Cymbal壓電發電換能器有限元分析

盧義剛，顏振方

(華南理工大學 理學院物理系，廣州 510640)

Cymbal壓電發電換能器有限元分析

盧義剛，顏振方

(華南理工大學 理學院物理系，廣州 510640)

通過建立Cymbal壓電發電換能器的機電耦合有限元分析模型，計算分析了換能器結構參數對輸出電壓和諧振頻率的影響以及外接負載對Cymbal換能器輸出電壓和輸出功率的影響。研究表明，為了降低換能器的工作頻率和提高換能器的輸出電壓，應增大換能器的空腔底部直徑和減小換能器的空腔高度;在選擇金屬端帽和壓電陶瓷厚度等參數時，應綜合考慮換能器系統的剛度和外界振動源的頻率特性和加速度特性;在任意一個頻率點上，Cymbal換能器均存在一個最佳的外接負載，使得換能器的輸出功率最大，而這個最佳的負載阻抗就等于Cymbal換能器在這個工作頻率點上的輸出阻抗。提出并分析了基于外加預應力的多振子級聯方式Cymbal壓電發電換能器系統的結構。

壓電發電換能器;有限元;多振子級聯;負載阻抗

隨著無線傳感網絡和低耗能微電子技術的發展，越來越多的智能傳感器件、嵌入式芯片和微電子機械系統部署在工業環境當中，用以實現對工業環境的檢測和監控。如大型橋梁的安全監測，鐵路軌道的質量監控，工業數據的采集和發送等。目前，為這些器件提拱能量的主要方式是化學電池，而化學電池供能存在著質量大、體積大、系統集成難、壽命短、需要定期更換、對環境的依賴性苛刻等諸多不利因素，這嚴重制約著整個產業的發展。

基于壓電效應理論進行能量轉換的壓電發電裝置，相較于溫差發電、電磁轉換、靜電轉換等能量俘獲方式也是一種好的解決方案，它通過俘獲外界工作環境中的振動能，并將其轉換成電能，可實現為低耗能微電子器件的永久性供能。國內外一些知名學者對以壓電材料為換能介質的壓電發電換能器展開了相關研究［1］。由于壓電發電換能器的研發涉及到聲學、機械、材料、電子等諸多學科，要開發出一個真正可用的壓電發電產品仍然具有很大的挑戰性。

迄今為止，較為成熟的產品是MIT團隊研發的懸臂梁結構末端帶質量塊的壓電陶瓷發電系統［2］，由于其具有頻率低、能量轉換效率高、且易于耦合等優點而受到廣泛的關注，并已經被用來實現橋梁監控的無線傳感器供能［3］。但懸梁臂壓電振子的直接承載能力有限，在高載荷(位移振幅大，加速度大的外界振動源)環境中容易發生斷裂，其輸出阻抗高，后級匹配電路也復雜。

對此，國內外學者相繼提出了一些應用于高載荷環境換能器的設計思路，具有代表性的是香港理工大學和武漢大學學者研制的鼓形壓電陶瓷換能器［4］。美國賓夕法尼亞州立大學在Moonie換能器基礎上，利用實驗和建模仿真分析的方法研制了俘獲外界振動能量的 Cymbal壓電陶瓷換能器［5－6］。已有的研究表明，盤式的壓電發電裝置具有高承載力、高強度、高能量轉換效率的特點，適宜高載荷環境的振動能俘獲。

Cymbal壓電振子由兩片鈸型金屬端帽和壓電陶瓷圓盤通過環氧樹脂粘結而成，其結構及發電原理如圖1所示。

圖1 Cymbal結構及發電原理Fig.1 The structure and principle of Cymbal

圖中ф為Cymbal換能器外直徑，фb為空腔底部直徑，фt為空腔頂部直徑，tm為金屬端帽的厚度，tp為壓電陶瓷的厚度，tc為空腔高度。當外界軸向振動被Cymbal換能器的金屬端帽接收時，金屬端帽產生彎曲振動，由于金屬端帽與壓電陶瓷圓盤之間的耦合作用，外界軸向載荷力通過金屬端帽緩沖和放大后轉換成壓電振子的徑向應力，使振子產生徑向振動，由于壓電陶瓷的壓電效應，交變的外界振動使Cymbal振子產生交變電場，從而實現對外界振動源能量的轉換。

