考慮絕熱邊界條件的地埋管換熱器傳熱模型研究

方燕燕

1南京理工大學能源與動力工程學院

2常州市規劃設計院

0 引言

地源熱泵系統地下埋管換熱器中應用最為普遍的是豎直U型地埋管換熱器，其傳熱過程是復雜的三維非穩態傳熱過程，故在工程應用進行傳熱分析時需進行適當的簡化計算。通常簡化方法是：以鉆孔壁為界，將鉆孔周圍的土壤區域劃分為鉆孔外的土壤部分和鉆孔內的地埋管兩個部分，并采用不同的方法進行分析[1]。對于鉆孔內的地埋管部分，一般近似用穩態的傳熱模型進行分析，對于鉆孔外部分土壤的傳熱，由于傳熱過程的復雜性，必須采用非穩態的傳熱模型。鉆孔外部的傳熱為導熱過程，通常看作是線熱源或柱熱源在半無限大介質或無限大介質中的熱傳導過程。常用的簡化傳熱模型有：無限長線熱源模型，無限長柱熱源模型、有限長線熱源模型及一些數值模型[2～5]。

從理論研究的角度看，柱熱源傳熱模型比線熱源模型更符合實際情況，具有一定的研究價值，但也存在一定的局限性，如下：

1）假設鉆孔壁處熱流密度恒定，實際系統運行時，熱流密度隨建筑物負荷的逐時變化而變化。

2）假設周圍土壤無限大，即遠邊界處的土壤溫度等于土壤初始溫度，即鉆孔內的熱量可以向無窮遠處傳遞，且遠邊界處的土壤溫度未受到波動，實際上由于豎直地埋管換熱器鉆孔間距一般為3～6m，系統長周期運行時，相鄰鉆孔的傳熱已經造成附近土壤溫度的變化。在系統運行時間較短或負荷較小的情況下，兩鉆孔中心處的土壤溫度未發生變化時，使用傳統傳熱模型進行計算是合理的。但是由于土壤源熱泵的壽命周期較長，該處的溫度受到波動，故土壤無限大的假設并不合理。

因此，在實際傳熱模型建立時，需考慮井間的相互熱影響及盤管負荷的變化特性對地下埋管換熱器傳熱過程的影響。故本文傳熱模型在兩鉆孔中心處建立絕熱邊界條件，鉆孔壁處建立熱流密度隨時間變化的邊界條件，對豎直地下埋管換熱器進行更準確的傳熱分析。

1 變熱流無限長柱熱源模型

有限長線熱源在計算單個鉆孔壁溫度時，不僅考慮本鉆孔外土壤的傳熱對鉆孔壁溫度的影響，尚需考慮周圍鉆孔傳熱對本傳熱的影響。這樣要進行疊加計算，計算過程十分繁瑣。故本文在無限長柱熱源的基礎上加了遠端半徑處的邊界條件。

假定單個鉆孔僅在以鉆孔中心為圓心，遠端半徑為半徑的圓形區域內進行傳熱。避免多個鉆孔間熱干擾的復雜計算。另外傳統傳熱模型大多針對恒定熱流或者恒定埋管進口溫度的情況來分析，沒有考慮負荷的逐時變化對地埋管換熱器傳熱過程的影響，在實際的工程應用中，地埋管鉆孔壁的邊界條件隨著建筑物負荷的變化而變化。

為了考慮長周期變負荷對地下埋管換熱系統的影響，在圖1所示傳熱模型的基礎上，基于下述簡化處理建立地源熱泵系統地下埋管換熱器的變熱流柱熱源模型。

圖1 本文傳熱模型示意圖

本文的傳熱模型假設：

①土壤原始溫度分布均勻，忽略深度方向的變化；

②土壤的熱物性為常數，不隨溫度發生變化；

③忽略地下水的流動，認為埋管與土壤之間的傳熱為純導熱過程；

④埋管與土壤接觸很好，忽略接觸熱阻；

⑤假設土壤各向同性；

⑥忽略軸向傳熱，只考慮一維傳熱。

本文模型的一維熱傳導微分方程為：

式中：Ts為土壤的初始溫度，℃；rb為鉆孔半徑，m；r∞為遠端半徑，m；a為土壤的導溫系數，m2/s；ρ為土壤的密度，kg/m3；c 為土壤的比熱，kJ/(kg·℃)；λs為土壤的導熱系數，W/(m·℃)；q(t)為單位埋管長度負荷，W/m。

夏季埋管放熱量為：

冬季埋管吸熱量為：

式中：Qc(t)、Qh(t)為建筑物的逐時冷、熱負荷，W；L 為埋管長度，m；COPc(t)、COPh(t)為熱泵機組的制冷、制熱性能系數，在考慮逐時負荷變化時，該值隨著埋管出水溫度的變化而變化。

1.1 初始條件確定

本文模型的初始條件就是土壤在t=0時刻的初始溫度，地源熱泵系統地埋管一般在60～120m，屬于溫度常年不變的土層。本文是一維傳熱模型，忽略了土壤溫度在深度方向上的變化，故取初始溫度恒定為Ts。

