基于瞬態場路耦合模型的變壓器直流偏磁計算

潘 超 王澤忠 李海龍 劉連光 張 科 郭若穎

（1.華北電力大學電氣與電子工程學院 北京 102206 2.東北電力大學電氣工程學院 吉林 132012 3.新鄉供電公司 新鄉 453002 4.太原供電公司 太原 030009）

1 引言

HVDC、GIC中變壓器的直流偏磁計算與分析是備受重視的前沿課題。變壓器電磁場計算通常采用有限元法直接在時域求解場域方程，計算量大、效率低[1]。瞬態場路耦合模型將變壓器瞬態電磁場計算分解為場和路的耦合計算，用場模型計算動態電感，以路模型求解瞬態過程，從而降低求解難度，提高計算效率。文獻[2]采用T法建立變壓器場路耦合三維模型，分析其突發短路，但T法求解多連通問題困難，文中只針對單連通模型進行分析，未考慮變壓器的整體磁路。由于T-φ法處理多連通問題難度較大，目前大都采用A-V法計算變壓器磁場[3]。文獻[4]研究表明，節點有限元方法計算包含高磁導率材料的三維磁場模型時誤差較大，而棱邊有限元方法能夠良好處理高磁導率材料的邊界問題，誤差較小。

另一方面，變壓器瞬態場路計算考慮模型的端口特性、材料屬性和電磁特性，采用場路耦合的形式處理內部電磁過程與外端電路約束[5]。二維變壓器場路模型具有較高的精度和效率，但是僅可作為局部場域的近似處理，只能用于特定運行方式或模型特性的分析[6,7]。S. L. Ho等人采用狀態空間法求解變壓器三維非線性瞬態場，有效縮減了運算時間，但精度不高[8]；隨后提出基于能量平衡原理的瞬態渦流場計算方法，并驗證該方法具有較高的準確性[9]。

研究變壓器直流偏磁時動態參數與非線性勵磁的對應關系和變化規律具有顯著的實際意義，但目前罕有相關文獻進行深入研究。本文基于棱邊有限元方法建立變壓器三維磁場模型，利用能量擾動原理計算動態電感，結合四階龍格庫塔法計算瞬態電流，通過瞬態場路耦合方法分析直流偏磁時耦合參數的變化和對應關系。討論不同直流注入方式下變壓器的直流偏磁效果，在空載和負載運行時分析直流擾動對變壓器勵磁電流、動態電感與漏電感、主磁通與漏磁通的影響，歸納其變化規律。

2 場路模型

單相三柱式雙繞組變壓器直流偏磁的場路模型如圖 1所示。Φa,b、Φ0分別為鐵心主磁通和繞組漏磁通，L、M表示自感與互感，UDC為直流電壓源。

圖1 變壓器場路模型Fig.1 Magnetic and electric circuit model of transformer

2.1 磁場模型

棱邊有限元法采用矢量磁位A，根據 Maxwell得到非線性磁場方程：

式中，μ為導磁材料的磁導率；J為電流密度，需要通過電路等效參數計算獲得。

棱邊單元插值函數為

式中，{Mn,n=1, 2, …,nn}為基函數序列，由相關單元形狀函數Nl對應疊加形成，n為基函數序列通項編號，nn為總項數（總棱邊數）。

應用格林定理，得伽遼金加權余量方程：

式中，Mm為基函數序列，且權函數與基函數相同。若已知電流i，將權函數代入方程（2），針對全部權函數，將加權余量方程離散形成代數方程組，求解可得所有節點或棱邊上的A，進而計算其他場量，如B和H等。

2.2 電路模型

繞組電動勢E=dψ/dt，變壓器磁鏈方程

式中，ψ為磁鏈矢量；i為繞組電流矢量；LS為靜態電感矩陣，表示磁鏈與電流的關系。

推導變壓器電路系統的瞬態微分方程：

式中，u為電壓向量；LD為動態電感矩陣，表示載流線圈與鐵心的電路行為，需根據磁場模型計算。

3 直流偏磁瞬態場路耦合模型

利用瞬態場路耦合模型分析變壓器直流偏磁問題時，動態電感和瞬態電流為關鍵耦合參數[4]。

變壓器載流線圈組成磁場系統，其磁場能量在數值上等于該系統建立過程中外部電源提供并轉化的能量。根據能量擾動的思想，當線圈電流增加δi(δ=0～1)時，產生磁鏈δψ，端口電壓需施加增量δu=d(δψ)/dt，以抵消線圈中的感應電動勢。外部電源提供的能量增量為 dW=δuδidt=δiψdδ，于是得到

若線圈電流增量為Δip，將動態電感與磁場能量和激勵電流關聯：

線圈體電流分布磁場系統的磁場能量為[9]

