淺談質(zhì)心參考系在二體能量問(wèn)題中的應(yīng)用

邱剛

(江蘇省海門中學(xué) 江蘇 南通 226100)

二體問(wèn)題是質(zhì)點(diǎn)系問(wèn)題中最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)情形，對(duì)二體問(wèn)題的研究體現(xiàn)了質(zhì)點(diǎn)系問(wèn)題研究的理論方法，是物理競(jìng)賽考查的重點(diǎn)內(nèi)容.在高中物理競(jìng)賽力學(xué)部分的二體問(wèn)題中，對(duì)同一問(wèn)題的研究可選用不同的參考系，而選用合適的參考系往往能使物體運(yùn)動(dòng)的形式變得簡(jiǎn)單，研究過(guò)程得到簡(jiǎn)化，便于問(wèn)題的分析．在質(zhì)心參考系中對(duì)二體問(wèn)題的研究最為簡(jiǎn)潔，但在各類競(jìng)賽參考資料中鮮有選用質(zhì)心參考系對(duì)二體問(wèn)題進(jìn)行研究.現(xiàn)將選取質(zhì)心參考系對(duì)力學(xué)競(jìng)賽題中二體能量問(wèn)題進(jìn)行研究，以體現(xiàn)質(zhì)心參考系在研究此類問(wèn)題時(shí)的巧妙性．

1 質(zhì)心參考系的定義及有關(guān)性質(zhì)[1]

1.1 定義

當(dāng)無(wú)外力時(shí)，將慣性坐標(biāo)系平移至質(zhì)心處稱為質(zhì)心坐標(biāo)系.

圖1

M=∑mi

1.2 有關(guān)性質(zhì)

(1)質(zhì)心參考系S′中質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量總是為零

當(dāng)無(wú)外力時(shí)，S′系中，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量

故S′系是動(dòng)量為零的參考系．

(2)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能——柯尼希定理

S系中質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能

S′系中質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能

2 質(zhì)心參考系在二體能量問(wèn)題中的應(yīng)用

以上列舉的質(zhì)心參考系中的幾個(gè)結(jié)論在二體能量問(wèn)題的分析中尤為巧妙，下面選取3道二體能量問(wèn)題(在競(jìng)賽參考資料中均未選用質(zhì)心參考系進(jìn)行分析)，選用質(zhì)心參考系對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，以呈現(xiàn)質(zhì)心參考系對(duì)二體能量問(wèn)題的分析方法．

(1)解除鎖定前瞬間，A,B的速度為多少;

(2)解除鎖定后瞬間，A,B的速度為多少.

解析：(1)解除鎖定前瞬間，由動(dòng)能定理有

得

由于輕質(zhì)彈簧短而硬，在瞬間恢復(fù)原長(zhǎng)的過(guò)程中，只有彈簧的彈力對(duì)系統(tǒng)做功，屬于內(nèi)力中的保守力做功W內(nèi)保=E0，由質(zhì)心系中的動(dòng)能定理得

此式也可視為質(zhì)心系中的機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，彈簧的彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為物體對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能．

聯(lián)立以上兩式解得

點(diǎn)評(píng)：本題是第18屆物理競(jìng)賽復(fù)賽試題第6題去掉最后一問(wèn)的簡(jiǎn)化試題.競(jìng)賽參考答案是選取地面為參考系,應(yīng)用動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，計(jì)算過(guò)程較為繁瑣，而在質(zhì)心參考系中同樣應(yīng)用動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒對(duì)問(wèn)題的分析則顯得簡(jiǎn)潔，提高了解題效率．

【例2】[3]質(zhì)量為m和M的兩物塊用橡皮繩相連，放在水平臺(tái)面上，原長(zhǎng)為a，當(dāng)它伸長(zhǎng)時(shí)，如同勁度系數(shù)為κ的彈簧，物塊與臺(tái)面的摩擦因數(shù)為μ，今將它們拉開(kāi)b(b>a)靜止釋放，求兩物塊相碰時(shí)的相對(duì)速度.

