事故仿真再現結果不確定性分析方法

鄒鐵方，張勇剛

(1.長沙理工大學 汽車與機械工程學院，長沙 410114;2.廣東警官學院 治安系，廣州 510230)

事故仿真再現結果不確定性分析方法

鄒鐵方1，張勇剛2

(1.長沙理工大學 汽車與機械工程學院，長沙 410114;2.廣東警官學院 治安系，廣州 510230)

越來越多的交通事故依賴于仿真軟件進行再現分析，事故仿真再現結果的不確定性問題亦越來越受到重視。介紹了可用于研究該問題的上下界法、差分法以及響應曲面法;接著通過分析給出了各方法所需仿真次數;然后借助三個算例驗證了各方法的實用性與適用范圍，并總結出各方法的優缺點，發現響應曲面法適應性最強;最后探討了求解事故再現中大不確定性問題的響應曲面法。所得結論可用于指導研究事故仿真再現結果的不確定性問題。

事故再現;不確定性分析;上下界法;差分法;響應曲面法;仿真

利用仿真軟件如Pc－Crash對交通事故進行再現分析，可充分利用事故現場信息使再現結果更符合客觀實際［1］。但不可忽略的事實是：無論是仿真軟件中的經驗參數如碰撞恢復系數等，還是現場測量參數如車輛軌跡長度、行人拋距等都包含不確定性。因而研究這些參數對事故仿真再現結果的影響具有重要意義。但事故仿真結果的不確定性分析問題因其模型表達式隱式而具有其自身的特點。本文將就此問題展開研究。首先介紹可用于事故仿真再現結果不確定性分析的上下界法、差分法以及響應曲面法。然后從各方法所需仿真次數、實用性及適用范圍等方面來對這些方法進行比較研究，最后將探討求解事故再現中大不確定性問題的響應曲面法。

1 問題描述

利用仿真軟件實現對事故再現分析時，所涉及的模型一般較多，如車－車碰撞事故再現仿真時就需涉及到碰撞、碰撞檢測、軌跡和駕駛等模型。但不管所涉及到的模型如何多、如何復雜，整個過程均可表達為：

其中，y為事故再現結果，一般為事故車輛車速，X為輸入參數，如事故現場測量參數等，s為輸入參數的個數。對于仿真軟件而言，f的表達式為隱式。對于某具體事故，X的取值區間可知，問題是如何確定y的取值區間。因而本文關注的問題是：在f隱式條件下，如何根據輸入參數X的取值區間確定輸出響應y的取值范圍。

2 仿真再現結果不確定性分析方法

本文問題的求解難點在于函數表達式f為隱式。響應曲面法的基本思想是替代建模，故可通過這一思想尋找一近似表達式g(X)代替f(X)，然后再結合已有的不確定性分析方法來研究事故仿真再現結果的不確定性問題，本文將所有利用這一思想的方法統稱為響應曲面法［2－3］。另文獻［4］中的上下界法以及文獻［5］中所提出的差分法亦可用于求解本文問題。

2.1 上下界法

上下界法是一種非常簡單的不確定性分析方法［6］。它首先確定所有所需考察輸入參數的取值范圍，然后根據所有參數的上、下界的組合計算出一組響應y的值，并將該組響應值中的最大、最小值視為y的上界和下界。可知，對于一有s個輸入參數的問題，其所有上下界的組合的種數有2s種，故該方法所需仿真次數為2s。關于這一方法的詳細介紹見文獻［6］中的“Upper and lower bound method”或文獻［4］中的“Extreme values method”。

2.2 差分法

該方法的本質是微分法。其首先確定輸入參數上、下界及名義值，然后通過輸入參數的名義值確定輸出響應的名義值，再依次讓每一輸入參數取其上、下界而其它參數取名義值獲得一組輸出響應，最后通過對所得結果進行統計分析則確定輸出響應的取值范圍。可知，對于一有s個輸入參數的問題，該方法所需仿真次數為2s+1。有關該方法的詳細介紹可參見文獻［5］。

2.3 響應曲面法

從文獻［2－3，7－9］中可知響應曲面法主要由三步組成：① 產生試驗樣本。所有樣本構成試驗樣本集;② 確定響應曲面g(X);③ 根據響應曲面g(X)及輸入參數的信息預測輸出響應。

2.3.1 生成試驗樣本集

生成試驗樣本集的方法很多，如響應曲面設計、正交設計、均勻設計、拉丁超立方設計，支持向量回歸設計等。

均勻設計由王元等［9－10］提出。其只考慮試驗點在試驗范圍內的“均勻分布”，忽略“整齊可比性”，故在保證試驗準確反映試驗內部規律的同時，使得試驗次數比其它試驗設計方法大為減少。

