圓錐殼－圓柱殼－球殼組合結(jié)構(gòu)自由振動分析

吳仕昊，瞿葉高，華宏星

(上海交通大學(xué) 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240)

圓錐殼－圓柱殼－球殼組合結(jié)構(gòu)自由振動分析

吳仕昊，瞿葉高，華宏星

(上海交通大學(xué) 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240)

基于Reissner薄殼理論，采用區(qū)域分解法分析了不同邊界條件下圓錐殼－圓柱殼－球殼組合結(jié)構(gòu)的自由振動。首先在殼體連接處將組合殼體分為獨立的圓錐殼、圓柱殼和球殼，并將各個子殼體沿旋轉(zhuǎn)軸線分解為若干自由殼段;然后將所有殼段分區(qū)界面(包括邊界界面)的位移協(xié)調(diào)方程通過分區(qū)廣義變分和最小二乘加權(quán)殘值法引入到組合殼體的能量泛函中;最后將殼段位移場變量的周向分量和軸向分量分別以Fourier級數(shù)和Chebyshev多項式展開，通過變分后得到整個組合殼體的離散動力學(xué)方程。將區(qū)域分解法計算結(jié)果與有限元軟件ANSYS計算結(jié)果進行對比，驗證了區(qū)域分解法在分析圓錐殼－圓柱殼－球殼組合結(jié)構(gòu)自由振動的正確性和計算精度，并分析了組合殼體長徑比及厚徑比對自由振動頻率的影響。

區(qū)域分解法;分區(qū)廣義變分;最小二乘加權(quán)殘值;圓錐殼－圓柱殼－球殼組合結(jié)構(gòu);自由振動

圓錐殼－圓柱殼－球殼組合結(jié)構(gòu)廣泛地應(yīng)用于火箭、導(dǎo)彈、潛艇及魚雷等結(jié)構(gòu)，為了防止因外部激勵引起的疲勞破壞，這類組合結(jié)構(gòu)的振動特性研究受到了廣大研究者的關(guān)注。常用的殼體振動特性分析方法有微分方程法、傳遞矩陣法、Rayleigh－Ritz法和有限元法等。由于殼體方程數(shù)學(xué)上的復(fù)雜性和組合結(jié)構(gòu)子殼體之間協(xié)調(diào)條件匹配上的困難，現(xiàn)有的研究大多集中于圓錐－圓柱組合殼［1－2］、環(huán)板 － 圓柱組合殼［3－4］以及圓柱 － 球組合殼［5］的動力學(xué)特性分析上，而對于圓錐殼－圓柱殼－球殼組合結(jié)構(gòu)振動的分析則鮮有報道。Caresta等［1－2］以Donnell－Mushtari殼體理論和 Flügge殼體理論建立了圓錐殼和圓柱殼組合結(jié)構(gòu)的運動方程，將圓柱殼和圓錐殼的位移分別采用波動法和冪級數(shù)法展開，得到了不同邊界條件下的組合殼體的固有頻率計算結(jié)果。Irie［3－4］等以傳遞矩陣法為基礎(chǔ)，研究了變厚度錐殼和圓錐－圓柱組合殼的動力學(xué)問題，得到結(jié)構(gòu)殼體得自由振動特性。Lee［5］運用 Rayleigh－Ritz法分析了不同邊界條件下的圓柱－半球組合殼體的自由振動，其中在殼體連接處界面處，半球殼和圓柱殼分別被簡化為自由和簡支條件來處理。Pan等［6］通過有限元法來建立圓錐殼－圓柱殼－球殼模型，并以此模型為基礎(chǔ)對軸向集中力作用下的聲輻射主動控制方面進行了分析。

本文采用瞿葉高等［7］提出的一種半解析區(qū)域分解法分析了不同邊界條件下圓錐殼－圓柱殼－球殼組合結(jié)構(gòu)的自由振動。將組合殼體分解為若干殼段，采用分區(qū)廣義變分和最小二乘加權(quán)殘值法把所有殼段之間的界面(包括邊界界面)位移協(xié)調(diào)方程引入到組合殼體的能量泛函中，使殼段位移容許函數(shù)不受殼體位移邊界及殼段界面協(xié)調(diào)條件的限制，從而簡化了殼體容許函數(shù)的選取問題。采用Fourier級數(shù)和Chebyshev多項式將殼段位移場變量的周向分量和軸向分量展開，得到組合殼體的離散動力學(xué)方程。針對不同邊界條件的組合殼體，通過對比區(qū)域分解法與有限元軟件ANSYS的頻率計算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)這兩者非常吻合，從而驗證了區(qū)域分解法的正確性和計算精度，并通過分析組合殼體長徑比以及厚徑比對固有頻率的影響，為殼體設(shè)計提供指導(dǎo)性建議。

