對(duì)平行力分解問題的進(jìn)一步探究

顧俊琪

(鹽城市教育科學(xué)研究院 江蘇 鹽城 224002)

1 問題再現(xiàn)

如圖1所示，把一根直尺水平地放在兩個(gè)食指上，然后讓兩個(gè)食指盡量靠攏.結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩個(gè)食指不可能同時(shí)在直尺下滑動(dòng)，而是其中一個(gè)食指先在直尺下面滑動(dòng)，然后,另一個(gè)食指再在直尺下面滑動(dòng),如此交替地繼續(xù)下去.為什么兩個(gè)手指在直尺下面會(huì)交替地滑動(dòng)?

圖1 兩食指水平托一直尺，然后兩食指相互靠攏

2 定性解釋

一個(gè)手指先在直尺下方滑動(dòng)，二者之間的摩擦力為滑動(dòng)摩擦力，而此時(shí)直尺與另一個(gè)手指未發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，是因?yàn)槠渥畲箪o摩擦因數(shù)較大.手指受到的摩擦力的大小不僅與摩擦因數(shù)有關(guān)，而且還與直尺壓在手指上的壓力有關(guān).當(dāng)運(yùn)動(dòng)的手指向直尺中心滑動(dòng)時(shí)，直尺壓在這個(gè)手指上的壓力變得愈來愈大，壓在另一個(gè)手指上的壓力變得愈來愈小.最后，運(yùn)動(dòng)手指作用在直尺上的摩擦力會(huì)變大，使另一個(gè)手指與直尺之間的靜摩擦力超過了它們之間的最大靜摩擦力，于是第一個(gè)手指停止了滑動(dòng)，而另一個(gè)手指便開始滑動(dòng).這種交替進(jìn)行的運(yùn)動(dòng)可以發(fā)生數(shù)次直到兩手指都移到直尺中央為止.

3 數(shù)學(xué)推導(dǎo)

取一根質(zhì)量分布均勻的直尺，重力大小為G，長度為l，重心C位于直尺中點(diǎn)處.假設(shè)兩手指與直尺的動(dòng)摩擦因數(shù)和最大靜摩擦因數(shù)都相同，分別為μ和μ0.

如圖2所示，假定左手指先滑動(dòng)，此時(shí)右手指保持不動(dòng)，整個(gè)過程可看成準(zhǔn)靜態(tài)，直尺滿足一般物體平衡條件

(1)

N1+N2=G

(2)

圖2

由式(1)、(2)可以發(fā)現(xiàn)，左手指對(duì)直尺的支持力N1隨移動(dòng)距離x1的增大而增大，右手指對(duì)直尺的支持力N2隨移動(dòng)距離x1的增大而減小.這樣，左手給直尺的滑動(dòng)摩擦力會(huì)逐步增大，右手給直尺的最大靜摩擦力會(huì)逐步減小，當(dāng)滿足μN(yùn)1=μ0N2時(shí)，右手指開始滑動(dòng).

不難求得

如圖3所示，右手指開始滑動(dòng)后，左手指不再移動(dòng)，整個(gè)過程仍可看成準(zhǔn)靜態(tài)，直尺滿足一般物體平衡條件

(3)

圖3

再結(jié)合μN(yùn)4=μ0N3可以求得，右手指到再次不動(dòng)時(shí)移動(dòng)的距離

以此類推，可以得到第n次移動(dòng)手指停止時(shí)，離開直尺端點(diǎn)的距離

由于μ<μ0，所以當(dāng)n→時(shí)，該結(jié)果表明，兩手指最終停在直尺中點(diǎn)位置.

應(yīng)該注意，如果直尺放在兩手指間不再水平，有點(diǎn)傾斜的話，上述結(jié)論是不成立的.

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

上述結(jié)論要得到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證并不簡單.我們從實(shí)驗(yàn)室找到一根質(zhì)量分布基本均勻的米尺，把它水平地放在兩個(gè)食指上，使標(biāo)有刻度的一面朝上，然后，讓兩個(gè)食指從兩端點(diǎn)開始向中間滑動(dòng)，記錄下有關(guān)數(shù)據(jù),見表1.