對于具體事故內的任意參數，其取值區間內所取的試驗點越多越好;而對于整個仿真而言又希望試驗次數越少越好，則可知均勻設計為該領域最優選擇。均勻設計通過均勻設計表進行試驗設計。每一個均勻設計表都有一個代號Un(qs)，其中“U”表示均勻設計，“n”表示要做n次試驗，“q”表示每個因素有q個水平，“s”表示該表有s列。每個均勻設計表都附有一個使用表，指示如何從設計表中選用適當的列。均勻設計表可從均勻設計網站或關于試驗設計的書籍中找到。

選擇合適的均勻設計表，再將需考察的不確定參數分別安排到這些列號上，并將這些參數的水平按所在列的指示分別對號，則完成了試驗樣本集的設計。此時的均勻設計表稱為試驗表。

2.3.2 確定響應曲面g(X)

嚴格按照試驗表進行試驗后，則可根據試驗表及試驗結果，利用回歸分析方法確定g(X)。根據實際情況，選擇g(X)的形式，理論上越逼近原模型f(X)越好，實際應用中，常選擇多項式。

式中：ai，bi，…，(i=0，1，2，…，s)為待定系數，xi為第 i個自變量。由文獻［2－3］可知，式(2)中二階以上量常忽略，即

文獻［8］指出，為得到式(2)中待定系數的值，試驗次數應該約為待定系數的2倍左右。本文采用這一結論，因而對于一有s個輸入參數的問題，在選用式(3)為響應曲面條件下，推薦試驗次數為2s+3，故該方法所需仿真次數為2s+3。

2.3.3 再論試驗樣本集的生成—均勻設計表的選取

對于一個有s個輸入參數的問題，當確定選用式(3)為響應曲面時，可知必須進行的試驗次數為2s+3，這時可選擇均勻設計表U2s+3［(2s+3)ss］，其中要求ss不少于s。

2.3.4 根據響應曲面g(X)及輸入參數的取值范圍預測輸出響應的取值區間

當g(X)確定后，所有的不確定性分析方法均可用于解決文中所提出問題了。文獻［3］，可給出計算y取值區間的計算式。

2.4 各方法所需仿真次數比較

綜合本部分對各方法的介紹，可知對一有s個輸入參數的問題，各方法所需仿真次數如表1所示。其中，對于響應曲面法，其所需要的仿真次數是隨著所選擇的響應面函數的不同而不同的。

由表1發現，當輸入參數大于2個時，差分法所需仿真次數最少，上下界法所需仿真次數比較多且受輸入參數個數的影響非常顯著，而響應面法所需仿真次數則受到響應面模型的影響，一般而言其仿真次數小于上下界法所需次數，在輸入參數較多時更是如此。

表1 各方法所需仿真次數Tab.1 Simulation times needed for each methods

3 算例

3.1 算例1

該算例為一純數學問題，模型1表達式見式(5)，模型2表達式見式(6)，前者為嚴格單調函數，后者為非單調函數。

模型1中 x1∈［64，72］，x2∈［4，8］，y準確的取值區間為［1，4.5］;模型 2 中 x1∈［10，20］，x2∈［4，8］，y準確的取值區間為［50/9，225/32］，約為［5.56，7.03］。下面分別用文中提到的3種方法來研究這一問題。對于響應曲面法，選擇均勻設計表U7(72)(見表2)并將不確定參數安排到相應的列，再將自變量取值區間等分為6段(7個點)，然后根據端點數值大小的排名順序將其填入均勻設計表中對應數字處，則可得試驗表(見表3，該表為用于模型1的試驗表及試驗結果)。最后通過回歸分析可得模型1、2的響應曲面函數，分別見式(7)與式(8)。然后結合式(4)可獲得y取值區間，結果見表4。

表2 U7(72)均勻設計表Tab.2 Uniform Design Table U7(72)

表3 試驗表及試驗結果Tab.3 Test scheme and test results

表4 不同方法所得y取值區間Tab.4 The interval of y from different methods

對比表4中各方法所得y取值區間可得：模型表達式嚴格單調時，利用上下界法可獲得輸出響應的準確值，因為假設y=f(X)為嚴格單調函數，則在其定義域內不存在駐點(?f/?xi=0，i=1，…，s)，故函數極值必出現在定義域空間的頂點處，而頂點處函數值均已通過上下界法獲得，故此時可以獲得真值;但對于模型表達式非單調時的一些特殊情況(定義域空間頂點處函數值一致)，上下界法將完全失效。而就差分法和響應曲面法而言，則對模型并沒有特殊的要求，在這兩個算例中都顯示了其實用性。

