含時滯振動主動控制系統地震響應的數值分析

朱 宏，張 斌，孫 清

(1.甘肅省土木工程科學研究院，蘭州 730020;2.河南省電力勘測設計院，鄭州 450007;3.西安交通大學 土木工程系，西安 710049)

含時滯振動主動控制系統地震響應的數值分析

朱 宏1，張 斌2，孫 清3

(1.甘肅省土木工程科學研究院，蘭州 730020;2.河南省電力勘測設計院，鄭州 450007;3.西安交通大學 土木工程系，西安 710049)

采用精細積分方法計算了時滯受控系統在地震作用下的動力響應，得到在不同反饋增益下隨時滯量變化的系統地震響應峰值分布。分析了在小時滯范圍內隨時滯量變化和反饋增益在不同的取值下對系統響應的影響，結果表明時滯對系統控制效果的影響程度隨反饋增益的增大而增大，當時滯較大時，采用較小的控制增益控制效果較好，當時滯較小時，采用較大的控制增益可以獲得更好的控制效果。該結果可用于設計考慮時滯影響的結構振動主動控制算法。

精細積分;時滯;主動控制;控制增益

結構振動主動控制中不可避免地存在著時滯現象，傳感器信號的采集和傳輸、控制器的計算、作動器的作動過程等，都會導致作用于結構的控制力產生時滯［1］。時滯使被控量不能及時反映系統所承受的擾動，也不能及時準確的施加控制力，從而產生超調，使系統的穩定性變差，對系統的控制增加了很大的困難［2－3］，同時也是阻礙振動主動控制技術應用的關鍵問題。

對于時滯動力學問題的研究是數學界和控制界的一大熱點。近年來的研究表明，在振動控制中也可利用時滯減小系統響應［4］。Ali等［5］的研究表明，當時滯量超過其他學者提出的穩定判別的時滯最大允許值時，依然可以找到使系統穩定的區域，并給出了選取最優時滯量的方法;孫清等［6］最近的研究也表明，時滯受控系統的穩定區域與不穩定區域隨時滯量的變化交替出現，只要時滯量和控制增益匹配良好，可以保證系統的穩定性;陳龍祥等［7］對旋轉運動柔性梁的時滯主動控制進行實驗研究，驗證了時滯反饋控制的有效性;周星德等［8］采用改進的Newmark法研究了框架結構主動控制系統的動力響應，討論了最優時滯的存在。由于時滯量是無法避免的，而單純設法縮減時滯量不僅難以實現，而且未必可以得到理想的效果，合理選擇反饋控制增益，并與時滯量相匹配，同樣可以得到很好的控制效果，這已引起人們的注意并應用于控制混沌等研究領域［4］。但是，時滯對不同系統控制效果的影響有多大，控制增益與時滯如何更好地相互匹配，還有待于近一步研究。

本文對精細積分方法［9］進行改進，計算了含時滯受控系統的動力學方程，分析不同時滯量和控制增益對系統響應的影響，對控制力的選取提供參考和建議。結果表明，通過適當的選取控制增益和時滯量，可以使系統獲得較好的控制效果。

1 含時滯振動控制系統動力學方程及其數值求解

含雙時滯受控系統動力學方程如下：

其中：m為質量，c為阻尼，k為剛度，f(t)為外加激勵，gpx(t－τ1)是與位移相關的控制力，gdx·(t－τ2)是與速度相關的控制力，τ1和τ2分別是位移反饋和速度反饋時滯量，當t＜τ1時，x(t－τ1)=0，當t＜τ2時，x·(t－τ2)=0。

采用精細積分方法求解方程(1)，首先進行變量代換，式(1)可表達為：

如第k個時間步長的系統狀態為v(tk)，則第k+1個步長的狀態v(tk+1)可表述為：

在文獻［8］的算例中，每個時間點的荷載向量P(tk)都是已知的，在程序的初始可以提前賦值，但對本文求解的含有時滯的振動控制方程，由于控制力gpx(t－τ1)和gdx·(t－τ2)與該時間點τ1之前的位移以及τ2之前的速度有關，必須隨著計算的進行不斷重新賦值，因此，荷載向量P(tk)的求解成為解決問題的關鍵。本文求解荷載向量P(tk)的方法如下。

選取合適的時間步長h，令h與時滯量τ1和τ2滿足關系：

其中：l與p均為正整數。

設l＜p，對第k個時間步長的荷載向量進行計算，當 k＜l－1時，有

其中：qk－1，pk－p，qk－p等向量在第 k 步計算時已經知道，此時可逐步對P(tk)賦值，從而求出每一步的響應。對于l≥p的情況，荷載向量求解過程類似。

2 時滯受控系統動力響應分析

考慮一個三層框架受控系統，每層均設置一個作動器，系統的質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣分別為：

