空氣阻力影響下的拋體運動規律

張旭斌

(浙江省奉化中學 浙江 寧波 315500)

在一個空氣均勻分布的空間中，有一股方向與xOy平面平行，速度大小為v1，且與y軸成β角的風吹過.此時，在坐標原點上方h0處將一個質量為m的質點，以初速度v0與yOz平面平行且與y軸成α角拋出，如圖1所示.設物體所受阻力大小與速度的關系為f=kv.

圖1

由受力的矢量合成可得力學方程

mg+f=ma

在坐標系中正交分解可得

(1)

把f=kv代入方程組(1)得

(2)

(3)

解方程可得

(4)

5

拋體運動的若干規律：

(1)令vz=0，可以求出上升過程中到達最高點的時間

代入方程組(5)中z方程，可以求出最高點

(2)從方程(5)可以看出，當風向緩慢變化(改變的速度不大，β可看為一個近似常量)時，即β從0轉到2π的過程中，只改變了x(側向位移)和y的值，而z(射高方向) 值卻不受影響.x的值先增大后減小，y值不斷減小，即

由式(5)中的x方程可知，當β1與β2互為補角時，x方向的位移不變，這是因為sin(π-β)=sinβ，利用Matlab軟件，將式(5)輸入，圖2得出了若干互補角的拋體運動軌跡.

圖2

(3)通過方程組(4)發現,當t不斷增大時,vx由0趨向于v1sinβ，vy由v0cosα趨向于v1cosβ.由此可以看出，只要飛行時間足夠大，那么，水平方向的速度會與v1一致，即與風向一致，且此時的曲線在xOy平面上的投影也與y軸成β角.

(4)根據運動的獨立性原理，xOy平面中物體的運動不受z軸上力的影響，所以,可以對物體在xOy平面內的運動作簡要分析.

根據方程組(4)和方程組(5)，可以得到物體相對于空氣運動的參數方程

6

通過方程組(6)發現， 對于剛開始運動的物體，速度為

v0=-v1sinβ,v0cosα-v1cosβ

當經過時間t0時，其速度變化為

則速度的變化量為

而此時物體的位移變化量為

顯然

結論：當物體僅受到與其速度成正比的阻力時(即f=kv)，其動量(或速度)的變化量與物體位移的變化量成正比.

對于以上結論，是否具有普遍意義？現證明如下.

Δp=FΔt，其中阻力F=kv為變力，取0<η<1,根據積分中值定理可得

mv+Δv-mv=kv+ηΔvΔt

即為

mΔv=kv+ηΔvΔt

當Δv→0,Δt→0時

mΔv=kv+ηΔvΔt=kΔs

即kΔs=mΔv，先將區間v1,v2分為n等份，每一個等份記作Δvii=1,2,3,…,n，且每一份區間長度為λ，則

即

mv2-v1=ks