3.2 算例2

該模型用于計算車－人碰撞事故中事故車輛車速，由文獻［11］，模型表達式如下

其中，V為碰撞前車速，單位m/s;mv和mp分別為車和人的質量，單位kg;C，D，S0為回歸參數;Dt為行人拋距，單位m。根據文獻［11］，各回歸參數的取值范圍為C∈［2.1，5.0］，D∈［0.46，0.53］，S0∈［1.1，1.8］;對于某事故，Dt∈［16，18］m，mv=1 024 kg，mp=65 kg。在此條件下，則V準確的取值范圍為［6.7，21.0］m/s。下面，同樣用文中三種方法來研究碰撞前車速的取值區間，對于響應曲面法，選擇U11(114)為均勻設計表，試驗表及試驗結果見表5，則可得響應曲面函數V= －27.934+3.675C+37.423D+0.018S0+0.556Dt，由各方法計算所得碰撞前車速取值區間見表6。

表5 試驗表及試驗結果Tab.5 Test scheme and test results

表6 不同方法所得V取值區間Tab.6 The interval of V from different methods

由表6可以再次驗證由表4所得的結論。通過與真值的對比可知，各種方法均可應用于實際的事故再現分析中。

3.3 算例3

考慮到實際車人碰撞事故中，事故車速未知，故該算例選取一試驗。該試驗試驗序號為DSD Spring Seminar 99 Test 07，為DSD公司1999年進行的測試，試驗車輛及假人參數見表7，試驗現場圖見圖1。

用Pc－Crash軟件仿真該試驗，仿真中取車速為37.4 km/h，碰撞后駕駛員反應時間為0.28 s，制動系統協調時間為0.2 s，車路間摩擦系數0.75，人車間摩擦系數為0.2，人路間摩擦系數為0.6，車輛的運行方向由軟件內的駕駛模型控制。模擬所得動畫和實拍的視頻比較可參見圖2～4，圖5給出車輛及行人最終停止位置，由這些圖可以看出仿真能較好地反映試驗的情況。

表7 試驗數據Tab.7 Test data

圖1 試驗現場圖Fig.1 Sketch of the test

圖2 t=0.268 s時人車相對位置Fig.2 The relative position of vehicle and pedestrian when t=0.268 s

圖3 t=0.3 s時人車相對位置Fig.3 The relative position of vehicle and pedestrian when t=0.3 s

圖4 t=0.402 s時人車相對位置Fig.4 The relative position of vehicle and pedestrian when t=0.402 s

圖5 車輛及行人最終停止位置Fig.5 Rest position of the vehicle and pedestrian

現假設碰撞前速度 v未知，估計其取值范圍為［20，50］km/h，人車、人路間摩擦系數 μ1，μ2取值范圍分別為［0.1，0.3］、［0.5，0.7］，行人拋距 s估計為［14，15］m，除此之外其他數據都可準確獲得，現需充分利用這些信息來分析車速。則需要解決的問題是由式v=f(μ1，μ2，s)及其中的輸入參數的取值范圍確定v的取值區間，在仿真的時候將會發現當s確定后再去確定v的值將會非常困難，故在此種情況下上下界法以及差分法將無法應用，只有響應曲面法能正常工作。

利用響應曲面法的時候，將s視為輸出，v視為輸入，這樣可使得仿真能夠順利進行。這里選用U9(93)，均勻設計表安排試驗，該表直接從均勻設計網站上下載，試驗表及試驗結果見表8。

通過回歸分析，可得一階響應面模型v=3.61+11.4μ1+13.3μ2+1.6s。綜合該式及(4)式以及該式中各自變量的取值范圍，可得v=［33.8，40.3］km/h。顯然這一區間很好地包含了真值37.4 km/h，且區間半徑比預估計的少了許多。

通過這一算例，驗證了響應面法在事故仿真再現結果不確定性分析中的價值及可行性。亦發現另外兩種方法即上下界法和差分法在此種情況下無法工作，它們之所以不能工作，是因為事故再現結果很難通過輸入參數確定(如本案例中車速很難由行人拋距確定)，這種情況在很多以“正推法”為基本思想的再現軟件中是很常見的。

表8 試驗表與試驗結果Tab.8 Test scheme and test results

4 響應曲面法再分析

文獻［2－3］中響應曲面法均采用一階響應面模型，即式(3)，實際事故再現過程中，事故再現結果與輸入參數之間如存在較強的非線性，在輸入值不確定度較小情況下，式(3)還具有一定的實用性，但如果輸入值不確定度較大，則該簡化會引起較大的誤差。針對事故再現中的大不確定性問題，可通過保留式(2)中更高階項或采用更優越的回歸分析方法(如支持向量回歸)來解決。下面僅討論采用二階響應面的情況，響應面模型見式(10)。

