功的計算到底是用物體位移還是作用點位移

黃正玉

(深圳市第二實驗學(xué)校 廣東 深圳 518021)

功是物理學(xué)中最基本的概念之一, 也是力學(xué)教學(xué)的重要課題, 但學(xué)生對機(jī)械運動范圍內(nèi)，功的定義和功的計算常有疑問.計算功的位移到底是指力的作用點的位移還是物體的位移呢？近讀文獻(xiàn)[1]一文，收益頗多.此文作者認(rèn)為兩者都可以,但筆者有不同看法，現(xiàn)試圖就此問題進(jìn)行探討.

1 問題展示

【例1】質(zhì)量為m的物體放在光滑的水平面上，繩經(jīng)滑輪與水平方向成θ角，用大小為F的力拉物體，如圖1所示.將物體由A點拉到B點，前進(jìn)s.求拉力F對物體所做的功為多少.

圖1

解析：已知力F是作用在繩上的，而位移s是物體的位移，不是力F的作用點的位移.根據(jù)恒力功的公式W=Fscosθ中位移s應(yīng)該是力的作用點的位移，所以,需要先求力的作用點的位移.

根據(jù)力的作用點定義功

W=Fs′cosβ

由圖2幾何關(guān)系得出AB=BC=s，則

θ=2βs′=2scosβ

所以

W=Fs′cosβ=F×2scos2β

又

θ=2β

得

W=Fs(1+cosθ)

圖2

【例2】 如圖3(a)所示，一個長為L，質(zhì)量為M的長方形木塊，靜止在光滑水平面上，一個質(zhì)量為m的物塊(可視為質(zhì)點)，以水平初速度v0從木塊的左端滑向右端，設(shè)物塊與木塊間的動摩擦因數(shù)為μ，當(dāng)物塊與木塊達(dá)到相對靜止時，物塊仍在長木塊上，求木塊的最小長度和系統(tǒng)機(jī)械能轉(zhuǎn)化成內(nèi)能的量Q.

圖3

解析：可先根據(jù)動量守恒定律求出物塊m和木塊M的共同速度，再根據(jù)動能定理或能量守恒求出轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的量Q.

如圖3(b)所示，對物塊，滑動摩擦力Ff做負(fù)功，由動能定理得

對木塊，滑動摩擦力Ff做正功，由動能定理得

又以物塊、木塊為系統(tǒng)，系統(tǒng)在水平方向不受外力，根據(jù)動量守恒定律，則

mv0=(m+M)vt

而系統(tǒng)減少的機(jī)械能為

Ff(d+s)-Ffs=Ffd

解得

系統(tǒng)機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的量為

2 問題分析

以上兩個例題的解答都是正確的.但計算功的時候位移卻有兩種不同的理解.例1中，功等于力與力的作用點的位移的乘積.例2摩擦力做功是用摩擦力乘以物體的位移.

相反，如果例1中用物體的位移，則會得出W=Fscosθ的錯誤結(jié)論.同樣,例2中的位移如果理解為作用點的位移，那么,兩個摩擦力的作用點的位移是相同的，所以,兩個摩擦力做功將互為相反數(shù)，將得出兩摩擦力總功和為零，系統(tǒng)動能不變，當(dāng)然也就得出發(fā)熱量為零的錯誤結(jié)論.

功的定義W=Fscosθ中的位移s到底是物體位移還是作用點位移呢？

3 理論探微

動能定理是從牛頓第二定律推導(dǎo)得出，因而不管是位移s還是速度v，都必須是慣性參考系中的位移和速度.通常取地面為參考系，也就是相對地面的位移和速度.

對例1的求解有以下兩種方法.

方法1：力F的受力物體是繩子端點，力F做的功既可以理解為F對細(xì)線端點做的功,也可理解為F通過繩子滑輪裝置對物體做的功.但如果理解為力對繩子做的功，那么,實際上力的作用點的位移就是繩子端點的位移，本質(zhì)上也就是受力物體的位移,同樣s也是受力物體受力點的位移.

圖4

方法2：根據(jù)能量守恒，例1中力F做的功最終等于物體動能的增量，因而也就等于物體合外力做的功.而物體相當(dāng)于受夾角為θ，大小均為F的兩個恒力作用(圖4)，發(fā)生的位移為s，故做功

W=(F+Fcosθ)s=F(1+cosθ)s

公式中的位移仍然還是指物體的位移，當(dāng)然s也是受力物體受力點的位移.

對例2，如果應(yīng)用質(zhì)點動能定理，也就是對單個物體應(yīng)用動能定理，計算摩擦力對物塊做功要用物塊對地的位移，計算摩擦力對木塊做功要用物塊對地的位移.不能用摩擦力作用點的位移.不難看出,一對滑動摩擦力的作用點的位移大小是相等的，如果用作用點位移計算功，將得出一對滑動摩擦力做功大小相等的錯誤結(jié)論.

當(dāng)然，若應(yīng)用質(zhì)點系的動能定理，或者說對系統(tǒng)應(yīng)用動能定理，那么，系統(tǒng)的動能改變量將等于外力做功和內(nèi)部非保守力做功的代數(shù)和.求得

等式左邊-μmgd指摩擦力對系統(tǒng)做的總功，其絕對值等于系統(tǒng)發(fā)熱量Q，或者說系統(tǒng)內(nèi)能的增量.其中的d，實際上是兩物體對地的位移之差，或者說兩物體的相對位移，同樣，也不能理解為力的作用點的位移.本題中兩受力物體力的作用點相對地面的位移大小相等，但兩受力物體受力點的位移是不等的.利用受力物體受力點的位移計算功，所得結(jié)論和動能定理結(jié)論一致.再次說明，計算功的公式中的位移s應(yīng)該是受力物體受力點的位移.

4 結(jié)論

至此, 可以得到如下結(jié)論,在機(jī)械運動范圍內(nèi)，功的定義式W=Fscosθ中的位移s應(yīng)理解為受力物體上受力點的位移，不是力的作用點的位移,否則與動能定理相矛盾[2].

參考文獻(xiàn)

1 陳雅.再議功的定義.人民教育出版社網(wǎng)刊

2 張兆益.功的定義式中的s是力的作用點的位移嗎.曲阜師范大學(xué)學(xué)報,1983(03)