1.2 邊界條件

把整個傳熱區域看成是無限長的圓筒壁，有兩個邊界條件，r=rb，r=r∞。對這兩個邊界條件分別進行討論有：

1）r=rb邊界

因為盤管的熱容量較小，所以近似認為埋管傳向土壤的熱量等于管內流體傳向埋管的熱量，所以單位管長鉆孔壁處的熱流密度為：

式中：q1(t)為單位埋管長度的熱流量，W/m2。

2）r=r∞邊界

熱泵機組運行時，埋管會向周圍土壤放熱或者吸熱，周圍土壤溫度不斷升高或降低，熱量或冷量會向遠處傳遞。由于鉆孔間距在工程應用中有相應的范圍，故遠端的土壤溫度場由于受到周圍鉆孔的影響發生了變化，現定義鉆孔間距的一半處到鉆孔中心的水平距離為遠端半徑，在遠端半徑處建立絕熱邊界條件，即熱量或冷量只能在以鉆孔中心為中心，鉆孔間距為直徑的圓形土壤區域內傳遞。

2 變熱流無限長柱熱源傳熱模型的格林函數法求解

2.1 格林函數法

格林函數法是求解數學物理偏微分方程的常用方法之一，這種方法可以求解含熱源的，且具有非齊次邊界條件與某一初始條件的非穩態熱傳導方程[6]。該方法廣泛應用于各類非齊次的問題，處理問題的方式大都相同，而且，對于一維、二維或三維問題的解在形式上都可表示的非常緊湊[7，8]。應用格林函數法求解的時候困難之一就是格林函數的構造，格林函數的選取與坐標系的形式、邊界條件及問題的定義域有關[9]。

一維非齊次熱傳導問題：

由文獻[6]可得以上一維非齊次熱傳導問題的解為：

式中：x′p為斯特姆-劉維爾權函數，p 分別為 0（平板）、1（圓柱體）、2（球）。

上式各項的物理意義如下：第一項為初始溫度分布F(x)的影響；第二項為分布熱源g(x,t)的影響；第三項為邊界條件的非齊次性fi(x,t)的影響。

2.2 變熱流無限長柱熱源傳熱模型的格林函數法求解

為求得本文傳熱模型的格林函數，先討論這一問題的齊次形式。

2.2.1 分離變量法求解齊次部分

分離變量法現已廣泛應用于求解各種熱傳導問題，對齊次問題處理起來尤其方便。對多維的、不含熱源的穩態熱傳導問題，如果有一個邊界條件是非齊次的也可以用分離變量法，對于多個非齊次邊界條件的問題，可以分成幾個簡單的問題，每個簡單問題只包含一個非齊次邊界條件[6]。

對于本文的熱傳導問題，齊次部分的解為：

式中：R0(βm，r)為特征函數；N(βm)為范數；βm為特征值。

由文獻[6]可得本文傳熱模型的特征函數、范數和特征值，如下：

βm是下面特征方程的解：

2.2.2 格林函數法求解非齊次部分

將式（18）變換可得本文模型齊次部分的解為：

另外齊次部分的解還可以根據式(13)用格林函數表示為：

將式（22）和式（23）相比較可得到：

在式（24）中，用(t-τ)代替 t可得所需的格林函數為：

本文取土壤溫度恒定為Ts，故不考慮初始溫度分布的影響，只考慮第二類邊界條件的影響。由此可以得到鉆孔周圍一維土壤溫度分布為：

式中：J0為第一類零階貝塞爾函數；Y0為第二類零階貝塞爾函數；J0′為第一類貝塞爾函數的導數，J0′(βm，rb)；為第二類貝塞爾函數的導數，定義如上。

以上即為考慮絕熱邊界條件的變熱流無限長柱熱源傳熱模型的解析解表達式。表達式第一項為初始溫度的影響，第二項為隨時間變化的熱流密度對土壤溫度的影響。

考慮絕熱邊界變熱流無限長傳熱模型的優勢：

①該解析解考慮了建筑負荷變化對地埋管換熱器的影響，使傳熱模型更加精確；

②在本文傳熱模型下，由于增加了絕熱邊界條件，可忽略相鄰鉆孔之間的熱干擾，避免了多個鉆孔間由于熱干擾問題而進行復雜的疊加運算，為長周期運行的地埋管換熱器的設計計算提供了理論基礎。

3 總結

經濟性是地埋管熱泵技術能否可以廣泛應用的關鍵，該技術換熱效率高，運行費用低，但是鉆孔費用過高，發展受到制約，故需要一種精確可靠的設計方法來降低其鉆孔費用。因此，完善地埋管換熱器的傳熱模型，使其可以更精確地描述地埋管換熱器的傳熱過程，由此衍生出更豐富的設計方法，以確定地埋管換熱器的最佳尺寸是發展和推廣地源熱泵技術的關鍵。本文在豎直埋管換熱器傳熱模型的基礎上提出了一種考慮絕熱邊界的變熱流無限長柱熱源傳熱模型，并用格林函數法求解本文非齊次非穩態的傳熱問題的傳熱模型，得到地下埋管換熱器溫度場分布的解析解表達式，為地埋管換熱器的設計計算提供了一種更精確的傳熱模型。本文傳熱模型雖然精確，但計算起來比較復雜，需要進一步簡化。

[1]劉文學.地源熱泵地埋管的傳熱性能實驗研究[D].北京:北京工業大學,2007

[2]馬最良.地源熱泵工程技術指南[M].北京:中國建筑工業出版社,2001

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[4]J A Shonder,J V Beck.Determining effective soil formation thermal properties from field data using parameter estimation techniq-ue[J].ASHRAE Transactions,1999,105(1):458-466

[5]余延順,馬最良.土壤耦合熱泵系統地下埋管換熱器傳熱模型的研究[J].暖通空調,2005,35(1):26-31

[6]俞昌銘.熱傳導[M].北京:高等教育出版社,1983

[7]楊世銘.傳熱學(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2007