算精度之間的矛盾，將統計學中的近似模型技術應用到空調配管系統的阻尼優化。采用正交試驗設計與均勻試驗設計相結合的試驗設計方法，建立了多項式響應面、Kriging最優內插、BP神經網絡近似模型，研究了阻尼層位置、寬度等參數與結構響應頻率、阻尼比之間的近似映射關系。最后采用多目標遺傳算法分析了結構阻尼比與結構質量之間的Pareto曲線，并選擇最優結果進行了試驗驗證。研究表明，采用近似模型的阻尼層優化方法可以有效地提高設計效率，降低成本，為空調系統的仿真提供了一種可行的方法。

空調配管;近似模型;多目標優化;遺傳算法

通過計算機仿真代替復雜的樣機制造與實驗，并在仿真基礎上分析系統各部件性能及整機的性能，是空調設計方法的發展趨勢。空調仿真研究的發展受制于模型的精確性和復雜性之間的矛盾。復雜的模型與算法影響實用性，而簡單的模型又難以保證精度與適用性，因此要進一步使仿真實用化，必須在方法上尋求突破和創新。

應用統計學方法發展計算量小、在一定程度上可以保證設計準確性的近似模型方法解決了仿真精度和計算復雜性的矛盾，成為結構優化設計一種有效的求解策略。常用的近似方法有多項式響應面方法、Kriging最優內插法以及神經網絡方法等［1］，近年來，這些方法在工程結構近似中的有效性和可靠性已得到了證實［2－3］，并開始在航空、機械、船舶、汽車等行業進行應用［4－6］。

針對空調配管結構的振動，提出在配管上粘貼粘彈性阻尼層，吸收配管振動，并從實驗和計算兩方面驗證了粘彈性阻尼層的吸振能力［7］。本文的研究目的是探討如何優化阻尼層的粘貼位置，使得結構振動衰減最大同時保證阻尼層用量最小。考慮到有限元計算的耗時性，將近似模型技術應用到空調配管系統的阻尼優化。采用正交試驗設計與均勻試驗設計相結合的試驗設計方法獲取計算數據，同時保證數據整齊可比和數據空間遍歷性;運用多項式響應面、Kriging最優內插、BP神經網絡三種近似方法，建立了阻尼層位置、寬度等6參數與結構質量、阻尼比之間的近似映射關系，最后采用多目標遺傳算法分析了結構阻尼比與結構質量之間的Pareto曲線，并選擇最優結果進行試驗驗證。

1 數學模型

空調配管形狀及其瀝青阻尼層如圖1所示。據已建立配管結構的有限元模型，并考慮了瀝青阻尼層的粘彈性特性［8］，通過試驗研究驗證了有限元模型和計算方法的正確性。

配管系統的測試分析表明壓縮機工作頻段內包含配管結構的前2階模態頻率。故采用加權系數法綜合考慮前兩階模態阻尼比對結構性能的影響，定義一個模態阻尼比函數 f(ξ)=αξ1+βξ2，其中，α +β =1，ξ1，ξ2為前兩階模態阻尼比，取α=β=0.5。為控制制造成本，降低結構自重，要求盡可能降低阻尼層用量，故另一目標函數取為結構總質量M。

圖1 配管結構Fig.1 The photo of pipe structure

粘彈性阻尼層配置如圖2所示，阻尼層厚度為3 mm。故阻尼層設計參數包括阻尼層位置P1、P2、P3，阻尼層寬度 W1、W2、W3。

圖2 粘彈性阻尼層配置Fig.2 Arrangement plan of viscoelastic damping layer

配管阻尼層優化模型如下式所示：

式中：F(ξ)=G(P1，P2，P3，W1，W2，W3)之間的函數關系通過有限元計算或近似模型表示;結構總質量包括配管系統的質量M和三個阻尼層質量。T為阻尼層厚度，ρ為阻尼片密度，l為阻尼層的周長。瀝青阻尼層的密度ρ=2.79 g/cm3，阻尼層周長l=120 mm，配管質量M=123.5 g;為防止相鄰配管上阻尼層重疊，約束阻尼層位置和寬度均不大于40 mm。

2 配管系統的近似模型

從數學模型中可以看出，目標函數包括結構的動力分析結果，且模型中存在粘彈性的瀝青阻尼層，其有限元動力計算相當耗時，而優化中需要不斷重新調用有限元模型進行動力計算，因此其計算量是難以估計或無法完成的。采用近似模型代替復雜有限元分析，可以提高計算效率，加速優化過程。本節采用三種近似模型對粘貼阻尼層的配管系統進行近似建模，并比較了三個模型對配管系統模擬的優劣。