由電流增量ΔIi引起的場量變化為ΔH、ΔB，計算該系統的能量增量：

方程（6）、（8）能量相等，則可計算動態電感LD。

由式（4）推導存在直流源時變壓器電路微分方程的矩陣形式

采用四階龍格庫塔方法由tk時刻的線圈電流ik計算tk+1時刻的ik+1。

式中，h為步長，s1～s4為步長內的分段計算斜率。

利用動態參數LD與瞬態激勵i，可以計算變壓器瞬時漏磁場。引入變壓器電壓比k，將兩側電壓、電流及動態參數歸算至激勵側，對式（9）進行等值變換，變壓器直流偏磁的T形等效電路微分方程為

4 直流偏磁計算與分析

選取單相三柱式變壓器，額定電壓450/220V，頻率為50Hz，繞組匝數100/48。為便于計算，建立八分之一磁場簡化模型并求解，編寫龍格庫塔法程序計算電路模型，分析變壓器直流偏磁。

4.1 直流注入方式的討論

變壓器直流注入的方式有三種[10]：①直流源在一次側，相當于三相組式變壓器從中性點引入直流對單臺變壓器的影響；②直流源在二次側，用于單相變壓器空載時遭受直流偏磁的分析和實驗；③一次、二次側均含有直流電流，相當于實際500kV、220kV等電壓等級的三相變壓器兩中性點分別接地。文獻[11]計算不同直流注入方式下變壓器的勵磁電流時，結果中包含了直流分量，因此差別較大。

利用瞬態場路耦合模型，對注入方式1、2下變壓器的直流偏磁進行仿真。空載運行時方式1中一次側串聯直流電壓源UDC1；方式2的一次側激勵不變，二次側接直流電流源IDC2，等效至一次側的直流量與方式1相等，IDC=50%I0、100%I0時的計算結果如圖2所示。

圖2 不同直流注入方式的一次、二次電流Fig.2 Currents of different DC injecting ways

圖中i1、i2為去掉直流分量的一次、二次電流。由于直流引入方式和初值的不同，計算兩種注入方式時的過渡過程也不相同，因此對比計算穩定后的結果。空載運行時i1為勵磁電流ie，由于u→dψ/dt→dΦ/dt→B~H→ie的電磁耦合關系，ie為對稱波。當直流電流相同時，兩種注入方式下ie相同，并且隨著IDC的升高而增大，ie波形畸變情況一致。負載運行時ie=(n1i1-n2i2)/n1，n1、n2為匝數。ie的波形對稱，i2波形接近正弦，i1為n1ie與n2i2的疊加，由于ie和i2的相位差，i1為非對稱波。對比圖2a和圖2b，不同注入方式下i1、i2、ie的波動規律相同。

表1給出空載運行直流偏磁時最大勵磁產生的鐵心磁通，其中Φa,b同圖 1，表示鐵磁回路磁通，Ba,b為平均磁感應強度。不同直流注入方式下，IDC在不同側繞組流動使鐵心磁通存在較小的差別；隨著直流電流增大，鐵心飽和程度加深，勵磁電流波形畸變，IDC相對于勵磁電流的影響逐漸變小；IDC=100%I0時兩種方式的鐵心磁通相等。

表1 空載運行直流偏磁最大勵磁時的鐵心磁通Tab.1 Largest flux of core in DC bias with no load

負載運行直流偏磁最大勵磁時的鐵心磁通結果見表 2。變壓器設計磁通Φ1=0.047 2Wb，平均磁通密度Bavg=1.50T，計算值與設計值基本相同；不難看出，兩種注入方式下鐵心磁通的差別很小。

分析不同注入方式下的交流漏磁通Φ01、Φ02，不考慮直流電流產生的漏磁通時兩者的差別很小，如圖3所示。

表2 負載運行直流偏磁最大勵磁時的鐵心磁通Tab.2 Largest flux of core in DC bias with load

通過對不同直流注入方式的計算比較，得出結論：兩種注入方式的直流電流對變壓器勵磁產生的影響一致，不同注入方式均能有效模擬變壓器直流偏磁時的勵磁飽和情況。另外，可以應用方式1與方式2的分析方法對方式3進行討論。本文采用方式1研究變壓器空載和負載運行的直流偏磁。

4.2 空載運行直流偏磁計算

計算變壓器空載運行時的直流偏磁情況。空載運行直流偏磁時的一次交流i1(ie)如圖 4a所示。隨著IDC增大，ie波形畸變加劇。無直流時，動態電感L1在勵磁的正負半周為對稱波形，其變化規律與ie對應，ie增大時勵磁飽和程度加深，電感減小，ie減小時勵磁趨于不飽和，電感增大。當存在直流時，L1受直流偏磁水平影響，正負半周不對稱，如圖4b所示。研究表明，隨著直流電流增大，變壓器勵磁飽和程度加深，ie波形畸變，L1受勵磁影響在勵磁的正負半周不對稱程度加劇。