1 組合殼體區(qū)域分解模型

圓錐殼－圓柱殼－球殼組合結(jié)構(gòu)的幾何模型與坐標(biāo)系，如圖1 所示。uc，vc，wc、uL，vL，wL和 us，vs，ws分別為圓錐殼、圓柱殼和半球殼中面上任意一點的軸向(母線方向)、周向及法向位移。h為組合殼厚度，L為圓柱殼長度，R為圓錐殼右端面、圓柱殼以及半球殼的中面半徑，R1為圓錐殼左端面半徑，α0為錐角。圖1中殼體子結(jié)構(gòu)內(nèi)虛線為殼體分區(qū)界面。

圖1 組合殼幾何模型與坐標(biāo)系Fig.1 The geometry and coordinate of a joined conical－cylindrical－spherical shell

1.1 組合殼體結(jié)構(gòu)的區(qū)域分解

根據(jù)修正的Hamilton原理，構(gòu)造出圓錐殼－圓柱殼－球殼組合殼體的能量泛函Π為：

式中，Tj，i和分別為第 i個殼段的動能、薄膜應(yīng)變能和彎曲應(yīng)變能;Πj，b為廣義變分項引入的相鄰殼段i和i'之間的界面附加勢能;Nj為圓錐殼、圓柱殼和半球殼沿旋轉(zhuǎn)軸等距分的子域個數(shù);j=c，L，s分別對應(yīng)圓錐殼、圓柱殼和半球殼。

根據(jù)薄殼理論忽略殼體的旋轉(zhuǎn)慣性，則殼段i的動能 Tj，i為：

式中，ρj為殼體材料質(zhì)量密度;hj為殼體厚度;A和B為曲面拉梅參數(shù);α，β為殼體中面上任意一點的坐標(biāo)。

基于Reissner薄殼理論［8］，殼段i的薄膜應(yīng)變能和彎曲應(yīng)變能分別為：

式中，Kj和Dj為殼體薄膜剛度和彎曲剛度，Kj=Ejhj/(1－μ2)，Dj=/［12(1 －μ2)］;μj為殼體泊松比，Ej為彈性模量和為殼體中曲面薄膜應(yīng)變分量;χa，χβ和 χaβ為中曲面彎曲應(yīng)變。

將殼體分為Nj個子域，在殼體子域i和i'的分域界面上，將殼體界面位移和轉(zhuǎn)角約束條件完全放松，采用廣義變分法得到界面的附加能量泛函Πj，b為：

式中，λj、βj、ηj和 γj分別為相鄰殼體子域 i和 i'的Lagrange乘子變量;Θu、Θv、Θw和Θr為殼段公共界面上位移和轉(zhuǎn)角協(xié)調(diào)方程，記為：

Ra、Rβ為主曲率半徑，ξ為殼體系數(shù)，對于圓柱殼和圓錐殼 ξ取0，對于球殼 ξ取1;ζt(t=u，v，w，r)為殼體邊界和殼段內(nèi)部分區(qū)界面控制參數(shù)，對于內(nèi)部分區(qū)界面，ζt=1(t=u，v，w，r);對于邊界分區(qū)界面，不同邊界條件對應(yīng)的控制參數(shù)ζt取值可參照表1。

表1 不同邊界條件對應(yīng)的控制參數(shù)ζt(t=u，v，w，r)Tab.1 Values of ξifor different boundary conditions

將式(2)－(5)代入式(1)，根據(jù)廣義變分原理識別出殼體分區(qū)界面上的Lagrange乘子λ、β、η和γ分別為相鄰殼體子域i和i'界面上的薄膜力、等效周向剪力、等效法向剪力和彎矩的負值，即：

將式(6)代入式(1)后得到新的能量泛函Π—。為了保證區(qū)域分解計算的穩(wěn)定性，在Π—基礎(chǔ)上再添加一項分區(qū)界面位移約束方程的最小二乘加權(quán)殘差Πj，κ，即：

