固結拉索的一種近似頻率計算公式

廖敬波，唐光武，孟利波，鄭 罡

(重慶交通科研設計院有限公司 橋梁工程結構動力學國家重點實驗室，重慶 400067)

固結拉索的一種近似頻率計算公式

廖敬波，唐光武，孟利波，鄭 罡

(重慶交通科研設計院有限公司 橋梁工程結構動力學國家重點實驗室，重慶 400067)

在固結索力識別的復雜過程中，頻率方程中的雙曲線函數項有可能造成數據溢出等病態問題。為了克服該數值問題和簡化索力識別，利用雙曲線函數和三角函數的數值特性，對雙曲線函數項進行近似處理，得出簡化的近似頻率方程，并利用近似頻率方程為周期函數的特點，推導了固結拉索的近似頻率公式，通過數值算例驗證了近似頻率公式的合理性和可靠性。

固結拉索;近似頻率方程;近似頻率公式

為了掌握索纜承重體系在建造和運營過程中的實際受力狀況，必須全面了解承重體系中所有拉索的實際受力情況。因此，準確測量拉索的索力具有十分重要的實際工程背景。同時，橋梁檢測工程師也迫切需要一種既快捷又可靠的測量方法對大規模的拉索進行高效的檢測，其中振動測試法是拉索索力測試中應用最廣泛的方法之一，該方法主要是用實際測試的固有頻率對拉索索力等相關參數進行識別，該方法具有測試方便、測量精度高等優點，適合于大規模的拉索索力測試。由于拉索的固有頻率不僅受到拉索索力影響，而且還受拉索彎曲剛度、傾角、垂跨比和邊界條件等因素的影響［1－5］。

鉸支拉索的索力公式將彎曲剛度、索力、索長、密度等參數用簡潔的解析式表示出來，便于實際工程中的推廣運用，而考慮彎曲剛度的固結拉索的特征方程為超越方程，為了獲取拉索的索力，需要采用非線性數值方法進行求解，整個求解過程十分繁瑣，不利于在實際工程中推廣應用。Hiroshi等［1］引入無量綱參數 ξ，對固結拉索的頻率方程進行近似處理，給出了索力的近似表示式;文獻［2］推導出了考慮吊桿兩端彈性支承、附加質量影響的吊桿張力與其橫向振動頻率的隱式表達式;張巍等［3］研究了索力較小、垂度較大情況下的索力計算方法，并提出了斜拉索的實用索力計算方法;林立等［4］直接根據實際工程經驗，對固支拉索的頻率方程進行了簡化處理，得到了簡化的頻率方程;文獻［5］也對頻率方程進行了簡化處理，近似結果與文獻［4］一致，并根據實際工程經驗，給出了近似方程的求解條件。但以上兩篇文獻均未對近似頻率方程進行嚴格的推導，也未給出近似頻率方程的近似解。文獻［6］在推導過程中，考慮了彎曲剛度、邊界條件等參數的影響，忽略拉索傾角、垂跨比和剪切效應等因素的影響，利用頻率方程中雙曲線函數和三角函數的數值特性，對固結拉索近似頻率方程的簡化處理過程進行了詳細推導。然后，利用Rayleigh定理和鉸支拉索的頻率公式對近似頻率方程的求解條件進行了討論。近似頻率方程避免了在固結拉索求解頻率過程中出現的“數據溢出”等數值病態問題，但是仍需要求解一個含有正切函數的超越方程，不便于在實際工程中的推廣運用。因此，本文在文獻［6］的各種假設基礎上，進一步推導固結拉索的頻率計算公式及其求解條件，為固結拉索頻率公式的簡潔化、實用化提供一條有效的途徑。

1 固結拉索頻率特征方程

式中：EI為拉索的彎曲剛度;T為拉索的索力;ρA為拉索的線密度，y(x，t)為拉索各點隨時間變化的位移函數。

利用變量分離技術對微分方程(1)進行求解，y(x，t)可分解為時間函數與空間函數間的乘積關系，即

設 α2=T/EI，k4= ω2ρA/EI，將式(2)代入到式(1)，得到方程：

式中：c1，c2，c3，c4為待定常數，由邊界條件確定;通解中的 λ1和 λ2分別為：

2 固結拉索頻率特征方程的近似方程

固結拉索的頻率方程式(8)為超越方程，主要由雙曲線函數 sh(λ2l)、ch(λ2l)和三角函數 sin(λ1l)、cos(λ1l)組成。利用雙曲線函數為非負的單調遞增函數和三角函數為周期函數，取值在［－1，1］間，將(8)式進行等價處理，得到：

引入控制參數β，其含義是：當x＞β時，方程(9)中的1.00/chx≈0.00和shx/chx≈1.00均近似成立。例如，當 β =10.00 時，1.00/chβ≈0.00，chβ =11 013.23，shβ/chβ≈1.00。

文獻［6］利用Rayleigh定理和鉸支索的頻率公式對方程(11)和(12)的成立條件進行了詳細討論，導出控制參數β的取值范圍為：

β可取求解條件的下確界。若αl=0.00，討論β的取值：

(1)當頻率階數i=1，該式的下確界可近似取常數π，即控制參數β的參考值為π，與雙曲線函數相關項的取值為：1.0/chπ≈0.086 3，shx/chπ≈1.000。若β=π使得式(10)對所有頻率方程均滿足精度要求，則式(9)表示的頻率方程可用式(10)進行近似求解。

