例談利用導數求解曲線的切線問題

摘要：隨著江蘇高考改革的步伐，我們發現導數部分在高考數學試卷中所占的比例越來越大，而利用導數求解曲線的切線問題又是導數中的一個重要問題，幾乎可以說是一個必考點。因此，如何徹底解決這一問題已經成為我們高中數學教學的一個重中之重。

關鍵詞：導數；切線；誤區；通解通法

一、對切線問題認識的誤區

1.切線與曲線的公共點不一定是切點

例題1. 若直線是曲線的切線，求實數。

錯解：曲線過定點，切線也過點

因而點為切點，切線的斜率為1

而

故

所以

正解：設切點為

因為切點一定在切線上，所以

而 切線斜率為1，切點又在曲線上

故

解得：，或

當時，

當時，

所以，或

2.曲線與切線只有一個交點

例題2. 過曲線上一點的切線的方程是 。

錯解：。

過點的切線的方程為，

即。

正解：設切點坐標為，

則，

切線方程為。

切線過點，切點在曲線上，

。

化簡得：，即。

解得：或。

當時，切點即，

切線方程，即；

當時，切點即為，

切線方程為，即

3.切線不能穿過曲線

例題3. 已知兩條曲線和y=x在處的點的切線互相平行，則的值為 。

A.0或 B.0 C. D.0或

錯解：兩條曲線在處的切線的斜率分別為，則，解得或0。

當時，曲線在原點處的切線為x軸，但從圖象上看x軸穿過該曲線，不是切線，故舍去。因此，填。

正解：在學習圓錐曲線時，平行于雙曲線的漸進線（拋物線的軸）的直線與雙曲線（拋物線）只有一個交點，但并不是切線，由此便以為切線不能穿過曲線。其實，題中x軸是曲線y=x3的切線，也不難從切線的幾何背景來加以解釋。根據導數的幾何意義，如果函數在點x=x0處的導數存在，那么這個導數值就是曲線在該點處切線的斜率，至于該直線與曲線有多少個交點、是否穿過曲線等等，是不會影響它的切線“身份”的。所以，答案為0或。

小結：利用導數求解曲線的切線問題中主要有以上三種誤區，那么，我們怎樣在以后的學習中避免這些錯誤，這些都是我們研究的方向。在此，筆者認為運用通解通法求解類似問題是當前高中數學教學的一個大方向，同時也是最實用的方法。

二、利用導數求解曲線的切線問題的通解通法

1.過曲線上某一點的切線

例題4. 已知曲線上一點，過點的切線方程為，求的值。

解：設過點的切線的切點為，

由，得切線方程.

將及代之，整理得，即，解得或.

故過點的切線方程為或，即或.

比較已知切線方程，得或

評注：“過點”與“在點處”的切線是兩個不同的概念.

2.過曲線外某一點的切線

例題5. 求過且與曲線相切的直線方程。

解：設切點為，

切線的斜率為，

設此切線方程，

此切線過，

故。 ①

點在曲線上，故。 ②

由①、②，解得

故所求直線方程為，

即。

3.與已知直線平行（或垂直）的直線

例題6. 若曲線在點處的切線平行于，求此切線方程。

解：設切點，

切線的斜率為。

解得或。

則或

故所求切線方程為或，

即或。

4.公切線

例題7. 已知拋物線和.問取什么值時和有且只有一條公切線？并寫出此公切線的方程.

解：設公切線分別與和切于點和.

由，得二重合切線方程 和，

此時

整理，得消去，

整理，得.

注意到惟一，則，

解得，此時，

求得公切線為.

評注：公切線未必過同一切點.

5.多條切線

例題8. 由坐標原點向曲線引切線，切于以外的點，現由引此曲線的切線，切于，如此進行下去，得到點列.求數列的通項公式.

解：由，

得點處的切線，

將代入，可得.

點處的切線，

將代之，整理得.

注意到，得，即.

故即.

評注：條切線“頭尾”處理.

小結：在此，我們總結了利用導數求解曲線切線的五類問題的通解通法。我們不求發現多少特殊方法，而怎樣讓學生能夠又快又準地解決類似問題才是我們的最終目的。

參考文獻：

[1]單墫.普通高中課程標準試驗教科書[S].南京：江蘇教育出版社，2005.

[2]王進良.高等數學全程導學及習題全解（第六版）[M].北京：中國時代經濟出版社，2007.