式中，κu、κv、κw和 κr為各殼體殼段子域 i和 i'分區(qū)界面上的權(quán)參數(shù)。

在單個殼體結(jié)構(gòu)區(qū)域分解模型基礎(chǔ)上直接構(gòu)造出整個組合結(jié)構(gòu)的能量泛函為

式中，ΠB和ΠB，κ分別為廣義變分和最小二乘加權(quán)殘值項引入的組合殼體子結(jié)構(gòu)間的界面附加勢能泛函。

雖然圓柱殼、圓錐殼和半球殼側(cè)界面力(或 Lagrange乘子)均可計算ΠB，考慮到圓柱殼界面力表達式比較簡單，采用圓柱殼側(cè)界面力來計算ΠB，即：

Ou、Ov、Ow和Or為圓柱殼和半球殼子結(jié)構(gòu)之間的位移協(xié)調(diào)方程，記為：

由最小二乘加權(quán)殘差值項引入的組合殼體子結(jié)構(gòu)之間的界面附加勢能為：

式中，κu，cL、κv，cL、κw，cL和 κr，cL為圓錐殼和圓柱殼子結(jié)構(gòu)界面上的權(quán)參數(shù);κu，Ls、κv，Ls、κw，Ls和 κr，Ls為圓柱殼和半球殼子結(jié)構(gòu)界面上的權(quán)參數(shù)。

1.2 組合殼體的離散動力學(xué)方程

根據(jù)圓錐殼段、圓柱殼段和球殼段周向位移的周期性和連續(xù)性，其周向位移分量可用Fourier級數(shù)進行展開，軸向(母線方向)位移則可用第一類正交Chebyshev多項式進行展開。對于圓錐殼，引入無量綱坐標(biāo)，即：

2 數(shù)值計算結(jié)果與討論

以不同邊界條件下的圓錐殼－圓柱殼－球殼組合殼結(jié)構(gòu)為研究對象，分析其自由振動。整個組合結(jié)構(gòu)模型中所有殼體具有相同的材料參數(shù)：彈性模量Ej=2.1 ×1011N/m2，密度 ρj=7 800 kg/m3，泊松比 μj=0.3;圓柱殼幾何尺寸為：L=5.08 m，R=0.9 m，圓錐殼端面半徑和錐角分別為R1=0.5 m和α=18°。所有殼體厚度相同，取h=0.006 m。

表2 不同分區(qū)數(shù)目對應(yīng)的圓錐殼－圓柱殼－半球殼組合結(jié)構(gòu)無量綱振動頻率Ωn，m(錐殼側(cè)邊界條件：自由)Tab.2 Non-dimensional Frequencies Ωn，mof the joined conical-cylindrical-spherical shell versus number of shell segments(Boundary condition of conical shell side：free)

2.1 不同邊界條件下組合殼體的自由振動

表3 不同分區(qū)數(shù)目對應(yīng)的圓錐殼－圓柱殼－半球殼組合結(jié)構(gòu)無量綱振動頻率Ωn，m(錐殼側(cè)邊界條件：固支)Tab.3 Non-dimensional Frequencies Ωn，mof the conical-cylindrical-spherical shell versus number of shell segments(Hz)(Boundary condition of conical shell side：clamped)

由表2和表3可見，取圓柱殼分區(qū)數(shù)目為8，圓錐殼和半球殼分區(qū)數(shù)目為2時，區(qū)域分解法和ANSYS計算出的兩種邊界條件下的組合殼體頻率結(jié)果已十分吻合，從而驗證了區(qū)域分解法的計算精度，同時也說明將組合殼體邊界視為一種特殊的分區(qū)界面并按殼段內(nèi)部分區(qū)界面統(tǒng)一來處理是正確的。周向波數(shù)n=0和n＞0對應(yīng)的組合殼體自由度數(shù)分別為288和576，遠遠低于ANSYS所需自由度。另外，通過區(qū)域分解法可以得到任意單個周向波數(shù)下的振動頻率和相應(yīng)的振型;當(dāng)關(guān)注不同邊界條件下的組合殼體時，不需重新計算殼體的質(zhì)量和剛度矩陣，只需通過界面控制參數(shù)改變邊界處的附加能量泛函即可得到不同邊界條件下組合殼體的振動解。圖2列出了自由邊界條件下的組合殼體在周向波數(shù)n=2，3下的前三階頻率對應(yīng)的振型圖。

2.2 不同周向波數(shù)下組合殼體的頻率變化

圖3為周向波數(shù)n=1～10下自由邊界的組合殼體在軸向波數(shù)m=1～4時的頻率變化。由圖3可見，隨著周向波數(shù)n增加，固有頻率呈先減后增的趨勢，這是因為當(dāng)周向波數(shù)較小時，殼體勢能主要以薄膜應(yīng)變能為主;當(dāng)周向波數(shù)較高時，殼體勢能轉(zhuǎn)為以彎曲應(yīng)變能為主。對于給定的周向波數(shù)，第一個軸向模態(tài)頻率最低。