表1 記錄的有關(guān)數(shù)據(jù)

表1中的數(shù)據(jù)表明，手指移動(dòng)距離并不像數(shù)學(xué)推導(dǎo)得那樣具有規(guī)律性，出現(xiàn)結(jié)果不穩(wěn)定性的主要原因是手指與直尺之間的摩擦因數(shù)不穩(wěn)定.

筆者從50多根米尺中挑選出粗糙程度相對(duì)均衡的一根，按照有關(guān)要求重新實(shí)驗(yàn)，得到表2數(shù)據(jù)(仍有少數(shù)數(shù)據(jù)存在漂移，表中已經(jīng)剔除).

表2 采用粗糙程度均衡的米尺所測(cè)數(shù)據(jù)

5 問題討論

(1)手指在直尺下的運(yùn)動(dòng)是否一定會(huì)交替進(jìn)行？

根據(jù)上述研究不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)手指與直尺之間比較光滑時(shí)，即手指與直尺之間的摩擦因數(shù)很小時(shí)，或者說，當(dāng)手指與直尺之間動(dòng)摩擦因數(shù)與靜摩擦因數(shù)非常接近時(shí)，手指在直尺下運(yùn)動(dòng)的先后順序就有隨機(jī)性，甚至?xí)霈F(xiàn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象.在實(shí)際生活中，以上兩種情況并不多見，看到的基本是交替進(jìn)行的.如果控制好條件，在具體實(shí)驗(yàn)中可能會(huì)出現(xiàn)并非交替運(yùn)動(dòng)的情形.

(2)開始時(shí)，位于直尺兩端點(diǎn)的手指誰先滑動(dòng)？

理論上講，只有兩手指與直尺之間的最大靜摩擦力存在差異，才會(huì)出現(xiàn)先后滑動(dòng)的情況.

如果兩手指位于質(zhì)量均勻的直尺對(duì)稱的兩端點(diǎn)上，且手指與直尺之間最大靜摩擦因數(shù)完全相同，兩手指不應(yīng)該有一個(gè)先滑動(dòng).所以，先滑動(dòng)的手指與直尺的最大靜摩擦因數(shù)應(yīng)該偏小，或者該手指距直尺重心的距離稍遠(yuǎn)些.

(3)在手指交替運(yùn)動(dòng)過程中，直尺受到的摩擦力究竟如何？

在手指交替運(yùn)動(dòng)過程中，直尺一直受到兩個(gè)摩擦力的作用，一個(gè)是運(yùn)動(dòng)手指給予的滑動(dòng)摩擦力，另一個(gè)是靜止手指給予的靜摩擦力.由于直尺是準(zhǔn)靜態(tài)的，所以這兩個(gè)力始終相等.根據(jù)滑動(dòng)摩擦力公式f=μFN，運(yùn)動(dòng)手指與直尺之間的摩擦力隨著壓力的增大而增大，因而靜止手指與直尺之間的靜摩擦力也增大，但手指與直尺之間的最大靜摩擦力卻在減小，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大時(shí)，靜止手指開始運(yùn)動(dòng).

(4)如果直尺質(zhì)量分布不均勻，手指最終應(yīng)該停在何處？

如圖4所示，根據(jù)數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程中的有關(guān)公式可以推知，如果直尺質(zhì)量分布不均勻，左手指移動(dòng)距離將越來越趨近于l1，右手指移動(dòng)距離將越來越趨近于l2，所以，手指最終應(yīng)該停在直尺重心處.考慮一個(gè)極限情況，左手指已經(jīng)到達(dá)直尺的重心位置，此時(shí)右手指無論怎樣移動(dòng)，直尺都不會(huì)移動(dòng)，因?yàn)橛沂种覆皇苤背叩膲毫ψ饔茫簿筒粫?huì)給直尺施加摩擦力的作用.

圖4

以上探究過程思考尚不夠完備，歡迎同仁賜教.

參考文獻(xiàn)

1 (美)Jearl Walker．生活中的物理學(xué)．徐婉華，葉慶桐譯．北京：科學(xué)普及出版社,1984