變分法在量子力學中的應用

鄧小輝，許成科，汪新文

（衡陽師范學院 物理與電子信息科學系，湖南 衡陽 421008）

0 引 言

1926年，奧地利物理學家薛定諤提出用一個波方程來描述微觀粒子體系的運動行為，即薛定諤方程［1］。求解此方程，就可得到體系的波函數，那么體系的一切性質都能被確定［2］。隨后的考慮了相對論效應的狄拉克方程的確立［3］，讓人們似乎看到“現在量子力學的普遍理論業已完成，作為大部分物理學與全部化學的物理定律業已完全知曉，而困難僅在于把這些定律確切應用將導致方程式太繁雜而難以求解?！薄Ｕ绲依怂f，隨著體系的增大，薛定諤（或者狄拉克）方程幾乎是不可解的。因此，各種近似方法應運而生。在量子力學中，求解薛定諤方程有兩種應用范圍極廣的近似方法：微繞法和變分法。對于束縛定態，它是基于能量本征值方程（即不含時間的薛定諤方程）與能量變分原理的等價性，通過求能量的極值得到能量本征值方程的解。在處理具體問題時，總是采用波函數某種特殊的變化去代替最普遍的任意變分，這樣就可得到依賴于波函數特殊形式的近似解［4］。這種方法稱為變分法。

變分法的優點在于運用它求解不受什么限制，只要選取好的變分函數，就能很好地得到體系的基態性質。因此利用變分法來求解量子體系具有方便、簡單和物理意義明確的優勢。本文將主要研究變分法在量子力學中的應用。為與求解量子體系的基態性質相關的科研和教學活動提供一個參考。

1 變分法概要

可以證明某個微觀體系的薛定諤方程

就是下列變分問題的歐拉微分方程［5］。這個變分問題就是能量積分

為極小，即

H為體系的哈密頓量，可寫為

其中波函數滿足歸一化條件

把（4）式代入（3）式，施行部分積分得到

由歐拉微分方程，經整理后即可得到薛定諤方程（1）式。至此我們就證明了微觀體系的薛定諤方程就是使其能量積分取得極值時的歐拉微分方程?？梢娫诹孔恿W中，不必從薛定諤方程出發來研究，而從（3）式或者（7）式出發來研究即可。這樣問題就變成求一函數ψ，它將使（3）或者（7）中的積分變為極小。這就是量子力學中的變分原理［5］。

2 一個例子：一維諧振子

無論在經典物理還是在量子物理中，一維諧振子都和很多物理現象相關。簡單來說，任何體系在穩定平衡點附近的運動都可以近似看成一維諧振子。如雙原子分子的振動，晶體結構中原子和離子的振動，核振動等等［6］。下面我們用上面的變分原理來討論一維諧振子。假設諧振子的質量為m，沿x軸作直線運動，那么受到的勢能為

體系的哈密頓量為

選擇試探波函數ψ＝Ce－λx2，由歸一化條件（5）得到。那么，

體系的能量積分為

對上式展開積分，應用積分公式

可算出

E為一極小的條件為

可解得

代入（12）式，得到體系最低能量值為

相應的波函數為

令

（16）式化為一種更簡單的形式

這種結果與嚴格求解得到的結果完全相同［7］，說明我們選取的變分函數很好。

幾種α下波函數圖如圖1。波函數滿足高斯型分布，在x＝0出有個明顯的峰。隨著α的降低，峰值逐漸降低，峰的寬度越來越大。波函數幾率密度分布和波函數的分布曲線形狀一樣，也是隨著α的降低，波函數幾率密度分布趨于更為發散。值得指出的是，用變分法解出的波函數幾率分布和經典理論下得到的幾率分布明顯不一樣。變分法得到的波函數在x＝0處的幾率最大，如圖1。

必須指出，變分雖然能簡單、方便地求解體系的基態性質，但它是一種近似方法，它的近似性來源于用參數的變化代替了普遍形式的任意變分。顯然，只要選取的波函數滿足歸一化條件和邊界條件，波函數中參數愈多，嘗試波函數的變化愈普遍，所得結果就愈好。如果嘗試波函數與精確解的差為Δ量級，則能量本征值與精確解的差為Δ2量級，因而即使用較為粗糙的嘗試波函數也可得到近似性很好的能量本征值。考慮到不同能量的本征函數彼此正交，也可以由低至高逐級求激發態能量的近似值，其近似性較基態為差。變分法的優點在于運用它求解不受什么限制，但是由于結果的好壞完全取決于嘗試波函數的選擇。因此選取物理意義明確的嘗試波函數至關重要。

圖1 幾個典型的α下的線性諧振子波函數和位置幾率密度分布圖

3 結 語

本文主要研究了變分法在量子力學中的應用。證明了微觀粒子的薛定諤方程就是其能量積分取極小值時的歐拉方程。求解薛定諤方程可以轉換為去確定體系的能量積分的最小值。為量子力學中求解基態問題提供了一種參考方法。最后以一維諧振子為例，用變分法求得了其基態能量和波函數，其結果和嚴格求解得到的基態能量和波函數符合得很好，說明變分法在量子力學中是一種有效的求解基態性質的方法。

［1］E.Schrodinger.Quantisierung als eigenwertproblem［J］.Ann.d.Phys.，1926，79：361.

［2］B.Hoffmann.The Strange story of the quantum［M］.Dover publications，Inc.1959：60－80.

［3］P.A.M.狄拉克.量子力學原理［M］.陳咸亨，譯.北京：科學出版社，1979：258－282.

［4］老大中.論完全泛函的變分問題［J］.北京理工大學學報，2006，26（8）：749－752.

［5］芶清泉，黃樹勛.原子結構的變分計算［M］.成都：成都科技大學出版社，1989：1－19.

［6］習崗.大學基礎物理學［M］.北京：高等教育出版社，2008：60－428.

［7］周世勛.量子力學教程［M］.北京：高等教育出版社，2001：38－44.