高階離散Green函數的一個逐點估計

魏繼東

（衡陽師范學院 數學與計算科學系，湖南 衡陽 421008）

0 引 言

離散Green函數在研究有限元最大模估計中起著非常重要的作用。文［1］給出了一階離散Green函數定義并得出了相關性質，文［2］給出了離散Green函數的一個逐點估計。文［3］給出了高階離散Green函數定義及性質，本文在［2］及［3］的基礎上獲得了高階離散Green函數的一個逐點估計。

1 高階離散Green函數定義及記號

考慮橢圓問題：

其變分形式為：

設Sh是有限元空間，引進高階導數?izG＊z及其Galerkin逼近?izGhz（i≥2）（參［3］），滿足：

設B是半徑為r的球，Bd是半徑為r＋d的同心球，熟知若u在Bd內調和，uh∈Sh則有：

由文［2］有如下命題

命題1.若uh∈Sh，Bd?D?Ω滿足a（u，v）＝0，則：

命題2.在命題1的假設下有：

2 兩個引理

引理1.設g＝?izGz，gh＝?izGhz，則對任意s≤k－1，有：

證明：先設g＝?izG＊z，注意到

由文［3］性質1及插值估計有

再利用文［4］極限過度方法將g＝?izG＊z換成g＝?izGhz結論依然成立。

引理2.設g＝?izGzgh＝?izGhz，存在常數C使得當k≥2時有

證明：設x為B的中心，，ω為B上的切斷函數，令u1＝ωg（x），uh1為u1的Galerkin逼近，uh2＝gh（x）－uh1，則

并且

為估計I2，將B做一點小修改使ω在B內有支集，設，則由命題1，命題2有：

由文［3］性質2有：

結合上面各式即得證引理，

3 主要定理

定理1.若存在常數C0使得，則有：

證明：設x∈e，z?e，記d0＝dist（z，e），則d0≥，應用逆不等式及引理2有

證畢。

［1］朱起定，林群.有限元超收斂理論［M］.長沙：湖南科技出版社，1989.

［2］Lin，Q.，Zhou J.M.Superconvergence in high－order Galerkin finite element methods［J］.Compute Methods in Applied Mechanics and Engineering，2007，196：3779－3784.

［3］魏繼東，朱起定.離散Green函數估計的若干推廣［J］.邵陽學院學報：自然科學版，2008，5（2）：13－14.

［4］謝銳鋒.凹角域上的Green函數逼近的逐點估計和有限元外推［J］.計算數學，1988（3）：232－241.