Maple在研究多體耦合擺振動規律中的應用

姜付錦 朱木清

(武漢市黃陂一中 湖北 武漢 430030)

在基礎理論研究中有關耦合諧振子系統的精確求解具有廣泛意義.文獻[1]用拉格朗日方程和簡正坐標研究了兩體耦合擺系統振動的規律，得到了耦合擺振動方程的通解，但解中的任意常數沒有給出.文獻[2]基于利用不變特征算符法，推導了三體耦合擺系統的角頻率及其對應的簡正坐標與共軛動量，并且推導了明顯的系統的簡正頻率解析解表達式及系統嚴格的波函數，但對三體耦合擺系統的振動方程的解析解沒有給出.本文的工作基于牛頓力學知識寫出多體耦合擺系統的動力學微分方程，并利用數學軟件Maple對耦合擺系統動力學微分方程進行求解和數值模擬，得到了系統的明顯簡正頻率和振動方程的解析解.

1 多體耦合擺系統的動力學方程

如圖1所示，對于多體耦合擺系統，由n個完全相同的彈簧振子構成，并且θi≤5°(i=1,2,…,n)時，即簡諧近似下，由牛頓力學知識寫出體系的微分動力學方程如下.

圖1 多體耦合擺系統的振動圖示

其中κ為彈簧的勁度系數，m為諧振子的質量(彈簧的質量忽略不計)，g為重力加速度，L為耦合擺長度.

2 雙體耦合擺系統

雙體耦合擺系統的微分動力學方程為

2．1 用Maple求方程組的解析解

文獻[1,2]是用簡正坐標來求解析解，過程較復雜.這里我們用一種全新方法求解，它就是Maple，這是一款被稱為“數學家”的專業數學軟件，在輸入微分方程(組)，并給出初始值后就能解出微分方程(組)的解析解，而且還能進行數值模擬，如圖2所示.

圖2 用Maple解兩體耦合擺的微分方程組

兩體耦合擺的振動方程如下

式中x1,x2分別為兩個擺的初始位置；v1,v2分別為兩個擺的初始速度.由解析解可知耦合擺的簡正頻率為

與文獻[1]中的結果相同，每個擺的振動方程是由4個分振動合成的，分振動的個數與系統的初始值有關.

2．2 用Maple進行數值模擬

令m=1 kg,L=10 m,g=10 m/s2,κ=0.1 N/m,x1=1 m,x2=0,v1=v2=0，則用Maple進行數值模擬如圖3所示.

圖3 用Maple進行振動方程的數值模擬

2．3 圖形的分析

圖4 耦合振動的位移隨時間變化的規律

圖5 耦合振動的速度隨時間變化的規律

通過對圖4,5的分析可以發現：

(1)讓第一個擺振動起來以后，它的振幅是周期性變化的，當第一個擺振幅最大時，第二個擺振幅最小；當第二個擺振幅最大時，第一個擺振幅最小，且它們變化的周期和最大值相同，即達到了位移共振.

(2)當第一個擺的速度最大時，第二個擺速度最小；當第二個擺最大時，第一個擺速度最小，它們速度的變化周期和最大值相同，即達到了速度共振.

(3)兩個擺之間機械能的傳遞是借助輕彈簧實現的，當一個擺的能量增加時，另一擺的能量就減小，但耦合振動系統的總能量守恒.

3 結語

通過對雙體耦合擺的振動規律的研究可以發現,Maple強大的符號運算能力和數值模擬能力，所以,在平時的教學研究中,我們可以只需用物理規律建立物體的運動學微分方程(組)，然后,應用Maple進行符號求解和數值模擬，非常方便.如果耦合擺的個數大于2，則只需將以上的程序稍加修改即可，限于篇幅這里不再討論.

參考文獻

1 周柏衍.理論力學教程(第2版).北京：高等教育出版社，1986.306～309

2 成泰民,孫立紅.三體耦合擺量子系統的精確波函數.大學物理，2011，30(11)：7～9