1 Cymbal壓電發電換能器的有限元模型

Cymbal壓電發電振子可以視為機械自由和電學短路，故選擇 D 型壓電方程［7］：

式中：i，j=1，2，3，… ，6;n，k=1，2，3;S為應變張量;T為應力張量;SE為電場強度為定值作用下的彈性柔順系數矩陣;E為外加的電場強度矢量;D為電位移密度矢量;d為壓電應變常數矩陣;εT為應力為定值作用下的介電常數矩陣。

根據有限元理論，將壓電陶瓷圓盤振子離散成由一系列八節點六面體組成的結構進行單元分析。為了由節點位移求出單元內任一點的位移，由節點電壓求出單元內任一點的電壓，引入單元位移和電壓插值函數［8］：

式中：{uc}和{Vc}分別為單元內任一點位移和電壓，{u}和{V}分別是節點位移和節點電壓，［Nu］和［NV］分別是位移形狀函數和電壓形狀函數，［Nu］T和［NV］T為［Nu］和［NV］的轉置。通過節點位移求單元內任一點的應變，通過節點電壓求單元內任一點的電場強度，將應變向量及電場強度分別表示成單元節點位移和電壓的函數：

式中：S為單元內任一點的應變，E為單元內任一點的電場強度;［Bu］為位移幾何矩陣，［BV］為電壓幾何矩陣。

利用有限元方法解決多物理場耦合問題時，采用通用的廣義矩陣和廣義向量的機電耦合動力學方程，對于任一節點單元，其機電耦合的動力學方程為［9］：

式中：廣義位移向量取結構位移向量{u}與壓電體節點電壓向量{V}的組合，［M］為質量矩陣，［C］為阻尼矩陣，［K］為彈性剛度矩陣，［Kd］為介質傳導矩陣，［Kz］為壓電耦合矩陣，{F}為施加在節點、面、或者體上的力載荷矢量，{L}為施加在節點上的電載荷矢量。

式中：［C］6×6為彈性剛度常數矩陣，［d］3×6為壓電常數矩陣，［d］T6×3是壓電常數矩陣的轉置，［ε］3×3為介電常數矩陣，ρ為體積密度。

在設計收獲外界振動能量的Cymbal換能器時，主要考慮的是Cymbal換能器將外界機械振動轉換成電能的能力。由機電耦合動力學方程(7)可知，外界源振動能量的大小通過方程(7)中的節點位移向量{u}來表征，而壓電振子產生的電能通過方程(7)中壓電體節點電壓{V}來表征。因此，方程(7)中，外加在節點上的電載荷矢量L取為0，同時忽略換能器阻尼的影響，即取［C］為0。此時(7)式簡化成如下形式：

對矩陣進行展開運算可得：

聯立式(10)和式(11)可得：

式(9)表征了Cymbal壓電振子的機電轉換關系，式(11)表征了節點位移向量{u}和節點電壓向量{V}的關系，式(12)表征了外加力載荷和壓電體節點位移向量{u}之間的關系。將方程(12)的求解結果代回方程(11)可以得到外加力載荷向量和節點電壓之間的關系。通過改變式(9)中的力載荷向量，可以對壓電振子進行不同類型的壓電性能分析。考慮到Cymbal壓電發電換能器主要的目的是將外界的振動能轉換成電能，分析換能器的發電性能時，主要對F=0和F=Aejwt即外加載荷為0和外加載荷為正弦激勵時的機電轉換關系進行分析。當F=0時，對應的是壓電振子的振動模態的分析;當F=Aejwt即外加載荷為正弦激勵時，對應的是壓電振子的諧波響應分析，用來探討不同頻率特性下的換能器的結構參數對其發電性能的影響關系。