圖2

物塊受到的摩擦力為外力，對(duì)系統(tǒng)做的功為

由質(zhì)心系中質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理和柯尼希定理得

解得兩物塊碰撞時(shí)的相對(duì)速度為

點(diǎn)評(píng)：參考書(shū)中選用兩個(gè)物塊中的某一物塊為參考系，在非慣性系中，將另一物塊的運(yùn)動(dòng)等效為機(jī)械振動(dòng)對(duì)問(wèn)題展開(kāi)分析，分析過(guò)程較為繁瑣.而選用質(zhì)心參考系，應(yīng)用質(zhì)心系中的動(dòng)能定理和二體問(wèn)題的柯尼希定理，可使物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程得到簡(jiǎn)化，巧妙地解決了問(wèn)題．

【例3】[4]有三個(gè)質(zhì)量均為m的粒子，粒子1與粒子2中間夾置一個(gè)被充分壓縮了的輕質(zhì)短彈簧，并用輕質(zhì)細(xì)線縛在一起(可視為一個(gè)小物體)，靜止地放置在光滑水平面上，另一個(gè)粒子3沿該光滑水平面射向它們．粒子3和粒子1相碰撞并粘連在一起運(yùn)動(dòng)后，輕質(zhì)細(xì)線自動(dòng)崩斷，使彈簧釋放，三個(gè)粒子分成兩部分,一部分為粒子2，另一部分為粘在一起的粒子1和3．已知彈簧被充分壓縮時(shí)的彈性勢(shì)能是Ep．為了使被釋放出的粒子2的散射角保持在30°之內(nèi)，求粒子3入射時(shí)的動(dòng)能應(yīng)滿足什么條件．

由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得

聯(lián)立解得

圖3

圖4

點(diǎn)評(píng)：本題為第16屆全國(guó)高中物理競(jìng)賽決賽第5題，是典型的二體問(wèn)題中的散射問(wèn)題遵循能量守恒和動(dòng)量守恒，選用質(zhì)心參考系，極大地簡(jiǎn)化了散射問(wèn)題的分析過(guò)程，再次顯示了質(zhì)心參考系在二體能量問(wèn)題研究中的巧妙性．

3 小結(jié)

本文首先簡(jiǎn)要介紹了質(zhì)心參考系中研究物體運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)有用的結(jié)論，再將這幾個(gè)結(jié)論應(yīng)用到二體能量問(wèn)題的研究中，重點(diǎn)突出了質(zhì)心參考系在二體能量問(wèn)題研究中的巧妙性兼重要性.筆者在競(jìng)賽教學(xué)過(guò)程中體會(huì)到，許多高質(zhì)量的競(jìng)賽題考查的知識(shí)具有大學(xué)普通物理背景，但解答過(guò)程中所用的數(shù)學(xué)知識(shí)僅限于中學(xué)階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容，如何用中學(xué)數(shù)學(xué)的方法解決難度較大的物理競(jìng)賽題，關(guān)鍵要看問(wèn)題分析中物理方法的選取，對(duì)學(xué)生思維能力要求較高，這正是高中物理競(jìng)賽的價(jià)值取向．因此,如何在物理競(jìng)賽中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力成了競(jìng)賽教學(xué)中的首要任務(wù).筆者發(fā)現(xiàn)，在競(jìng)賽輔導(dǎo)中對(duì)賽題進(jìn)行“一題多解”和對(duì)一種好的物理分析方法進(jìn)行“一法多用”是培養(yǎng)思維能力和激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的有效途徑．

參考文獻(xiàn)

1 周衍柏．理論力學(xué)教程．北京：高等教育出版社，2008.112～129

2 第18屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題(2001年)含答案，http://wenku.baidu.com/view/93a0171efc4ffe4733 68abc8.html

3 清北學(xué)堂物理競(jìng)賽模擬題，http://wenku.baidu.com/view/4429e3a10029bd64783e2cfb.html

4 第16屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽試題，http://wenku.baidu.com/view/04fbfe3243323968011c9215.html