為何弱阻尼振動的振幅呈指數規律衰減

鄭金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

機械振動包括簡諧運動、阻尼振動和受迫振動，其中不受驅動力的阻尼振動為自由振動，反之為受迫振動.對于阻尼振動，若阻力大小恒定，則稱為恒阻尼振動；若阻力大小跟速度成正比，則稱為線性阻尼振動. 對于線性自由阻尼振動，按阻力大小，依次分為過阻尼狀態、臨界阻尼狀態和弱阻尼狀態三種情形，其中只有弱阻尼振動具有周期性，振幅按指數規律衰減，條件是阻力很小.機械線性力主要為介質阻力，如空氣阻力，液體的粘滯阻力等.條件是物體運動速度較小，否則就不是線性力了.例如,彈簧振子在液體中的振動，若粘滯阻力與運動速度成正比，則為線性自由阻尼振動，當阻力非常小時，為弱阻尼振動.

無論機械阻尼振動，還是電磁阻尼振動或振蕩，只要阻尼是線性的，就遵循相同的規律，即物理量的變化滿足二階常系數齊次線性微分方程x″+px′+qx=0，其通解由特征方程r2+pr+q=0的兩個根r來確定.那么,如何推導振動的微分方程和通解呢？為何弱阻尼振動振幅按指數規律衰減？時間常數與瞬態過程的時間常數和諧振電路的固有周期之間有何關系？下面以兩種電磁線性阻尼振動為例進行分析.

1 安培力阻尼振動

【例1】如圖1所示，固定的水平光滑金屬導軌，間距為l，左端接有阻值為R的電阻，處在方向豎直向下、磁感應強度為B的勻強磁場中，質量為m的導體棒與固定彈簧相連，放在導軌上，導軌與導體棒的電阻均可忽略．初始時刻，彈簧恰處于自然長度，導體棒具有水平向右的初速度v0．在沿導軌往復運動的過程中，導體棒始終與導軌垂直并保持良好接觸．試分析在弱阻尼狀態下導體棒的運動規律.

圖1

解析：導體棒切割磁感線而產生的感應電動勢為E=Blv，則受到的安培力大小為

開始時,導體棒受到的彈簧彈力和安培力都為阻力，由牛頓第二定律有

即

(1)

式中ω0為無阻尼時彈簧振子的固有角頻率，β為阻尼因數.

二階微分方程即x″+px′+qx=0的解與指數函數密切相關，原因是對于指數函數x=ert，當r為常數時，與它的各階導數只相差一個常數因子.因此,只要取適當的常數r，就能使x=ert滿足微分方程.為了確定常數r，可將x=ert,x′=rert和x″=r2ert代入微分方程，得到特征方程為

r2+pr+q=0

由此可知方程(1)的特征方程為

其兩個根為

對于弱阻尼運動狀態，即當β<ω0時，特征方程的兩個根為

此時微分方程的兩個解為x1=er1t=eat·eibt和x2=er2t=eat·e-ibt，為了得到實函數形式，可利用歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ將其化為三角函數形式，是一對共軛復數.實部為

都等于兩個特解的線性疊加，則由解的疊加原理可知，它們也是微分方程的解，且二者比值cotbt不是常數，即線性無關，所以通解為

由輔助角公式可知其等價式為x=Aeat(sinbt+φ).

x=Ae-βtsin(ωt+φ)

(2)

振幅衰減的時間常數為

(3)

圖2

2 RLC串聯電路阻尼振蕩

圖3

【例2】如圖3所示，有一個電阻R,自感L,電容C和電源E串聯組成的電路，其中R,L及C為常數，電容器已充電，當閉合開關S時，試推導電容器兩極電壓隨時間變化的微分方程及在弱阻尼狀態下電壓隨時間變化的規律.

解析：當開關S接通后，電路中的電流由無到有，突然增大，使電感線圈產生的磁場增強，即磁感應強度B增大，則穿過線圈的磁通量Φ=BS增大，因此,線圈產生自感電動勢大小為

電容器開始帶電量為qm，當放電量為q時，電容器剩余電量為

Q=qm-q=CuC

因此兩極板間的電壓為

則放電電流為

由基爾霍夫電壓定律列出回路電壓方程為

uC-EL-Ri=0

可得

即

令

可得RLC串聯電路的自由阻尼振蕩的微分方程為

(4)

若推導電容器所帶電荷量Q的變化規律，則由回路電壓方程

及放電電流

得自由阻尼振蕩方程為

在β<ω0的條件下，為弱阻尼振蕩狀態.對方程(4)由二階常系數齊次線性微分方程的通解公式得

uC=Ae-βtsin(ωt+φ)

(5)

取導數并利用初始條件

得

所以，當無源RLC串聯電路處于弱阻尼振蕩狀態時，振幅按e-βt的指數規律衰減，時間常數為

(6)

RLC串聯電路放電過程的uC-t圖像如圖4所示，可見阻尼振蕩具有周期性，角頻率為

圖4

這是無阻尼時LC串聯電路的自由振蕩方程.角頻率為

固有周期為

假如將電路中的周期性儲能元件電容器去掉，換為直流電源，當閉合開關S時，對RL串聯電路的充電過程為瞬態過程，回路電壓方程為

即為

也可從能量損耗的角度來理解Q的含義，如圖4所示，對于弱阻尼振蕩，電容器兩端電壓振幅的包絡線方程為uCm=Ae-βt，每個振幅對應的能量為

則相鄰兩個振幅對應的能量差為

而t2=t1+T，可知

參考文獻

1 同濟大學數學教研室.高等數學(下冊).北京：高等教育出版社，1986.352～360

2 漆安慎，杜嬋英.力學基礎.北京：高等教育出版社，1987.427～429

3 趙凱華，陳熙謀.電磁學(下冊).北京：高等教育出版社，1988.522，730～732

4 楊曉雷.串聯諧振電路Q值的計算與意義.物理通報，2011(10)：15

5 趙健生,等.阻尼振動系統普遍性質的研究.物理通報，2000(5)：5