2 Cymbal壓電發電換能器的結構參數對其發電性能的影響

Cymbal壓電發電換能器的輸出電壓的大小體現了換能器俘獲外界振動能量的大小，換能器的諧振頻率體現了Cymbal壓電發電裝置與外界振動源的機械耦合程度。以下針對應用于俘獲外界振動能的Cymbal壓電發電換能器，在前面已建立的有限元分析理論模型的基礎上，通過有限元分析軟件 Ansys11.0分析Cymbal壓電換能器的結構參數對其輸出電壓特性和諧振頻率特性的影響。

2.1 材料參數的選擇

常用于換能器的壓電陶瓷材料有PZT5A、PZT5H、PZT4、PZT8等。相比與其他壓電陶瓷材料，PZT5H具有更高的d·g值［10］，即具有更好的正壓電效應，具有更高的能量轉換效率，所以，這里選擇PZT5H作為壓電振子的材料。PZT5H的彈性柔順系數矩陣SE、壓電應變常數矩陣的轉置［d］T和相對介電常數矩陣εT/ε0如下，單位分別為 10－12m2·N－1、10－12C·N－1和 10－12F·m－1，ε0是真空中的介電常數，其值等于 8.854 ×10－12F·m－1。

相比于鋁合金，黃銅等材料，45#鋼具有較高的彈性強度和剛度，更適合高載荷環境，考慮到Cymbal壓電發電換能器的高承載力特性，這里選擇45#鋼作為金屬端帽的材料。Cymbal換能器的材料參數和結構參數列于表1中。

表1 Cymbal材料參數和結構參數Tab.1 Material parameters and structural parameters of Cymbal

2.2 有限元分析模型的建立

在有限元分析中，常用于壓電分析的單元有Solid227和Solid98。Solid227是三維10節點的耦合場分析單元，Solid98是4面4節點的耦合場分析單元。常用于結構分析的單元有Solid187和Solid45，其中 Solid187是三維4面體10節點結構分析單元，特別適合不規則體的結構分析。由于Cymbal換能器的結構簡單，文中采用高精度的Solid227單元模擬壓電陶瓷做壓電分析，選用Solid187模擬金屬端帽做結構分析。仿真時，忽略粘結層的影響，認為壓電振子和金屬端帽為理想粘結，即在粘結層的位移和振速是連續的［11］，對振子進行諧響應分析的時候，在壓電圓盤Z軸方向的中心處施加振幅為18 N的預應力。

2.3 仿真結果分析

Cymbal壓電發電換能器結構參數對其輸出電壓和諧振頻率的影響的仿真結果如圖2－圖5所示。

可見Cymbal壓電發電換能器的輸出電壓隨空腔底部直徑增大而增大，隨空腔高度增大而減小，隨壓電陶瓷厚度增大而增大，隨金屬端帽厚度增大而減小;換能器諧振頻率隨空腔底部直徑增大而減小，隨空腔高度增大而增大，隨壓電陶瓷厚度增大而增大，隨金屬端帽厚度增大而減小。

圖2 輸出電壓隨空腔底部直徑和空腔高度的變化曲線Fig.2 Relationship between output voltage and the diameter at the bottom and the high degree of the cavityoutput output

圖3 諧振頻率隨空腔底部直徑和空腔高度的變化曲線Fig.3 Relationship between resonant frequency and the diameter at the bottom and the high degree of the cavity

圖4 輸出電壓隨壓電陶瓷厚度和金屬端帽厚度的變化曲線Fig.4 Relationship between output voltage and thickness of the piezoelectric ceramics and the metal cap

圖5 諧振頻率隨壓電陶瓷厚度和金屬端帽厚度的變化曲線Fig.5 Relationship between resonant frequency and thickness of the piezoelectric ceramics and the metal cap

