圓錐擺運動軌跡變化的歸因

陳春林 陳克超

(重慶市長壽中學 重慶 401220)

1 問題提出

如圖1所示，長為L的細線一端拴一質量為m的小球，另一端固定于O點，讓其在水平面內做勻速圓周運動．細線與豎直方向夾角為α時，小球運動的角速度的大小為ω．試寫出：

(1)細線拉力F的大小滿足的關系式，并求出m=0.1 kg，L=2 m，ω=1 rad/s時F的大小；

(2)角速度ω的大小滿足的關系式．

分析：(1)小球受重力mg和細線拉力F，如圖2所示，這兩個力的合力mgtanα提供向心力，半徑r=Lsinα，則有

Fsinα=mω2Lsinα

(1)

兩邊同除以sinα，得

F=mω2L

(2)

圖1 圖2

或者寫為

(3)

式(2)帶入數據得F=0.2 N．此時細繩的拉力顯然小于小球的重力與式(3)矛盾，為什么？細線的拉力與重力有沒有關系？

(2)由

mgtanα=mω2Lsinα

(4)

得

(5)

2 歸因

2.1 數學分析

2.2 運動軌跡分析

2.3 因果分析

2.4 類比分析

從圓錐擺運動的本質分析，小球做圓周運動受細線的約束，屬于不穩定約束，小球運動的軌跡隨角速度ω的改變而變化，跟人造地球衛星的變軌運動相似．

(1)小球做圓錐擺運動有最小角速度類似發射人造衛星.人造衛星發射速度必須大于或等于第一宇宙速度，否則衛星就會落回地面，不能成為人造衛星．同樣，小球做圓錐擺運動有最小角速度，不是把細線拉開一個角,給一定角速度就能做圓錐擺運動．