電磁感應(yīng)中的含容電路分析

黃鑑 楊軍 唐齊林

(成都七中 四川 成都 610041)

1 理想模型

如圖1，在無(wú)限長(zhǎng)的光滑豎直導(dǎo)軌區(qū)域內(nèi)，有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng).導(dǎo)體棒AB(電阻忽略不計(jì))與導(dǎo)軌接觸良好，當(dāng)其由靜止沿導(dǎo)軌自由下滑時(shí)，整個(gè)電路便會(huì)通有穩(wěn)恒直流電.下面就這一物理模型進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)和能量學(xué)兩個(gè)方面的分析.

圖1

(1)運(yùn)動(dòng)學(xué)方面

我們先作宏觀分析，導(dǎo)體棒加速下滑時(shí)，由于速度增加，會(huì)導(dǎo)致感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)增加，從而使得電容器兩極板電荷量增加，電荷在電路中定向移動(dòng).由于電路中電荷的定向移動(dòng)，電路中便形成電流.同時(shí)，電流的存在又會(huì)導(dǎo)致棒AB受到安培力的作用，安培力阻礙其加速下滑.這些因素互相聯(lián)系，相互制約,此電流為穩(wěn)恒電流.對(duì)此,我們可以這樣理解，整個(gè)過(guò)程如圖2所示.

圖2

下面我們定量地分析一下導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)過(guò)程.設(shè)棒AB質(zhì)量為m，導(dǎo)軌寬為l，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.對(duì)于電容器有

Q=CU

所以

ΔQ=CΔU

這里的U為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，有

U=Blv

所以

ΔU=BlΔv

ΔQ=CΔU=CBlΔv

又

對(duì)棒AB受力分析有

mg-BIl=ma

即

mg-BCBlal=ma

所以

由此可以看出，對(duì)于任意的m,B,C,l都有一個(gè)恒定的a.即棒AB都能做勻加速運(yùn)動(dòng)，電路都能通有穩(wěn)恒直流電.

(2)能量方面

導(dǎo)體棒下滑時(shí)，能量必須守恒.那么,重力勢(shì)能在轉(zhuǎn)化為動(dòng)能的同時(shí)還轉(zhuǎn)化為什么能量呢?毫無(wú)疑問(wèn)是電能——電容器儲(chǔ)存的電能.我們知道重力勢(shì)能的改變量在數(shù)值上與重力做功是相等的,而mg=ma+BIl，根據(jù)動(dòng)能定理，合外力ma做的功在數(shù)值上與動(dòng)能增量相同.因此，只需要研究安培力BIl做的功在數(shù)值上是否與電容器所儲(chǔ)的電能相等即可.

下面定量計(jì)算安培力所做的功，即

而電容器儲(chǔ)能公式為

即分別為電容器所儲(chǔ)能量與將所儲(chǔ)電荷量從一極板移到另一極板所做的功.因?yàn)镼=It，所以

所以

W安=WC

說(shuō)明電容器儲(chǔ)能與力BIl做的功在數(shù)值上是相等的,進(jìn)一步說(shuō)明了這一過(guò)程滿足能量守恒規(guī)律.

2 實(shí)際模型

將此模型稍作改動(dòng),或者說(shuō)更現(xiàn)實(shí)化,如圖3.

圖3

棒AB不能一開(kāi)始就做勻加速直線運(yùn)動(dòng),系統(tǒng)需要經(jīng)過(guò)一個(gè)變加速過(guò)程才能達(dá)到穩(wěn)定.穩(wěn)定后,棒AB做勻加速直線運(yùn)動(dòng),電路通穩(wěn)恒電流.其原因在于電路中電流的產(chǎn)生仍然在于電容器的充電、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的增加.所以,電路最后的穩(wěn)定電流、加速度等在計(jì)算時(shí)仍與前面方法相同，且與R無(wú)關(guān).而R的存在只是影響到系統(tǒng)何時(shí)穩(wěn)定及能量分配的問(wèn)題.因?yàn)椋覀兛梢郧蟪鲆粋€(gè)電流I,它雖然與R無(wú)關(guān)，但R產(chǎn)生一個(gè)電壓降IR，因此,在穩(wěn)定前,感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)Blv必須先達(dá)到R的電壓需求IR，之后,方可穩(wěn)定.這便是R對(duì)系統(tǒng)何時(shí)穩(wěn)定的影響.下面我們研究一下能量分配，重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能、焦耳熱以及電容器所儲(chǔ)電能.由于系統(tǒng)需要一個(gè)穩(wěn)定過(guò)程，所以，我們計(jì)算其穩(wěn)定后的功率問(wèn)題,與前面同理，只需研究BIl做功功率在數(shù)值是否與焦耳熱產(chǎn)熱功率和電熱器儲(chǔ)能功率之和相等即可.

P安=BIlv=B2l2Cav

由于電容器兩端電壓為

U=Blv-IR

所以

Q=Blv-IRC

且

所以

P焦+PC=I2R+Blc-IRI=

BlvI=B2l2Cav

可得

P焦+PC=P安

能量守恒，進(jìn)一步說(shuō)明了對(duì)此模型分析的正確性.從能量角度說(shuō)，雖然I與R無(wú)關(guān)，但P焦=I2R與R有關(guān)，R的大小影響到P焦的大小.因此,系統(tǒng)要達(dá)到穩(wěn)定，棒AB必須要有一個(gè)適當(dāng)?shù)某跛俣龋瑥亩沟弥亓?shì)能的改變率足夠大，以滿足P焦.這也說(shuō)明了系統(tǒng)需要一個(gè)穩(wěn)定過(guò)程.當(dāng)然，以上情況均是在電容器完好的條件下進(jìn)行，同時(shí)也均是一些理想化的情形，采用了一些理想化的思維方式.

近年來(lái)，越來(lái)越多的高考和競(jìng)賽題涉及到此類物理模型，旨在考查學(xué)生對(duì)有電容器的電路中產(chǎn)生電流的根本原因的理解，以及對(duì)物理模型全方位、多因素的分析能力.