彈簧系統幾個難點問題分析

徐正恒

(衡陽縣第一中學 湖南 衡陽 421200)

彈簧類問題在高中物理中占有相當重要的地位，且涉及到的物理問題多是一些綜合性較強、物理過程又比較復雜的問題，從受力的角度看，彈簧上的彈力是變力；從能量的角度看，彈簧是個儲能元件；中學階段把彈簧看成是不計質量的理想化模型，對其考查主要集中在與其他物體的相互作用及能量轉化上，搞清物體的運動情境，特別是彈簧所具有的一些特點，是正確解決這類問題的重要方法.這些問題在力學知識的不同部分和各種不同層次的測試中經常出現，在每年的高考中都有考查.

1 彈簧系統瞬時性分析

高中研究的彈簧都是輕質彈簧(不計彈簧自身的質量，彈簧沒有慣性，也不會有動能)，不論彈簧處于何種運動狀態(靜止、勻速或變速)，輕質彈簧兩端所受的彈力一定等大反向.由彈簧彈力的產生條件可知，只有彈簧兩端同時受力時，彈簧才能產生彈力.

證明：以輕質彈簧為對象，設兩端受到的彈力分別為F1，F2，根據牛頓第二定律，可得F1+F2=ma,由于m=0，因此F1+F2=0,即F1，F2一定等大反向.

1．1 彈簧兩端與物體相連 彈力瞬間不變

如果彈簧兩端與物體相連，由于物體有質量、慣性，其位置在瞬間不會發生變化，所以,彈簧的長度在瞬間不會發生變化，則彈簧的彈力在瞬間不變.

彈簧的兩端都有其他物體或力的約束，發生形變時，彈力不能由某一值突變為零或由零突變為某一值.

【例1】如圖1所示，小球P，Q質量均為m，分別用輕質彈簧b和細線c懸掛在天花板下，再用另一細線d，e與左邊的固定墻相連，靜止時細線d，e水平，b，c與豎直方向夾角均為θ=37°.下列判斷正確的是

A．剪斷d瞬間P的加速度大小為0．6g

B．剪斷d瞬間P的加速度大小為0．75g

C．剪斷e前c的拉力大小為0．8mg

D．剪斷e瞬間c的拉力大小為1．25mg

圖1

解析：根據平衡條件由拉密定理可得

所以

Fd=0.75mgFb=1.25mg

剪斷d瞬間彈簧b對小球的拉力大小和方向都未來得及發生變化，因此，重力和彈簧拉力的合力與剪斷前d對P的拉力大小相等，為0.75mg，所以,加速度大小為0.75g，水平向右；剪斷e前c的拉力大小為1.25mg，剪斷e后沿細線方向上的合力充當向心力，c的拉力大小立即減小到0.8mg，選項C錯，所以答案為選項B.

1．2 彈簧一端與其他物體脫離 彈力瞬間為零

彈簧的彈力屬于接觸力，彈簧兩端必須都與其他物體接觸才可能有彈力.如果彈簧的一端與其他物體脫離接觸，或處于拉伸狀態的彈簧突然被剪斷，那么，彈簧兩端的彈力都將立即變為零.

圖2

【例2】質量分別為m和2m的小球P，Q用細線相連，P用輕質彈簧懸掛在天花板下，開始系統靜止，如圖2所示.下列說法中正確的是

A．若突然剪斷細線，則剪斷瞬間P，Q的加速度大小均為g

B．若突然剪斷細線，則剪斷瞬間P，Q的加速度大小分別為零和g

C．若突然剪斷彈簧，則剪斷瞬間P，Q的加速度大小均為g

D．若突然剪斷彈簧，則剪斷瞬間P，Q的加速度大小分別為3g和零

解析：剪斷細線瞬間，細線拉力突然變為零，彈簧對P的拉力仍為3mg，豎直向上，剪斷瞬間P的加速度為2g，豎直向上，而Q的加速度為g，豎直向下，選項A，B錯；剪斷彈簧瞬間，彈簧彈力突然變為零，細線對P，Q的拉力也立即變為零，因此，P，Q的加速度均豎直向下，大小為g.所以，答案為選項C.

2 彈簧系統對稱性分析

輕質彈簧一端固定，另一端系一個小球，便組成一個彈簧振子.無論此裝置水平放置、傾斜放置還是豎直放置，在忽略摩擦阻力和空氣阻力的情況下，彈簧振子的振動都是簡諧運動.

簡諧運動的特點之一就是對稱性.振動過程中，振子在離平衡位置距離相等的對稱點，所受回復力、位移、速度、加速度大小及振子動能、彈性勢能、機械能等都是相同的，且做周期性變化.

2．1 振動位置的對稱性

彈簧振子振動時具有對稱性，分析時應注意兩點，一是抓住平衡位置，二是運用對稱特征.