Cymbal壓電發電換能器是利用壓電陶瓷材料的正向壓電效應工作的，當換能器撿拾到外界的振動時，在晶片的兩極上引起交變的電荷分布，兩極間形成交變電場。換能器空腔底部直徑增大使得系統剛度降低，導致壓電晶體的應變增大，致使輸出電壓增大;空腔高度增大使得金屬端帽與壓電陶瓷圓盤面的夾角增大，導致作用在壓電晶體上的力減小，致使輸出電壓減小;當壓電陶瓷的厚度增大時，其切向應變也將增大，從而使得輸出電壓增大;當金屬端帽厚度的增大時，系統的機械損耗增大，有效作用在壓電陶瓷的軸向應力減小，從而使得輸出電壓減小。

空腔底部直徑的增大導致其剛度降低，使換能器的諧振頻率降低;空腔高度增大導致振子的等效半徑的減小，使得其諧振頻率升高;當壓電陶瓷得厚度增大時，導致系統剛度增大，換能器諧振頻率增大;當金屬端帽厚度的增大時，金屬端帽的能量緩沖和傳輸損耗增大，放慢了振動源的頻率，從而使振子的諧振頻率減小。

Cymbal壓電發電換能器系統的剛度以及換能器系統與外界振動源的機械耦合程度決定了換能器的工作頻率特性與換能器潛在的俘獲外界振動能量大小的能力。Cymbal壓電發電換能器系統與外界振動源的機械耦合程度主要由兩個因素決定，一是換能器的諧振頻率與外界振動源頻率特性的匹配程度，二是換能器系統的剛度與振動源加速度特性的匹配程度。換能器的諧振頻率與外界振動源頻率特性的匹配性越好，換能器的能量轉換效率越高，只有當換能器的諧振頻率和外界振動源的頻率相等時，換能器的能量轉換效率才是最高的。換能器系統的剛度越大，系統的工作強度越高，更適合工作于具有高加速度特性的外界振動源環境，但隨著系統剛度的增大，振子的諧振頻率增大，系統的能量傳輸損耗也隨著增大。

研究指出：在對Cymbal壓電發電換能器進行優化設計時，在符合金屬端帽和壓電陶瓷圓盤粘結強度的條件下，應增大換能器的空腔底部直徑，減小換能器的空腔高度。在設計高加速度振動源環境的Cymbal壓電發電換能器時，一方面，為了提高換能器系統的工作強度，更好地適應高加速度特性的低頻振動源環境，應增大金屬端帽的厚度，減小壓電陶瓷的厚度;另一方面，為了提高系統的能量轉換效率減低能量傳輸損耗，應減小金屬端帽的厚度，增大壓電陶瓷的厚度。

總之，在優化設計單個Cymbal壓電發電換能器時，在符合金屬端帽和壓電陶瓷圓盤粘結強度的前提下，應增大換能器空腔底部直徑，減小換能器空腔高度，在選擇金屬端帽厚度和壓電陶瓷厚度的幾何參數時，需綜合考慮外界振動源的頻率特性和加速度特性。

2.4 外加預應力及多振子級聯的Cymbal壓電發電系統

鑒于以上的分析，單個Cymbal壓電發電換能器在高載荷振動源環境下，一方面要降低換能器系統的工作頻率，提高換能器系統的剛度，使其能工作在高加速度的外界振動源環境，另一方面要提高換能器系統和振動源的耦合程度使其輸出電壓增大，提高換能器系統的能量轉換效率。在對單個Cymbal壓電發電換能器的分析的基礎上，針對單個Cymbal壓電發電換能器在系統剛度和換能器系統與外界振動源的耦合程度之間的矛盾，文中提出一種多振子級聯耦合方式的Cymbal壓電發電系統，其結構示意圖如圖6所示。

圖6 多振子級聯的Cymbal壓電發電系統的結構示意圖Fig.6 The piezoelectric power generation system of cascade multi－oscillator

圖6給出的是5個Cymbal壓電發電換能器并聯聯結的結構示意圖。級聯的Cymbal壓電發電換能器鑲嵌在薄圓柱殼中，與圓柱殼上下底面接觸的兩個Cymbal壓電振子的上下金屬端帽通過絕緣性介質與圓柱殼耦合在一起，整個級聯的壓電振子在外部薄圓柱殼的耦合作用下形成一個完整的系統。金屬端帽與金屬端帽之間通過導線聯結在一起，相鄰Cymbal壓電振子的上下金屬端帽是同極性的。