(2)若拉索基頻不作為計算頻率，則頻率階數可從第2階開始，則控制參數β可近似取2π，與雙曲線函數相關項的取值為：1.0/ch2π≈0.003 7，sh2π/ch2π≈1.000，用式(10)求解拉索頻率，計算精度滿足工程要求。

(3)以上兩種情況均假設αl=0.00，實際拉索中的αl值是一個非負數。因此，式(9)中λ2l的取值始終大于π，即與雙曲線函數相關項的取值應有關系式：1.0/ch(λ2l)＜0.086 3，0.00 ＜sh(λ2l)/ch(λ2l)＜1.00，用式(10)進行頻率求解，其求解頻率的精度將會更高。

3 求解近似頻率方程

等式(12)仍是一個含正切函數的超越方程，注意到等式左端項為λ1l的周期函數，右端項為λ1的單調遞增函數，將等式左右端的函數關系式表示出來，如圖1所示。

從圖1中可以看出，隨著頻率階數i的逐步升高，等式兩側函數間交點位置逐漸趨近于與其鄰近的漸近線：(i+1/2)π(i=1，2，…)，且交點位置始終大于 iπ。因此，在一定的精度范圍內，可以近似地用漸近線來代替左右兩側方程(L－方程和R－方程)交點位置，即則將式(4)代入式(14)，得到

圖1 近似頻率方程左右兩端方程隨λ1變化情況Fig.1 Relationship of the left and right function of the approximate frequency function with λ1

式(15)與鉸支索的頻率公式非常相似，除頻率階數i用(i+1/2)代替外，其余部分均相同。

類似于近似頻率方程的控制參數β，式(14)成立條件，也可用一個參數δ來控制，注意到等式(12)的右端取值越大，則等式(14)求解精度越高。若等式(12)的右端項大于某個控制參數δ時，則近似解滿足要求，即

同理，利用鉸支索的頻率公式進行不等式的縮放處理，可得到控制參數δ的取值范圍，即為

從式(17)可以看出，在低頻段，αl影響控制參數δ的取值，隨著頻率階數i的升高，頻率階數i逐漸起主導作用，則控制參數δ的取值也就越容易滿足，即在高頻段的計算精度必高于低頻段。

4 數值算例研究

分別用頻率方程、近似頻率方程和近似頻率公式求解兩根固結拉索的頻率值來研究近似頻率公式的求解誤差。

第一根固結拉索在數值設計上盡可能地使控制參數β接近于π，設彎曲剛度EI：1.0e7 N·m2，索長l：4.0 m，索力 T：200.0 kN，線密度 ρA：25.0 kg·m－1，近似頻率公式與頻率方程、近似頻率方程之間的對比分析情況見表1所示。

從表1可以看出，頻率方程和近似頻率方程求解得到的頻率值非常接近于近似頻率公式得到的頻率值;在第1階頻率處，近似頻率公式與頻率方程之間的相對誤差絕對值達到最大，為 －0.43%，這是由于(αl)2取值較小，式(17)在低頻段就能滿足要求，而且隨著頻率階數的升高，相對誤差值也將進一步減小，表明近似頻率公式求解的頻率值越來越接近于頻率方程所得到的頻率值。

第二根固結拉索采用文獻［8］中提供的相關參數進行求解，拉索的彎曲剛度EI：2.67e5 N·m2，索長l：8.21 m，索力 T：574.31 kN，線密度 ρA：24.0 kg·m－1，近似頻率公式與頻率方程、近似頻率方程之間的對比分析情況見表2所示。

表1 近似頻率公式與頻率方程、近似頻率方程對比分析Tab.1 Comparing the approximate frequency formula with the frequency function，the approximate frequency function

表2 近似頻率公式與頻率方程、近似頻率方程對比分析Tab.2 Comparing the approximate frequency formula with the frequency function，the approximate frequency function

從表2可以看出，頻率方程與近似頻率方程間的頻率值幾乎一致，而頻率方程與近似頻率公式間的相對誤差在第1階頻率處達到30.1%，這是由于在低頻段，近似頻率公式的求解精度受(αl)2的影響較大，而其值達到18.75;然而隨著頻率階數i的逐步升高，頻率階數i在式(17)中起主導作用，進而兩者間的相對誤差將會逐步降低，在第4階頻率處，兩者間的相對誤差降為3.17%，已滿足工程精度的要求。

5 結論

［1］ Zui H，Shinke T，Namita Y.Practical formulas for estimation cable tension by vibration method［J］.ASCE Journal of Structural Engineering，1996，122(6)：651 －656.

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Approximate frequency calculation method for clamped cables

LIAO Jing－bo，TANG Guang－wu，MENG Li－bo，ZHENG Gang
(State Key Laboratory of Bridge Engineering Structural Dynamics，Chongqing Communications Research＆ Design Institute，Chongqing 400067，China)

In the complex process of identifying the cable tension of clamped cables，the data overflow may be caused by the exponential function terms in the frequency equation.In order to handle the numerical problem and simplify the identification of cable tension，the exponential functions were approximated according to the numerical properties of exponential and trigonometric functions.The approximate frequency equation was deduced and the frequency expression of clamped cables was constructed using the periodicity of the equation.Some numerical examples verify the rationality and realibility of the approximate frequency formula.

clamped cable;approximate frequency equation;approximate frequency formula

U446.1;O327

A

重慶市杰出青年科技基金項目(2008BA6039)

2012－07－26 修改稿收到日期：2012－09－19

廖敬波 男，碩士，助理研究員，1980年10月生