圖2 自由邊界條件下組合殼體的無量綱振動頻率Ωn，m及振型圖Fig.2 Non－dimensional Frequencies Ωn，mand mode shapes of joined shell with free boundary

圖3 不同周向波數(shù)下的頻率變化Fig.3 Variation of frequency with circumferential wave number n

2.3 厚徑比和長徑比對自由邊界組合殼體的頻率影響

圖4為組合殼體厚度與半徑之比對軸向波數(shù)m=1時頻率的影響。

通過對 h/R=1/150、h/R=1/100、h/R=1/75 和h/R=1/60下周向波數(shù)n=1～4的第一階軸向模態(tài)頻率的對比發(fā)現(xiàn)，隨著厚徑比h/R比值的增大，頻率也隨之逐漸增大，這是因為隨著厚徑比的增大，殼體的剛度也隨之增大。

圖4 不同厚徑比下的頻率變化Fig.4 Variation of frequency with thickness－to－radius ratio h/R

圖5 不同長徑比下的頻率變化Fig.5 Variation of frequency with length－to－radius ratio L/R

圖5為周向波數(shù)n=1～4時，圓柱殼長度與半徑之比對組合殼體軸向波數(shù)m=1，2，3時頻率的影響。

通過對組合殼體在周向波數(shù)n=1～4下的前三階軸向模態(tài)頻率分析發(fā)現(xiàn)，隨著長徑比L/R增大，組合殼體頻率在每個周向波數(shù)下的頻率是隨之降低的，N=1對應(yīng)的頻率降幅較大，而n=2，3，4對應(yīng)的頻率則幅度降低很小，當(dāng)L/R增大時，頻率降低幅度越小。

3 結(jié)論

本文采用區(qū)域分解法分析了一般邊界條件下圓錐殼－圓柱殼－球殼組合結(jié)構(gòu)的自由振動。通過將計算結(jié)果與有限元軟件ANSYS計算結(jié)果進行對比，驗證了區(qū)域分解法的計算精度，并分析不同周向波數(shù)下頻率變化以及改變厚徑比、長徑比對組合殼體頻率的影響，得出以下結(jié)論：

(1)隨著殼體分區(qū)數(shù)目增大，區(qū)域分解法得到的殼體頻率很快收斂。該方法可以得到任意單個周向波數(shù)下的組合殼體固有頻率和振型，且所需自由度數(shù)少，計算效率高;利用該方法可快速地分析組合殼體幾何尺寸和材料特性等對結(jié)構(gòu)自由振動特性的影響;

(2)隨著周向波數(shù)的增加，組合殼體固有頻率先減后增，且在給定的周向波數(shù)下，第一個軸向模態(tài)頻率最低;隨著長徑比L/R增大，組合殼體固有頻率在周向波數(shù)n=1～4下是呈遞減的趨勢，且每階軸向模態(tài)的最小頻率和周向波數(shù)有關(guān)的;隨著厚徑比h/R的增大，頻率也隨之逐漸增大，即殼體增厚，剛度增加，所對應(yīng)的頻率也會增大。

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Free vibration analysis of joined conical-cylindrical-spherical shells

WU Shi－h(huán)ao1，QU Ye－gao，HUA Hong－xing
(The State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China)

Based upon the Reissner's thin shell theory，the free vibration of joined conical－cylindrical－spherical shell with different boundary conditions was analyzed with a domain decomposition method.The joined shell was divided into independent conical，cylindrical and spherical shell substructures along the junctions，and then these substructures were further decomposed into smaller shell segments along the axis of revolution.The constraint equations derived from interface continuity conditions between two adjacent shell segments(including boundary conditions)were introduced into the energy functional of the joined shell according to a modified generalized variational principle and least－squares weighted residual method.The Fourier series and Chebyshev orthogonal polynomial were employed as the admissible displacement functions for each shell segment in order to obtain the discretized equations of motion of the joined shell.The natural frequencies were calculated and compared with those derived from the finite element software ANSYS to confirm the reliability and accuracy of the analytical solution.Finally，the influences of length－to－radius ratio and thickness－to－radius ratio on the free vibrational behavior of joined shell structure were investigated.

domain decomposition method;modified generalized variational principle;least－squares weighted residual method;joined conical－cylindrical－spherical shell;free vibration

TB123

A

2011－11－14 修改稿收到日期：2012－04－11

吳仕昊 女，博士生，1986年生