整個結構的設計特點是：第一，5個并聯連接的Cymbal壓電發電振子鑲嵌在圓柱殼內部，圓柱殼為整個壓電振子晶堆提供預應力，提高換能器的抗張強度，為換能器施加恒定的預應力，保證換能器振動時，壓電陶瓷晶堆始終處于壓縮狀態。第二，圓柱殼通過上下兩個圓面實現與Cymbal壓電發電振子的耦合，為了保證圓柱殼不阻礙Cymbal振子的徑向振動，圓柱殼底面直徑應大于Cymbal的直徑和振子徑向振動的位移之和。與振動源的耦合是通過圓柱殼的上下兩個圓面實現的，這種結構設計增大了壓電發電系統接收外界振動能的接收面積，有利于俘獲更多的振動能量，同時也提高了壓電發電換能器系統與外界振動源的耦合程度。第三，圓柱殼結構設計為整個壓電振子晶堆提供支架，在應用時無需外加其它耦合結構或者支撐結構，直接將圓柱底面貼于振動源的接觸面即可，很好的實現了與外界振動源的耦合，且易于現場安裝和掛載。第四，單個Cymbal壓電發電換能器的輸出特性是高電壓，低電流，高輸出阻抗的電壓源特性，增加了后續整流，降壓和存儲電路的匹配難度。在輸出功率一致的情況下，并聯連接的多個Cymbal壓電振子有益于增大換能器系統的輸出電流，降低換能器系統的輸出阻抗和輸出電壓，簡化了與后續能量存儲電路的匹配難度。

3 Cymbal壓電發電換能器的負載和載荷對其發電性能的影響

Cymbal壓電發電換能器是一種典型的機電耦合系統，研究一個機電耦合系統的能量轉換和傳輸特性，可以從能量轉換器件本身即Cymbal換能器的結構和材料特性對能量轉換特性的影響關系出發，也可以從Cymbal換能器的輸出阻抗與外接負載之間的匹配關系以及換能器與外界振動源的耦合程度對換能器能量傳輸特性的影響關系出發。下面通過有限元中的諧響應分析方法分析外接負載阻抗R對Cymbal換能器的發電性能的影響，以及外界振動源的頻率特性對Cymbal壓電發電換能器的發電性能的影響。根據表1中的參數建立Cymbal壓電發電換能器的模型，建模時，通過有限元軟件中的電路分析單元Circu94模擬負載阻抗R，同樣在Cymbal的Z軸方向施加振幅為18N的預應力。由于外界可利用的振動源頻率廣泛分布在低頻范圍(20－200 Hz)內［12］，故外加載荷頻率分析選擇在此范圍內，仿真結果如圖7和圖8所示。

圖7所示是外接負載阻抗對Cymbal壓電發電換能器的輸出電壓的諧響應曲線。分析可知，換能器的輸出電壓隨負載阻抗的增大而增大，在負載阻抗較小時，電壓隨著負載阻抗的增大而線性增大;隨著負載阻抗的進一步增大，電壓的增大趨于平緩。在諧響應分析的頻率范圍內，輸出電壓隨著頻率的升高而增大。

圖8為外接負載阻抗對Cymbal壓電發電換能器的輸出功率的諧響應曲線。分析可知，換能器的輸出功率隨負載阻抗的增大呈現先增大后減小，當振動頻率為200Hz，負載阻抗為450kΩ時，Cymbal壓電發電換能器的最大輸出功率為3.4mW。輸出功率隨負載阻抗的變化規律很好的體現了Cymbal壓電發電換能器的機電耦合系統的特性，在任意一個工作頻率點上都存在一個最佳的負載阻抗使得換能器的輸出功率達到最大值。根據電學網絡的耦合特性可以知道，這個最佳的負載阻抗大小即等于Cymbal壓電發電換能器的輸出阻抗。

圖7 外接負載阻抗對Cymbal壓電發電換能器輸出電壓的影響Fig.7 The impact of external load impedance on the output voltage