2.1 樣本采集

選定阻尼層位置 P1、P2、P3和寬度 W1、W2、W3作為近似模型的輸入參數，結構響應包括結構的一階固有頻率f1、二階固有頻率f2，及一階阻尼比ξ1、二階阻尼比ξ2，因此，近似模型包括6個輸入參數和4個輸出參數。為計算方便，將設計變量做歸一化處理，

xi為設計變量，xmin，xmax為相應的設計變量的最小值和最大值，設計樣本取值范圍同式(1)。

本文提出采用正交試驗設計和均勻試驗設計相結合的試驗設計模式訓練近似模型，該混合實驗設計模式方便了試驗結果的整齊可比分析，同時使試驗數據具有遍歷性，可充分利用試驗數據，使訓練結果更可靠。近似模型訓練中，一般要求試驗點數為項數的1.5～3倍［9］，選取L18(37)正交試驗設計表和 U31(307)均勻試驗設計的計算結果進行近似模型訓練。限于篇幅，實驗數據未列出。

2.2 配管的響應面模型

首先建立阻尼層位置、寬度等參數與結構響應頻率、阻尼比之間的二次響應面模型，

式中：X為設計變量，Y為結構的響應，A為要求解的系數矩陣。為提高擬合精度，對各目標分別進行系數擬合，采用文獻9所提出的GA－BFGS方法進行多參數擬合，獲得響應面模型的系數矩陣A。為得出最優的擬合結構，分別增加三次項和四次項，不考慮耦合項，比較各擬合結果的近似程度。

表1為各階響應面擬合精確指標值。通過對二次響應面及高次響應面擬合結果分析可以看出，隨著響應面階數提高，擬合結果與樣本點之間的方差在減小，包含四次項的決定系數R2都在90%以上。校正系數與R2之間的差距亦在減小，尤其是二階模態阻尼比ξ2，差距減小明顯，表明三次項和四次項是ξ2的重要參數。

綜合對各目標系數的分析可以得出，對于目標f1，f2，ξ1，采用三次響應面可以滿足精度需要，ξ2需采用四階響應面近似。圖3為部分參數與響應的三維曲面。

表1 各階響應面誤差分析Tab.1 Error analysis of different RSM models

圖3 四階響應面模型參數響應曲線Fig.3 Parameters－response curves of forth－order RSM model

2.3 配管的Kriging模型

分別建立四個目標變量的Kriging最優內插模型，采用0階線性回歸模型，變量系數 θk如表2所示。Kriging模型是插值模型，模型包含所有實驗設計點，因此模型的決定系數R2和調整的決定系數R2a都是1，每個響應變量分別進行參數擬合，Kriging模型如式4所示：

式中：g(x)為常數，z(x)是一個均值為0，方差為σ的隨機函數，樣本集中任意兩點的相關方程采用Gauss相關方程形式：

式中：θk為待求參數，xi，xj為兩樣本點參數值，ns為設計參數個數。

表2 Kriging模型計算結果Tab.2 The training results of Kriging model

2.4 配管的BP神經網絡模型

為便于網絡訓練和提高映射精度，分別采用4個1×10×1的單隱層神經網絡和4個1×14×1的網絡實現從結構參數到動力特性的映射。經過試算，隱層采用雙曲函數，輸出層采用線性函數的結構計算誤差較小。采用變學習率的動量BP算法修正神經網絡的權值和閾值，訓練參數如下：初始學習率η=0.1，減量因子0.7，增量因子1.05，α=0.9。目標收斂誤差為0.000 5，最大循環次數20 000。

圖4為網絡訓練收斂曲線。表3為網絡訓練結構和網絡訓練數據的擬合度。從表中可以看出，神經網絡訓練模型與訓練數據的符合程度較高，而且R2與之間的差距較小。其中1×10×1的網絡結構數據訓練結果要優于1×14×1網絡結構的結果。因此在接下來的樣本測試和優化計算中采用1×10×1的網絡結構。

圖4 網絡訓練收斂曲線Fig.4 Converge curves of Network train

表3 網絡訓練結構和擬合度Tab.3 Training network and errors

近似模型訓練結果表明高次多項式響應面模型、Kriging最優內插模型和BP神經網絡模型都有較高的近似精度，R2結果均在0.9以上。同時，經過測試，其泛化能力也很強。通過對樣本方差的比較可以得出，神經網絡模型和Kriging模型的近似結果稍好于RSM模型的近似結果。但從計算復雜程度上來看，RSM模型的計算過程簡單，但高階時參數較多。Kriging近似模型需要進行多次矩陣乘法運算，模型計算量大，在大系統優化中帶來了一定的計算負擔。BP神經網絡模型的計算量較小，但模型的建立需要較長的訓練時間。

3 基于多目標遺傳算法的阻尼層優化

從式(1)的優化模型中可以看出，目標函數結構阻尼比和結構質量是兩個存在沖突的優化目標，最直接的解決方法是根據決策者的偏好把多目標通過加權求和轉化為單目標。但該方法無法通過一次優化得到多個偏好(加權因子)下的最優解，另決策者難以有效決策。

遺傳算法可以并行地處理各個目標，避免了目標間的加權排序處理，適合求解多目標問題。本文采用NSGA－Ⅱ(Non －dominated sorting genetic algorithm－Ⅱ)多目標遺傳算法，并在MATLAB中編程實現。采用近似模型代替有限元計算進行多目標優化計算，求解參數設置如下：種群大小N=50，交叉概率pc=0.6，變異概率pm=0.05，交叉分布指數10，變異分布指數為20。

