圓錐曲線取值范圍問題的求解策略

呂紅霞

（江蘇省江陰市成化高級中學(xué)，江蘇江陰 214423）

引 言

圓錐曲線中的取值范圍問題，歷來是高考命題的熱點與重點，這類問題具有很強的綜合性，解決這類問題的關(guān)鍵是找到隱含的不等式。學(xué)生只有審讀題目，仔細分析，才能讓這種不等關(guān)系 “浮出水面”，因而這類問題往往令考生“聞題色變”[1]。那么這類取值范圍問題該如何建立不等關(guān)系呢？本文舉例說明。

一、利用根的判別式構(gòu)造不等式

從直線和圓錐曲線的位置關(guān)系出發(fā)，往往可以利用根的判別式構(gòu)建不等式，再解這個不等式就可求出參數(shù)的取值范圍。

思路1：可通過聯(lián)立方程，消去變量（如消去 y），得到關(guān)于 x的二次方程，因為直線與橢圓有公共點，所以Δ≥0在x∈R恒成立，從而將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，解出m即可。

思路2：從所給含參直線 y=kx+ 1入手可知直線過定點(0,1)，所以若過定點的直線均與橢圓有公共點，則該點位于橢圓的內(nèi)部或橢圓上，所以代入(0,1)后即因為是橢圓，所以m≠7，故m的取值范圍是 [(1,7)∪(7,+∞)]。

比較兩種思路，第一種思路比較傳統(tǒng)，通過根的個數(shù)來確定直線與橢圓位置關(guān)系，進而將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題求解；第二種思路是抓住點與橢圓位置關(guān)系的特點，即若點在封閉曲線內(nèi)，則過該點的直線必與橢圓相交，從而以定點為突破口巧妙解決問題。在思路2中，從含參直線能發(fā)現(xiàn)點在橢圓內(nèi)。當(dāng)然解答本題還要注意細節(jié)，橢圓方程中x2,y2的系數(shù)不同，所以 m≠7。

二、利用點與圓錐曲線的位置關(guān)系構(gòu)造不等式

點在曲線內(nèi)，或曲線外，或在曲線的上、下、左、右，都可以用不等式來描述，利用這個不等式有時也可得到參數(shù)的取值范圍，例1中的思路2就體現(xiàn)了這個方法。

思路：利用點差法求出弦的中點坐標(biāo)，而中點又在橢圓內(nèi)部。

三、利用幾何特征構(gòu)造不等式

圓錐曲線是數(shù)與形的結(jié)合體，從幾何角度看，它也具有幾何圖形的特征，利用這些特征也可以構(gòu)造不等式，如三角形的兩邊之和大于第三邊、直角三角形的斜邊大于直角邊、圓中的直徑是最長的弦等。

例3：已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，對于左支上任意一點P都有為實半軸長)，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是( )。

求雙曲線與橢圓的離心率的取值范圍，一般需構(gòu)造一個關(guān)于a,b,c的不等式，屬于較難的一類問題，往往要從幾何圖形中去找，或利用雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)。

四、利用函數(shù)的值域構(gòu)建不等關(guān)系

對于某些取值范圍問題，可以通過建立函數(shù)關(guān)系，把取值范圍問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題，即利用函數(shù)的值域構(gòu)建不等關(guān)系。

當(dāng)所求問題的取值范圍的量可以寫成關(guān)于某個函數(shù)關(guān)系時，一般可采用函數(shù)思想來解，但必須先明確這個函數(shù)的定義域，這樣才可通過定義域求出函數(shù)的值域，即得到原問題的取值范圍。

結(jié) 語

從以上四個例子分析可以看出，對于圓錐曲線的取值范圍問題，可利用根的判別式構(gòu)造不等式，利用點與圓錐曲線的位置關(guān)系構(gòu)造不等式，利用幾何特征構(gòu)造不等式，利用函數(shù)的值域構(gòu)建不等關(guān)系。構(gòu)造不等式應(yīng)具體問題具體分析，數(shù)形結(jié)合是根本[2]。