探究一類電磁學疑難問題

鄭金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

有關帶電小球在勻強磁場中擺動或沿圓弧軌道運動的軌跡是圓弧還是旋輪線的問題，顯得非常復雜，需要應用有關的數學知識進行解答.現舉例分析.

【例1】如圖1所示，擺球質量為m，帶正電，電荷量為q，擺長為l，在勻強磁場中的最大擺角為α，為使此擺的周期不受磁場的影響(能正常擺動)，磁感應強度B的值有何限制？

圖1

分析:為使擺的周期不受磁場的影響,即能正常擺動，需擺線始終拉直而不松弛，即擺線的拉力T≥0．因此,只需考慮擺球所受洛倫茲力f=qBv并且指向懸點的情形，即擺球由左端A沿圓弧向平衡位置O運動的過程，設某時刻擺角為θ，擺球速度為v，則沿擺線方向由牛頓第二定律有

(1)

對小球從點A到C的過程，由機械能守恒定律有

(2)

聯立式(1)、(2)得

(3)

可見，拉力T是關于速度v的一元二次函數，其圖像為開口向上的拋物線，若使函數值T≥0，即圖像與橫軸無交點，則應該使判別式Δ≤0，由此可得

或者由T≥0得

(4)

(5)

(6)

代入式(4)得

(7)

所以，當41°≤α<90°時，擺球沿圓弧運動滿足的條件是

那么,當0°<α≤41°時，擺球沿圓弧運動滿足的條件是什么呢？

(8)

下面由式(5)和式(8)求y的極值．

圖2

(9)

把式(9)代入式(4)得

(10)

即條件為

由此可見，當α很小時，磁感應強度可以很大，單擺仍能正常擺動而不致脫離圓弧軌道，這是因為當α角很小時，擺球運動速度將很小，故洛倫茲力很小，同時，重力沿擺線方向的分力很大，則容易滿足擺線的拉力不為零．因此,在擺角α較小的條件下，可直接對擺球從端點向最低點運動的過程列方程

兩式聯立消去v得

利用T≥0可得

在求磁感應強度極值時，也可聯立式(1)、(2)消去v得

利用T≥0，可得

整理得

對于該題，常見解法只得出一個結果，即式(7)，而沒有對擺角α進行討論，顯得不全面．

由式(7)可知，當α=90°時，得B≤0，這表明，當B≠0時，若帶電擺球從水平位置釋放，初始階段將不沿圓弧運動．

【例2】如圖3所示，半圓形光滑槽在水平地面上固定不動，勻強磁場沿水平方向垂直于圓面ABC.將質量為m的帶電小球自槽口A處由靜止釋放.小球到達最低點C時，對槽恰好無壓力，則小球在以后的運動中對點C的最大壓力為

A.0 B.2mgC.4mgD.6mg

圖3

分析：該題與例1相似，則解答方法相似，可直接利用其結果，即由圓周運動的條件式(7)可知，若將帶電小球自槽口A處由靜止釋放，相當于α=90°，在該條件下小球不能做圓周運動，原因是此時得出B≤0，即沒有磁場.因此，當有磁場即B≠0時，若帶電小球從水平位置釋放，初始階段將不能沿圓弧運動，那么，帶電小球將做何種運動呢？小球能否到達最低點C呢？下面進行探討．

圖4

只有半圓的半徑足夠小，使半圓與旋輪線的交點位于半圓最低點的左側，小球才能經過半圓的最低點，運動到半圓的右端，接著返回，從右向左運動，此時，洛倫茲力方向背離圓心，當再次運動到最低點時壓力達到最大．所以，在一定條件下，小球從左向右運動可以到達半圓形軌道的最低點，但初始階段的運動軌跡為旋輪線．在保證小球能經過半圓最低點的條件下，對該題解答如下.

當小球從左向右運動經過最低點時，由于小球對槽恰好無壓力，則洛倫茲力方向豎直向上，由牛頓第二定律可知，洛倫茲力大小為

若碰撞過程沒有機械能損失，則機械能守恒，即

由此得

v2=2gR

因此洛倫茲力大小為f=3mg

由洛倫茲力方向豎直向上和左手定則可知小球帶正電，因此，當小球再次返回到最低點時，洛倫茲力方向豎直向下，大小未變，則此時壓力最大，由牛頓第二定律可知壓力大小為

故選項D正確.

參考文獻

1 郭銓．帶電擺球在磁場中正常擺動的條件分析．中學物理，1999(3)

2 石長盛．此題應加以討論．中學物理，2000(9)

3 李池．對一道電磁學題目題設條件的質疑.物理通報，2011(8)