圖8 外接負載阻抗對Cymbal壓電發電換能器輸出功率的影響Fig.8 The impact of external load impedance on the output power

4 結論

有限元方法是研究Cymbal壓電發電換能器的重要方法。利用有限元方法可以全面分析Cymbal壓電發電換能器的材料、結構參數、外接負載及外加載荷等因素對其發電性能的影響。

在進行Cymbal壓電發電換能器設計時，需要綜合考慮換能器空腔底部直徑、空腔高度、金屬端帽厚度、壓電陶瓷厚度等因素。

多振子并聯聯接的Cymbal壓電振子晶堆的結構設計具有系統剛度大，易于和外界振動源耦合，且輸出電壓、電流可調，輸出阻抗小等特點，這種結構設計的思路為其他形式的壓電發電換能器的設計提供了重要的參考。

［1］Anton S R，Sodano H A.A review of power harvesting using piezoelectric materials(2003 －2006)［J］.Smart Material And Structures，2007，16：R1－R21.

［2］Roundy S，Wright P K.A piezoelectric vibration based generator for wireless electronics［J］.Smart Material and Structures，2004，1131－1142.

［3］Arms S W，Townsend C P，Churchill D L，et al.Power management for energy harvesting wireless sensors［J］.Smart Structures and Materials，2005，5763：267 －275.

［4］Wang S，Lam K H，Guo M S，et al.Energy harvesting with piezoelectric drum transducer［J］.Applied Physics Letters，2007，90(11)：113506 －113509.

［5］Kim H W，Uchino K，Newham R E，et al.Energy harvesting using a piezoelectric"cymbal" transducer in dynamic environment［J］.Japanese Journal of Applied Physics，2004，43(9A)：6178－6183.

［6］Kim H W，Priya S，Uchino K.Modeling of piezoelectric energy harvesting using cymbal transducers［J］.Japanese Journal of Applied Physics，2006，45(7)：5836－5840.

［7］林書玉.超聲換能器的原理與設計［M］.北京：科學出版社，2004.

［8］欒桂東，張金鐸，王仁乾.壓電換能器和換能器陣(修訂版)［M］.北京：北京大學出版社，2005.

［9］王勖成，邵 敏.有限單元方法基本原理和數值方法(第二版)［M］.北京：清華大學出版社，1998.

［10］ Yi S，Fuling S，Ying M.Larger deformation fine element analysis of composite structures integrated with piezoelectric sensors and actuators［J］.Finite Element in Analysis and Design，2000，35：1 －15.

［11］ Dogan A，Uchino K.Composite piezoelectric transducer with truncated conical endcap"cymbal"［J］.IEEE Ultrasonic，1997，44(13)：597 －605.

［12］ Stephen N G.On energy harvesting form ambient vibration［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，293(1 － 2)：409－425.

Finite element analysis on energy harvesting with cymbal transducer

LU Yi－gang，YAN Zhen－fang
(School of Physics，South China University of Technology，Guangzhou 510640，China)

A finite element analysis model of energy harvesting with Cymbal transducer was established.The influence of structural parameters of the transducer on the output voltage and resonance frequency was analyzed.The results show that，in order to reduce the operating frequency and increase the output voltage of the transducer，the bottom diameter of the cavity should be increased and the height of the cavity should be reduced.When choosing the thickness of metal end cap and the thickness of PZT，the stiffness of Cymbal transducer and the characteristics of frequency and acceleration of the external vibration source must be synthetically taken into consideration.A pre－stress and multi－layer structure of Cymbal energy harvesting system was proposed and analyzed.The effect of the external resistance load on the output voltage and output power of Cymbal transducer was identified.The results show that，at a specific frequency there is always an optimal external resistance load which makes the transducer generate the maximum output power.The optimal resistance of the load matches with the output impedance of Cymbal transducer at this specific frequency.

Cymbal energy harvesting transducer;finite element;multi－layer;resistance load

TN3

A

國家自然科學基金資助課題(11174086)

2011－11－28 修改稿收到日期：2012－03－13

盧義剛 男，博士，教授，1962年9月生