圖4 空載運行直流偏磁的耦合參數Fig.4 Coupling parameters in DC bias with no load

4.3 負載運行直流偏磁計算

變壓器負載運行直流偏磁的計算結果如圖5所示。

圖5 負載運行直流偏磁耦合參數Fig.5 Coupling parameters of DC bias with load

與空載運行勵磁情況相同，負載運行時鐵心飽和程度受直流影響。IDC增大，i1、ie波形畸變加劇，i2同時受到影響。由圖5可以確定動態電感變化與勵磁非線性的對應關系，自感的波峰、波谷分別表示鐵心勵磁處于非飽和區與飽和區，互感則相反。ie接近零值時，鐵心勵磁處于非飽和區，LD數值趨于最大；當ie達到各半周內極值時，勵磁飽和程度最深，LD數值最小。對比兩種運行方式的直流偏磁結果，瞬態勵磁和動態參數變化規律基本相同。

分析負載運行直流偏磁時直流電流對二次側交流的影響。IDC較小時，對i2的影響并不顯著，隨著IDC增大，勵磁最大時的i2發生明顯變化。分析其原因，可能由漏磁變化所導致，計算漏磁如圖7所示。

圖6 負載運行直流偏磁時的漏電感與漏磁通Fig.6 Leakage inductance and flux in DC bias with load

IDC=0時，一次、二次動態漏電感波動平穩，如圖6a所示，總漏電感LΣ0近似為常數，這與羅柯夫斯基函數的結果基本相同[12]。IDC升高時，鐵心勵磁飽和程度加深，在最大勵磁區域內漏電感波形畸變，一次繞組漏磁通增大，IDC=100%I0時一次側漏磁通約為正常運行時的4倍，此時二次繞組交鏈的主磁通減少，感應電流i2變小，如圖 6b所示。該降壓變壓器的一次繞組設計在二次繞組的外側，直流偏磁時一次漏磁增加可能導致變壓器油箱等構件的渦流損耗增大，溫度升高。

5 實驗驗證

實驗變壓器型號為 BK300，參數見表 3。令IDC=KI0，K為比例系數。當0≤K≤2時，變壓器空載直流偏磁時的計算結果與實驗結果如圖7所示。

表3 實驗變壓器參數Tab.3 Parameters of an actual transformer

空載運行直流偏磁時勵磁電流波形的計算結果與實驗測量基本相同；兩者存在較小的差別，可能由磁滯導致，在直流偏磁情況下，兩者誤差更小，驗證了瞬態場路耦合方法的有效性和正確性。

磁暴引起的GIC監測研究表明，國際上高緯度地區監測到的GIC可達100A以上，有的自耦變可達到200A；國內已監測到的GIC達到75A 。HVDC測量表明，如果在不同接地點存在直流或電位差，換流變壓器中的IDC最大可達 40～50A，自耦變可達 25A[15,16]。關于變壓器直流限值問題，國內外并無定論。目前國內500MVA及以上變壓器的空載電流I0約1～3A，部分自耦變的I0約7～10A。變壓器的額定電流為IN，導則規定直流偏磁時的IDC應小于0.7%IN，加拿大魁北克電力公司提出每相IDC≤200%I0時，直流偏磁的影響可以接受[17,18]。中南電力設計院專家提出交流電力變壓器應能承受IDC≥10A時的直流擾動，ABB公司確定三峽直流輸電工程換流變壓器的允許直流IDC≤10A[19,20]。

圖7 空載實驗與計算結果Fig.7 Results of test and computation with no load

為充分考慮直流偏磁對變壓器造成的影響，對0≤IDC≤10I0時的偏磁情況進行計算，考察i1不含直流電流時，其峰值imax與K的關系。

如圖8，隨著比例系數K的增大，變壓器勵磁飽和程度加深，ie畸變嚴重，L1受勵磁影響在正負半周不對稱。當K≥4時，鐵心嚴重飽和，imax與K近似呈線性關系。

圖8 不同K對應的imax值Fig.8 Different K and corresponding imax

6 結論

通過研究單相變壓器直流偏磁，得出結論：

（1）利用瞬態場路耦合方法計算瞬態電流和動態電感，可以反映出變壓器磁場與電路等效參數在直流擾動下的變化規律。空載直流偏磁的電流計算結果與實驗基本相同，驗證了該方法的正確性。

（2）直流電流在一次側或二次側注入都能有效模擬變壓器在直流偏磁時的飽和勵磁情況，兩種注入方式下的交流電流計算結果基本相同。

（3）空載運行直流偏磁時勵磁電流的波形畸變，動態電感在勵磁的正負半周波形不對稱。負載運行時一次、二次電流受直流和勵磁的影響，波形不對稱，耦合參數的變化規律與空載情況相同。

（4）負載運行直流偏磁時動態漏電感波形畸變，一次繞組漏磁通增大，二次繞組鉸鏈的主磁通減少，感應電流變小。由于外側一次繞組的漏磁通增大，可能造成變壓器油箱等渦流損耗增大。

（5）當直流電流超過一定數值時，變壓器發生偏磁時的勵磁電流峰值與直流電流近似成線性關系，這一結論對于處理實際變壓器的直流偏磁問題具有指導意義。

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