【例3】如圖3(a)所示，勁度系數為κ的輕質彈簧豎直放置，下端固定在水平地面上，一質量為m的小球，從離彈簧上端高h處自由下落，接觸彈簧后繼續向下運動．若以小球開始下落的位置為原點，豎直向下建立坐標軸Ox，小球的速度v2隨x變化的圖像如圖3(b)所示．其中OA段為直線，AB段是與OA相切于A點的曲線，BC是平滑的曲線，則關于A,B,C三點對應的x坐標及加速度大小，以下關系式正確的是

A．xA=h，aA=g

圖3

解析：由圖3(b)以及公式v2=2gx可知,OA段為直線表示小球做自由落體運動，以后小球在彈簧上做簡諧運動至最低點C.A點表示小球剛好接觸彈簧，xA=h，aA=g，故選項A正確；B點是平衡位置，滿足

κx0=mg

所以有

選項B正確；C點是最低點，根據彈簧振子做簡諧運動的對稱性可得

選項D正確.所以答案為選項A,B,D.

2．2 物理量變化的對稱性

圖4

【例4】如圖4所示，輕質彈簧的一端固定在地面上，另一端與木塊B相連，木塊A放在木塊B上，兩木塊質量均為m，在木塊A上施有豎直向下的力F，整個裝置處于靜止狀態.

(1)突然將力F撤去，若運動中A，B不分離，則A，B共同運動到最高點時，B對A的彈力有多大？

(2)要使A，B不分離，力F應滿足什么條件？

解析：力F撤去后，系統做簡諧運動，該運動具有明顯的對稱性，該題利用最高點與最低點的對稱性來求解，會簡單得多．

所以,B對A的彈力為

3 彈簧系統多解性分析

對于只有一端有關聯物體，另一端固定的彈簧，其運動過程可結合彈簧振子的運動規律去認識，突出過程的周期性、對稱性及特殊點的應用.如當彈簧伸長到最長或壓縮到最短時，物體的速度最小(為零)，彈簧的彈性勢能最大，此時，也是關聯物的速度方向發生改變的時刻.若關聯物與接觸面間光滑，當彈簧恢復原長時，物體速度最大，彈性勢能為零.若關聯物與接觸面間粗糙，物體速度最大時，彈力與摩擦力平衡，此時彈簧并沒有恢復原長，彈性勢能也不為零.若關聯物同時處在電磁場中，要注重過程的分析.

兩端均有關聯物的彈簧，伸長到最長或壓縮到最短時，相關聯物體的速度一定相同，彈簧具有最大的彈性勢能，當彈簧恢復原長時，相關聯物體的速度相差最大，彈簧對關聯物體的作用力為零.若物體再受阻力時，彈力與阻力相等，物體速度最大.針對此類問題，要立足運動和受力分析，在解題方法上以動量定理、動量守恒定律和動能定理等為首選.

3．1 運動過程的周期性

圖5

【例5】如圖5所示，將質量均為m，厚度不計的兩物塊A，B用輕質彈簧相連接．第一次只用手托著B物塊于H高處，A在彈簧彈力的作用下處于靜止，現將彈簧鎖定，此時彈簧的彈性勢能(與彈簧形變量大小有關)為Ep，現由靜止釋放A，B，B物塊著地后速度立即變為零，同時彈簧鎖定解除，在隨后的過程中B物塊恰能離開地面但不繼續上升．第二次用手拿著A,B兩物塊，使得彈簧豎直并處于原長狀態，此時物塊B離地面的距離也為H，然后由靜止同時釋放A，B，B物塊著地后速度同樣立即變為零．不計空氣阻力，求：

(1)第一次釋放A,B后，A上升至彈簧恢復原長時的速度v1；

(2)第二次釋放A,B后，B剛要離地面時A的速度v2.

解析:設彈簧原長為L，則整個過程各狀態如圖6所示.

圖6

(1)設物體下落H高度時的速度為v0

(1)

彈簧被鎖定和物塊B剛被提起時,彈簧的形變量為x，根據平衡條件

mg=κx

(2)

從B著地到A到達最高點，對彈簧和物塊A，根據機械能守恒定律有

(3)

設彈簧恢復原長時,物塊A的速度為v1，則

(4)

由式(1)～(4)得

(5)

(2)從B著地到剛被提起，對彈簧和物塊A

(6)

(7)

3．2 物理量變化多值性

【例6】如圖7所示，水平面上的輕質彈簧一端與物體相連，另一端固定在墻上的P點，已知物體的質量為m，物體與水平面間的動摩擦因數μ，彈簧的勁度系數κ.現用力拉物體，使彈簧從處于自然狀態的O點由靜止開始緩慢向左移動一段距離，這時彈簧具有彈性勢能Ep.撤去外力后，物體在O點兩側往復運動的過程中

A．在整個運動過程中，物體第一次回到O點時速度不是最大

B．在整個運動過程中，物體第一次回到O點時速度最大

D．在物體第一次向右運動的過程中，速度相等的位置有兩個

圖7

解析：物體振動的平衡位置滿足

κx0=μmg

在物體第一次向右運動的過程中，速度相等的位置有兩個，分別在平衡位置x0兩側相對平衡位置對稱.故答案為選項A,D.

綜上所述，彈簧問題不僅能很好地考查學生分析物理過程，理清物理思路，建立物理圖景的能力，而且還能考查學生的分析綜合能力、遷移能力、處理實際問題的能力，對培養學生物理思維品質和挖掘學生學習潛能都有好處.