由于阻尼層密度、長度均為常量，因此結構質量與阻尼層寬度和成正比，優化中為減少計算量，用寬度總和代替質量作為最小優化目標函數，即min W=W1+W2+W3

圖5為不同種群個數和計算代數所得到的目標Pareto前沿圖。隨著計算次數的增加，最優解逐漸收斂到曲面前沿，當計算次數達到4 000次時，已形成均勻的非劣最優解集。

采用多目標遺傳算法對所訓練的高次多項式響應面模型、Kriging最優內插模型和BP神經網絡模型優化計算所得的結構寬度和與阻尼比函數之間的關系曲線，如圖6所示。

圖5 配管結構優化Pareto前沿Fig.5 The optimization result of pipe system

圖6 三種近似模型所得到的Pareto前沿曲線Fig.6 The optimization result of three approximation models

從圖中可以得出：

(1)用NSGA－Ⅱ所求得的最優解集分布基本均勻，阻尼比增大的同時，阻尼層的質量也在增加，反映出了最大阻尼比和最小質量之間相互抵觸的雙目標優化特征。

(2)圖像兩端分別為兩個目標函數的極值，質量最小為0，即沒有粘貼阻尼層，此時結構阻尼比為銅管的阻尼比0.8%，但當阻尼比函數F(ξ)達到最大時，阻尼層用量不一定同時達到最大，F(ξ)并非完全隨著結構阻尼層寬度量的增加而正比例增加，當阻尼比寬度達到一定時，隨著寬度繼續增加，結構阻尼比反而減小。在Pareto所出示的范圍內，設計者可以根據不同的偏好來選取妥協解。

(3)當結構質量大于60 mm時，目標函數的Pareto曲線斜率減小，即此時隨著阻尼層用量的增加，結構阻尼比的增長變得緩慢，因此存在最佳區域，使得阻尼層用量較少的前提下獲得較大的結構阻尼比。綜合考慮阻尼比和阻尼層用量，阻尼層用量宜應選取在40～60 mm之間，此時結構質量增加為13.4% ～29.5%，結構阻尼比在7.5%～10.8%。

4 優化結果的實驗驗證

從優化結果中選擇一組阻尼層粘貼方式進行結構動力響應試驗，并與無阻尼層的配管響應進行比較。圖7為粘彈性阻尼層配置方式。表2為三種近似模型的優化結果和測試結果比較，三種模型的優化結果比較接近，響應結果與測試結果也比較吻合，驗證了近似模型和優化方法的正確性。

圖7 實驗粘彈性阻尼層配置Fig.7 The scheme of damping layers in the test

圖8、圖9分別為粘貼阻尼層前后自由端位移、加速度響應曲線。從圖中可以看出，粘貼阻尼層后自由端位移、加速度衰減為原來的1/20。此時阻尼層質量為20.7g，結構質量增加20.81%。粘貼阻尼層后大大減少了配管振動，同時對整體結構的質量和成本增加不大。

圖8 粘貼阻尼層后自由端頻率響應曲線Fig.8 Frequency response of pipe system with damping layers

圖9 無阻尼層自由端頻率響應曲線Fig.9 Frequency response of pipe system without damping layers

表4 近似模型優化結果與測試結果比較Tab.4 The result comparison between the approximation and the test results

5 結論

(1)基于多項式響應面、Kriging模型和BP神經網絡模型建立了空調配管阻尼層參數與結構響應之間的近似關系，并通過隨機樣本驗證了三種模型的近似精度。

(2)提出采用正交試驗設計和均勻試驗設計相結合的試驗設計模式訓練近似模型，既方便了試驗結果的整齊可比分析，又能使試驗數據具有遍歷性，充分利用試驗數據，使訓練結果更可靠。

(3)采用多目標遺傳算法對阻尼層的配置進行了優化設計，并通過實驗驗證了三種近似模型在阻尼優化設計中的有效性以及優化設計結果對配管系統的減振效果。

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Optimization design of pipe's damping layers in air conditioner based on approximation model

GUO Ya－juan1，2，MENG Guang
(1.School of Civil Engineering，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China;2.China Railway Fifth Survey and Design Institute Group Co.，Ltd.，Beijing 102600，China;3.State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China)

An approximation model method，based on the statistical theory，was applied to optimal damping design of pipe system in air conditioner.A hybrid experimental design approach，including the orthogonal and uniform experimental design，was introduced to produce the training data.The approximate model reflecting the mapping relation between the damping parameters，such as layers'positions，widths，etc.And the responses'frequency and damping ratio was established by using response surface method，Kriging optimal interpolation and neural network.The Pareto curve between damping ratio and structural mass was given by using NSGA－Ⅱ algorithm.Tests were carried out to validate the optimization result.The approximation model method provided enables to shorten the design process and reduces the computational cost，which gives a feasible method for air conditioner simulation.

pipe system in air conditioner;approximation model;mulit－objective optimization;genetic algorithm

TH113.1

A

2011－05－04 修改稿收到日期：2012－10－17

郭亞娟 女，博士后，工程師，1980年2月生