選取Elcentro波作為外加激勵，峰值200 gal，波形如圖1所示。

圖1 Elcentro地震波Fig.1 Elcentro wave

在無控的情況下，系統各層位移響應峰值分別為2.158 mm、3.952 mm、5.067 mm，各層的響應如圖 2所示。

對系統施加控制，采用LQR方法確定控制增益，取 Q=diag(105，104，103，1，1，1)，R 陣分兩種情況進行取值。

圖2 各層位移時程響應Fig.2 Time history response of each floor

采用精細積分方法計算兩種增益情況與不同時滯量相匹配的系統響應峰值分布圖分別如圖3～圖5所示。

比較圖3～圖5可知，在時滯較小范圍內系統響應峰值隨時滯增大而增大的，當達到一定數值后系統響應峰值減小，同時也可以看出，盡管系統響應峰值減小，但其最低點的控制效果也不能令人滿意，因此研究的重點應該放在小時滯情況。比較圖3～圖5中的(a)和(b)，可看出(b)在時滯非常小的情況下控制效果明顯優于(a)，但隨著時滯增大，(b)的峰值迅速增大，發散速度比(a)快很多。這表明時滯對系統控制效果的影響程度隨反饋增益的增大而增大，對于小時滯系統較大的控制增益控制效果更好，但同時也會因系統時滯增大而迅速發散，失去控制效果，而對于大時滯情況，較小的控制增益將成為更合理的選擇。

圖3 一層結構不同時滯情況下系統響應峰值Fig.3 The max time histories of system response with different time delays of first floor

圖4 二層結構不同時滯情況下系統響應峰值Fig.4 The max time histories of system response with different time delays of second floor

圖5 三層結構不同時滯情況下系統響應峰值Fig.5 The max time histories of system response with different time delays of third floor

3 結論

本文采用精細積分方法分析了時滯受控系統在地震作用下的動力響應，分析了在小時滯范圍內不同增益反饋組合下系統響應隨時滯的變化規律，結果表明系統峰值隨時滯變化呈周期性分布，在初始范圍內隨時滯增大而增大，但時滯增大到一定范圍時又發生回落，且不同的控制增益下系統響應的發散速度不同，對于小時滯系統，較大的控制增益控制效果更好，但隨著時滯的增大，系統響應將迅速發散，這時較小的控制增益卻能獲得更為滿意的控制效果。因此應當根據系統的時滯量選擇合適的控制增益以達到較好的控制效果。

［1］徐 鑒，裴利軍.時滯系統動力學近期研究進展與展望［J］.力學進展，2006，36(1)：17 －30.

XU Jian， PEI Li－jun.Advances in dynamics for delayed system［J］.Advances in Mechanics，2006，36(1)：17 －30.

［2］胡海巖，王在華.非線性時滯動力系統的研究進展［J］.力學進展，1999，29(4)：501 －512.

HU Hai－yan，WANG Zai－hua.Review on nonlinear dynamic systems involving time delays［J］.Advances in Mechanics，1999，29(4)：501 －512.

［3］胡海巖.振動主動控制中的時滯動力學問題［J］.振動工程學報，1997，10(3)：273 －279.

HU Hai－yan.On dynamics in vibration control with time delay［J］.Journal of Vibration Engineering，1997，10(3)：273 －279.

［4］ Pyragas K.Continuous control of chaos by self－controlling feedback［J］.Physics Letters A，1992，170(6)：421 －428.

［5］ Ali M S，Hou Z K，Noori M N.Stability and performance of feedback control systems with time delays［J］.Computers ＆Structures，1998，66(2 －3)：241 －248.

［6］孫 清，劉正偉，伍曉紅，等.含雙時滯振動主動控制系統的穩定性分析［J］.西安交通大學學報，2010，44(1)：112 －116.

SUN Qing，LIIU Zheng－wei ，WU Xiao－hong，et al.Stability analysis of the vibration active control system involving double time delay［J］.Xi'an Jiaotong University，2010，44(1)：112－116.

［7］陳龍祥，蔡國平.旋轉運動柔性梁的時滯主動控制實驗研究［J］.力學學報，2008，40(4)：520 －527.

CHEN Long－xiang ，CAI Guo－ping.Experimental study on active control of a rotating flexible beam with time delay［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2008，40(4)：520－527.

［8］周星德，陳政道，杜成斌.框架結構主動控制最優時滯研究［J］.計算力學學報，2007，24(2)：246 －249.

ZHOU Xing－de，CHEN Zheng－dao，DU Cheng－bin.Research on optimal time－delay of active vibration control of frame structures［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2007，24(2)：246 －249.

［9］鐘萬勰.結構動力方程的精細時程積分法［J］.大連理工大學學報，1994，34(2)：131 －135.

ZHONG Wan－xie.On precise time－integration method for structural dynamics［J］.Journal of Dalian University of Technology，1994，34(2)：131－135.

Numerical analysis on seismic response of active control system with time delays

ZHU Hong1，ZHANG Bin2，SUN Qing3
(1.Gansu Civil Engineering Research Institute，Lanzhou 730020，China;2.Henan Electric Power Survey＆ Design Institute，Zhengzhou 450007，China;3.Department of Civil Engineering，Xi'an Jiaotong University，Xi'an 710049，China)

A kind of dynamic equation of control system with double time delays was solved by a modified precise integration method.The accuracy of the method was proved by numerical examples in which time histories of system response and the distribution of response peaks of the system with variational time delays were calculated when feedback control gains take different values.The influences of different values of time delays and feedback control gains on the distribution of stable areas of the system were investigated.The influences of different feedback gains and variational time delays on system response were analysed，which shows that the influence of time delays gets more distinct as feedback gains increase.The result is of certain guiding significance for designing active structural vibration control algorithm considering the influence of time delay.

precise integration method;time delay;active control;control gain

O317

A

國家自然科學基金資助項目(10772141，11172226)

2011－12－29 修改稿收到日期：2012－03－20

朱 宏 男，碩士，高工，1966年4月生

孫 清 男，博士，教授，博士生導師，1970年生

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