淺析平面幾何總復習之法

摘要：本文主要針對平面幾何復習方法作剖析，歸納總結了六種有效的解題方法，旨在給一線教師帶來幫助。

關鍵詞：平面幾何；思路；方法；技巧

初中畢業(yè)班升學考試前的數(shù)學總復習面臨著時間少、內容多、要求高、壓力大而學生的學習水平參差不齊，每個學生對各部分內容的掌握程度又不一致的現(xiàn)實。為此，怎樣進行初中數(shù)學平面幾何總復習，是畢業(yè)班數(shù)學教師十分關心和應該思考的問題。多年的畢業(yè)班數(shù)學教學工作經(jīng)驗，使筆者深深地體會到：若不改變傳統(tǒng)的數(shù)學復習教學方法，單靠加班加點、搞題海戰(zhàn)術或是按部就班進行章節(jié)復習，那只能是讓師生筋疲力盡且收獲甚微。為此，要在“方法”上下功夫，做到精復習、精練習、采取有效的方法，切實使效果事半功倍。下面就如何進行初中平面幾何總復習，在方法上作以下探討。

一、一線串珠

在開始進入平面幾何全面復習時，不少學生感到書海如云，毫無頭緒。針對這種情況，筆者就引導學生將所學知識進行整理、歸納，全力理出一條線，將分散在各部分的“珠子”串起來，達到化零為整、化點為線、以一帶十的效果。如在平行四邊形一章的復習中，筆者的做法是：抓住平行四邊形與矩形、菱形、正方形的共性，由平行四邊形的定義、判定和性質，導出矩形、菱形、正方形的定義、判定和性質等等知識點，從而通過四邊形這條主線，把矩形、菱形、正方形串起來形成一個系統(tǒng)的知識鏈。這樣，就幫助學生理清了頭緒、明晰了脈絡，使學生獲得內容豐富以及既有共性又有個性的知識網(wǎng)絡。

二、問卷引導復習法

所謂“問卷引導復習法”，就是根據(jù)總復習計劃的安排，對一堂課要復習的內容，先由教師設計，制作一份問卷，并留作答空白，然后提前發(fā)給學生，讓學生自己回顧、思考、作答。上課時，教師巡回個別輔導。最后，教師針對學生答卷中出現(xiàn)的傾向性問題，用20分鐘左右的時間進行集體輔導，并張貼問卷答案。

三、縱橫聯(lián)系

加強知識間的橫向聯(lián)系，拓寬知識面，開闊學生的知識視野，是提高復習效果的做法之一。

例1.設⊙Ο1、⊙Ο2的半徑分別是a、b（a≠b），圓心距為1個單位長，若方程x2-2ax+b2=b-a有相等的實根。

（1）試證明兩圓外切。

（2）用解析式將⊙Ο1的半徑a表示為⊙Ο2的半徑b的函數(shù)，并在直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象。

分析：此題可以利用數(shù)形結合法來解，把幾何問題轉化為用代數(shù)的知識來解決，加強幾何知識和代數(shù)知識的橫向聯(lián)系，問題就簡單了，這屬于數(shù)學解題的技巧。（1）中只證出a+b=1即可，（2）中利用（1）的結論畫出圖象即可。拓寬學生知識面，開闊學生的知識視野，解題能力也升華了。

四、一題多變

重視一題多變的訓練，有助于培養(yǎng)學生的智力，開拓學生的思路，提高學生思維的敏捷性和解題的靈活性。因此，在重點復習階段，筆者采取下面幾種具體變換：

1.對圖形進行變換

例2.已知⊙Ο1和⊙Ο2相交于點A、B，經(jīng)過點A的直線分別交兩圓于C、D，經(jīng)過點B的直線分別交兩圓于點E、F。求證：CE∥DF。

分析：此題可以根據(jù)兩圓的不同位置，作出以下六個圖形：

可知：由于圖形不同，證明方法也略有差異。但它們都要以相交兩圓的公共弦為輔助線加以證明。

2.變換命題條件，保留結論

變換命題的條件可以幫助學生了解命題與命題之間的相互聯(lián)系。

在例2中，適當變換命題條件，得下面例題：

（C、E兩點重合）例3.已知⊙Ο1和⊙Ο2相交于B、E兩點，A是⊙Ο1上另一點，AT是⊙Ο1的切線，又直線AB與AC分別相交⊙Ο2于點D、F。求證：AT∥DF。

分析：只證∠BAT=∠D ，則 AT‖DF。

（D、A兩點重合）例4.已知⊙Ο1和⊙Ο2相交于點A、B。過點A作一圓的切線，交另一圓于P，過點B作直線QBS分別交兩圓于點Q、S。求證：AS∥PQ。

分析：只證∠ASB=∠PQB ， 則AS∥PQ。

（相交兩圓為相切兩圓）例5.已知⊙Ο1和⊙Ο2相切于A點，過點A作直線ABC和ADE，分別交⊙Ο1、⊙Ο2于點B和D，C和E。求證：BD∥CE。

分析：過A作公切線AT，只證∠ABD=∠C， 則BD∥CE.

