一元二次不等式解法之淺析

摘要：學生進入高中已經一年了，無論是在數學知識上還是在數學方法和思想上都有了新的收獲和體會。而解一元二次不等式是教師和學生經常在題目中會遇到的。例如，求函數的定義域和值域。可是有關于一元二次不等式的解法在初中根本沒有講，在高中教材中也沒有涉及，這就需要教師對這一方面的知識進行補充。那么，我們應如何解決這類問題呢？本文就此開展了初步的探討，以期給廣大教師帶來幫助。

關鍵詞：一元二次不等式；解法；反思

針對一元二次不等式的解法，筆者在此通過一些典型的例子來作一簡單的分析和總結，并對其進行了淺要的反思。首先，筆者和同仁一起看一個例子：

上網獲取信息已經成為人們日常生活的重要組成部分，因特網服務公司（ISP）的任務就是負責將用戶的計算機接入因特網，同時收取一定的費用。

某學生要把自己的計算機接入因特網，比如說在我們周圍現有兩家ISP公司電信和網通可供選擇。假如電信公司每小時收費1.5元（不足1小時按1小時計算）；網通公司的收費原則：在用戶上網的第1小時內（含恰好1小時，下同）收費1.7元，第2小時內收費1.6元，以后每小時減少0.1元（若用戶一次上網時間超過17小時，按17小時計算）。

一般來說，一次上網時間不會超過17小時，所以，不妨設一次上網時間總小于17小時。那么，一次上網在多長時間以內能夠保證選擇電信公司的上網費用小于或等于選擇網通公司所需費用？

分析問題：假設一次上網x小時，則電信公司收取的費用為1.5x（元），網通公司收取的費用為（元），如果能夠保證選擇電信公司比選擇網通公司所需費用少，則，整理得：一元二次不等式模型：。

為了計算每次上多少時間才能保證選擇電信公司比選擇網通公司所需費用少，則需解一元二次不等式：。

那么，怎樣求不等式的解集呢？

探究：

一元二次不等式不是我們熟悉的東西，但是大家看和是什么？

我們十分熟悉的二次函數和一元二次方程，那么這三者之間又有著怎樣的關系呢？

通過分析，我們很容易知道：二次方程有兩個實數根：，二次函數有兩個零點：。

于是，我們得到：二次方程的根就是二次函數的零點。

接下來，就需要我們觀察圖象、獲得解集。首先，我們先畫出二次函數的圖象。如圖，觀察函數圖象，

可知：1.當 x < 0，或x > 5時，函數圖象位于x軸上方，此時，y > 0，即；

2.當，或時，函數圖象與軸相交，此時，，即；

3.當0 < x < 5時，函數圖象位于x軸下方，此時，y < 0，即。

通過上述分析，我們可知，不等式的解集是

上面的這一例題向我們展示了一元二次不等式的求解過程，接著，我們對一元二次不等式所包含的解法一一加以探究。

一、探究一般的一元二次不等式的解法

一元二次不等式的定義：像這樣，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式。

例1.解不等式：（）.

解法1：（解一元二次不等式的一般方法：轉化為解二次函數何時大于零）：當，方程有兩個不相等的實數根，，此時拋物線（）與軸有兩個交點。（如圖）

∴不等式（）的解集是或；

當，方程有兩個

相等的實數根，此時拋物線（）與軸只有一個交點。（如圖）

∴不等式（）的解集是；

當，方程沒有實數根，此時拋物線（）與軸沒有交點。（如圖）∴不等式（）的解集是。

解法2：（轉化為解一元一次不等式組）：

，

若，方程有兩個實數根，，則。

∴或， ∴或，

∴不等式的解集為或；

若，方程有兩個相等的實數根，則

。∴，即不等式的解集為；

若，方程沒有實數根，此時恒成立，

∴不等式的解集為。

解法3：（轉化為解簡單的絕對值不等式）：

，

∴原不等式可化為。

若，則，

∴或

∴不等式的解集為或。

若，原不等式可化為，∴不等式的解集為；

若，則不等式的解集為。

二、總結后一元二次不等式的解法

法1：先求相應一元二次方程的根，然后畫出相應的一元二次函數的草圖，最后寫出不等式的解集，這種解法我們稱之為圖象法。

法2：化為一元一次不等式組求解；

法3：化為簡單的絕對值不等式進行求解；

當然還有判別式、求根法以及配方法等。

例2.解不等式

解：法1：方程的，所以方程有兩個不相等的實數根，。此時，拋物線與x軸有兩個交點，。如圖：

又，

∴=，=5

由圖象可知，要使則，∴得或。

∴不等式的解集為

法2：由法1知=，=5，所以原不等式可化為

∴有或得或

∴不等式的解集為

法3：原不等式可化為即：

即或得：或

∴不等式的解集為

反思

1.由本例知二次函數有三種表達形式：一般式、頂點式和兩根式，即：

，，，（），，是的兩根，何時采用何種情形，應視具體題目而定。

2.解一元二次不等式（或），當時，可以采用不等式兩邊同乘以后不等號改變方向，將的情形轉化為的情形去解。

3.這三種方法深刻地揭示出一元二次不等式與其他知識間的內在聯系。二次方程、二次函數、二次不等式三者之間的聯系是：

參考文獻：

[1]程華夫，陳秋冬.例析一元二次不等式的解法[J].初中數學教與學，2010（6）.

[2]楊柳.淺談一元二次不等式解法的教學方法[J].中學教學參考，2010（13）.