式中，a0，a1i，a2i，a3ij為待定系數，然后可遵循以下步驟獲取事故再現結果的取值區間。

(1)假設各輸入參數服從均勻分布，據此生成隨機數 xij，j=1，2…，i=1，2，….n。(2)通過g(X)計算y，其中

式中，n為蒙特卡洛方法的樣本數。

(3)計算y的上下界

然后用此方法計算文中案例1－2，所得結果列于表9中。

表9 不同方法所得結果取值區間Tab.9 The interval of results from different methods

從表9可以看出，選取二階響應面模型所得結果取值區間比選用一階模型所得更接近真值。

雖然二階響應面模型在此處顯示出比一階模型更好的適用性，但在實際事故再現中，究竟選取何種模型以及選用何種回歸分析方法，還需具體問題具體分析。

5 結論

本文介紹了可用于分析事故仿真再現結果不確定性問題的上下界法、差分法及響應曲面方法，并分析了這些方法所需仿真次數，再在此基礎上研究了響應曲面方法中均勻設計表的選擇。然后通過三個算例分析了各方法的優缺點、存在問題、適用范圍等，并進而給出了求解大不確定性問題的響應曲面方法，具體結論有：

(1)上下界法是一種優缺點非常突出的不確定性分析方法。其優點在于：如果所研究問題的模型為嚴格單調函數，則該方法可獲得輸出量的準確取值范圍。缺點則是：如果所研究問題模型為非單調函數，在函數定義域空間所有頂點處的函數值為固定值的情況下，該方法將失效，如文中算例1中模型2;在事故再現結果很難通過輸入參數確定的情況下，該方法將無法工作，如文中算例3;且該方法所需仿真次數受所研究問題中輸入參數個數的影響明顯，對于一個有s個輸入參數的問題，其所需仿真次數為2s。

(2)差分法是一種比較普通的不確定性分析方法。其優點在于：所需仿真次數很少，對于一個有s個輸入參數的問題，其所需仿真次數為2s+1。缺點則是：在事故再現結果很難通過輸入參數確定的情況下，其亦無法用于分析仿真結果的不確定性，如文中算例3，而這種情況在以“正推法”為基本思想的事故再現軟件中很常見。

(3)響應曲面法作為一類方法的總稱，具有其優越性：① 該方法可用于分析所有情況下事故仿真再現結果的不確定性問題;② 就理論上而言，利用該方法可獲得仿真結果的準確的取值范圍。存在的問題則是如何獲得與真實模型更為逼近的響應面函數，研究的還不夠透徹。

就采用一階響應面模型的響應曲面法而言，文中三個案例表明其可用于分析事故仿真再現結果的不確定性問題;但因其本質是把隱式模型強制線性化，故在面對強非線性、大不確定性問題時會導致大的誤差;在試驗設計時，對于一個有s個輸入參數的問題，可選用均勻設計表U2s+3((2s+3)ss)設計仿真試驗，其中要求ss不少于s。

就采用二階響應面模型的響應曲面法而言，文章算例結果表明用該方法所得結果比用一階的更為接近真值。但不管一階還是二階模型均不可能完全逼近所有事故再現模型，故在實踐中需具體問題具體分析。

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Methods for analyzing uncertainty of results in accident simulation

ZOU Tie－fang1，ZHANG Yong－gang2

(1.School of Automotive and Mechanical Engineering，Changsha University of Science and Technology，Changsha 410114，China;2.Department of Security，Guangdong Police College，Guangzhou 510230，China)

More and more accidents are simulated by accident reconstruction software，so the uncertainty problem of reconstruction results by using accident simulation data draws more and more attention.The upper and lower bound method，finite difference method and response surface method，which can be used in evaluating uncertainty of reconstruction results were introduced.And then the simulation time consumption needed for each method was analyzed.The feasibility of these methods was proved through three numerical examples，and the strength and weakness of each method were summarized.It is concluded that the response surface method is of the most adaptability.Finally，a method for analyzing the large－scale uncertainty problem in accident reconstruction was proposed.Conclusions obtained can be used to guide research on evaluating the uncertainty of reconstruction results.

accident reconstruction;uncertainty analysis;upper and lower bound method;finite difference method;response surface method;simulation

U491.3;TP391.91

A

國家自然科學基金(51208065);湖南省自然科學基金(12JJ3044);湖南省高等學校科學研究項目(12C0017);同濟大學道路與交通工程教育部重點實驗室開放基金(201203);公安部應用創新計劃項目(2011YYCXGDST077)

2011－08－31 修改稿收到日期：2012－03－20

鄒鐵方 男，講師，1982年生