3.保留條件，改變結論

在命題條件相同的條件下，不斷改變命題的結論，可以幫助學生較系統(tǒng)地掌握平面圖形的性質，了解命題的適用范圍，做到一箭雙雕，甚至一箭多雕。

例6.已知⊙Ο1和⊙Ο2相交于A、B兩點，過點A作直線CAD，分別交⊙Ο1、⊙Ο2于C、D，連結BD，并延長交于點E，再過D點作⊙Ο2的切線DT。求證：ΔDAB∽ΔDEC。

對于例6中的結論可作下面幾種改變。

（1）DA∶DE=DB∶DC （2）DA·DC=DB·DE

（3）∠DAB=∠DEC （4）DΟ2⊥CE

分析：易證∠ADB=∠EDC ∠DAB=∠DEC則ΔDAB∽ΔDEC，題中（1）、（2）、（3）、（4）結論就迎刃而解。

四、同時改變命題的條件和結論

有些命題的條件改變后，其結論也隨著改變，這類題不但可以發(fā)展學生的思維能力，而且還有助于培養(yǎng)他們的探索能力。

（例2中，若附加條件CD∥EF，得）例7.已知⊙Ο1和⊙Ο2相交于點A和B，經(jīng)過點A的直線分別交兩圓于點C、D，經(jīng)過點B的直線分別交兩圓于點E、F，且CD∥EF。

求證：（1）CD=EF （2）CE=DF

分析：易證四邊形CEFD是平行四邊形，則CD=EF、CE=DF。

評：在一題多變的訓練中，無論是對圖形進行變換；變換命題條件，保留結論；保留條件，改變結論；還是同時改變命題的條件和結論，它們的一切性質都是從已知條件出發(fā)而推得的， 分析條件與結論間的關系，研究它們變化時某些不變的性質，發(fā)現(xiàn)和掌握它們之間的一些內在規(guī)律，這是學習初中有關圖形問題的基本方法之一。學會方法，便可以通過適量命題的練習而取得較大的收益，對教學來說，則可以達到事半功倍的實效。

五、一題多解（證）

在重點復習階段，適當練練一題多解（證）的習題，可以大大地開闊了學生的知識視野，提高學生的思維和分析能力。

例8.已知⊙Ο1和⊙Ο2外切于點A，BC是⊙Ο1、⊙Ο2的公切線，B、C為切點。

求證：AB⊥AC

證法一：如右圖，

過點A作兩圓的內公切線交BC于D，則有：BD=DA=CD

∴點A在以點D為圓心，BC為直徑的圓上

∴AB⊥AC

證法二：過點A作兩圓的內公切線交BC于D，

則有：BD=AD=CD

∴∠DBA=∠BAD，∠DCA=∠DAC

∴∠DBA+∠DCA=∠BAD+∠DAC

又∵∠DBA+∠DCA+∠BAD+∠DAC=1800

∴∠BAD+∠DAC=900

∴AB⊥AC

證法三：根據(jù)“如果三角形一邊上的中線等于這邊一半，那么這個三角形是直角三角形，這條邊所對的角是直角”可證AB⊥AC。

證法四：過點A作兩圓的內公切線AD交BC于D，并延長AD至E，使DE=AD，則四邊形ACEB的對角線相等且互相平分，故四邊形ACEB為矩形

∴∠CAB=900

∴AB⊥AC

證法五：連結Ο1Ο2、Ο1B、Ο2C，

則有∠ACB=1/2·∠AΟ2C ∠ABC=1/2·∠AΟ1B

Ο1B⊥BC Ο2C⊥BC

∴∠ABC+∠ACB=1/2·（∠AΟ1B+ AΟ2C）……（1）

Ο1B∥Ο2C

∴∠AΟ1B+ AΟ2C=1800……（2）

由（1）、（2）得∠ABC+∠ACB=900

∴∠BAC=900 即AB⊥AC

評：在數(shù)學教學中，如果能對例題進行多向探索，靈活轉換，給出多種解法，可以使學生的認識逐步深化，思路日見開闊，對開發(fā)學生智力和培養(yǎng)學生能力將起到積極作用。

六、多題一解

在初中畢業(yè)班的數(shù)學教學中，不斷地收集一些具有同一主題而形式不同的習題，在復習時采取“題組”的形式讓學生練習。這有助于學生從題海中解脫出來，使學生通過有限的練習，觸類旁通，從中悟出共同的解題規(guī)律。如下面一組題：

（1）已知：a4+b4+c4+d4=4abcd

求證：以a、b、c、d為邊的四邊形是菱形。

（2）已知Sin3A+ Sin3B+ Sin3C=3SinA·SinB·SinC

試判定ΔABC為何種三角形。

分析：（1）中易證a=b=c=d即可，（2）中用相似方法易證。這種多題一解的方法，不僅可以培養(yǎng)學生們獨立思考能力，反思總結的思維習慣，而且也是復習平面幾何教學方法的一種新實踐新突破

除此之外，還可進行專題性復習。如：線段相等、等角、線段的和、差（倍、分）、平行線、垂線、不等量、比例式、等積式的證法；計算法證明幾何題等等。

學生數(shù)學成績的提高，數(shù)學教學整體水平的提升，無疑是多種因素綜合促成的。但筆者認為在諸多因素中，好的復習方法，是提高學生數(shù)學成績與提升整體數(shù)學教學水平的一個重要的因素，這就是本文所談之要義。