談談數學問題中的一題多解

摘要：一題多解是由多種途徑獲得同一數學問題的最終結論，文中主要從一題多解的定義、解題思想、典型例子以及其對學生產生的意義出發，一題多解不但達到了解題的目標要求，而且讓學生的思維得以拓展，不受固定思維模式的束縛。學生多角度、多方位地去思考解題的方案，讓解題增添了新穎性和趣味性，并在解題中解放了解題思維模式，使得枯燥的數學解題更加豐富而多彩。

關鍵詞：定義；思想；范例；意義

一、一題多解

一題多解，就是啟發和引導學生從不同角度、不同思路，運用不同的方法和不同的運算過程，解答同一道數學問題，即由多種途徑獲得同一數學問題的最終結論，它屬于解題的策略問題。心理學研究表明，在解決問題的過程中，如果主體所接觸到的不是標準的模式化了的問題，那么，就需要進行創造性的思維，需要有一種解題策略，所以策略的產生及其正確性被證實的過程，常常被視為創造的過程或解決問題的過程。

數學問題的解題策略是指探求數學問題的答案時所采取的途徑和方法。在數學解題中一般包括枚舉法、模式識別、問題轉化、中途點法、以退求進、特殊到一般、從整體看問題、正難則反等策略。一題多解則是諸多解題策略的綜合運用。在教學中，積極、適宜地進行一題多解的訓練，有利于充分調動學生思維的積極性，提高學生綜合運用已學知識解答數學問題的技能和技巧；有利于鍛煉學生思維的靈活性，促進學生知識與智慧的增長；有利于開拓學生的思路，引導學生靈活地掌握知識之間的聯系，培養和發揮學生的創造性。

二、一題多解的解題思想

數學思想是人類對數學及其對象，對數學的概念、命題、法則、原理以及數學方法的本質性認識。在數學研究范圍的拓展、研究對象的延伸、數學方法的形成、各種方法之間的融合并發展成新的方法等過程之中，都體現出數學思想的核心作用。數學知識和方法是形成數學思想的基礎，但有了知識不等于有思想，方法如果沒有思想作為靈魂，就只能是一種機械的“操作手冊”數學思想是數學的核心與靈魂，它不僅是數學的重要組成部分，而且是數學發展的源泉與動機。因此，在數學教學中，教師要注重向學生傳授方法，但更應該注重向學生傳授數學的基本思想。

1.化歸轉化思想

化，就是變化原問題，轉化原問題，變換原問題；歸，說的是變化、轉化、變換原問題是有目的、有方向的。所謂“化歸”即轉化和歸結的意思，是指將有待解決或未解決的問題，通過某種轉化過程，歸結到一類已經解決或較易解決的問題中去，最終求得原問題解答的一種手段和方法。

客觀事物是不斷發展變化的，事物之間的相互聯系和轉化，是現實世界的普遍規律。數學中充滿了矛盾，如已知和未知、復雜和簡單、熟悉和陌生、困難和容易等，實現這些矛盾的轉化，化未知為已知，化復雜為簡單，化陌生為熟悉，化困難為容易是化歸的思想實質。任何數學問題的解決過程，都是一個未知向已知轉化的過程，是一個等價轉化的過程。

早在17世紀，法國哲學家、數學家笛卡兒就稱這種化歸方法為解決數學問題的“萬能方法”。著名數學教育家波利亞給予化歸法高度的評價，認為它是解決數學問題的首要方法。化歸是一種最基本而典型的方法。

例1.設函數，，若，求

分析：求函數值，首先想到的是求函數值的已知的模型：函數給定，代入求值。由于條件中函數并未具體給定，故而求不出結果；同時想到能否先確定字母系數a、b，把問題仍化歸為已知的模型，但條件不夠。

兩度受挫，再深入的理解觀察發現，已知函數值和待求函數值 的自變量取值的微妙聯系——互為相反數，據此聯想到函數的奇偶性，從而作出如下化歸：

引入一個奇函數

因為

所以

這里，化歸的目標是奇函數，化歸方法是把函數進行了適當的分解，化歸目標、方法確定的最直接誘因是已知函數值與待求函數值自變量的值恰好互為相反數這一特征。

2.數形結合思想

關于數形結合，華羅庚教授評價說：數與形，本質相倚依，焉能分作兩邊飛；數無形時方直覺，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休；切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系切莫分離。

數與形是數學教學研究對象的兩個側面，把數量關系和空間形式結合起來去分析問題、解決問題，就是數形結合思想。“數形結合”可以借助簡單的圖形、符號和文字所作的示意圖，促進學生形象思維和抽象思維的協調發展，溝通數學知識之間的聯系，從復雜的數量關系中凸顯最本質的特征。其實質是將抽象的數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，發揮數與形兩種信息的轉換及其優勢互補與整合。

3.歸納思想

在研究一般性問題之前，先研究幾個簡單的、個別的、特殊的情況，從中歸納出一般的規律和性質，這種從特殊到一般的思維方式稱為歸納思想。數學知識的發生過程就是歸納思想的應用過程。在解決數學問題時運用歸納思想，既可以由此發現給定問題的解題規律，又能在實踐的基礎上發現新的客觀規律，提出新的原理或命題。因此，歸納是探索問題、發現數學定理或公式的重要思想方法，也是思維過程中的一次飛躍。

此外，還有模型思想工作、演繹思想、類比思想、正難則反思想等等。

三、一題多解的解題范例

中小學數學中一題多解的例子很多，若能靈活運用啟發，則對訓練學生思維極為有利。我們先來看一個例子：

例2.求1+3+5+7+……+89=？

運用高斯算法，能夠很容易地得出該題的結論，但這僅僅是就一般的計算而言。對問題的進一步研究，又使我們得到以下兩種運算方式：

第一種：

1=1×1

1+3=2×2

1+3+5=3×3

……

1+3+5+……+89=45×45

第二種：

由于，1=1×1×1

3+5=2×2×2

7+9+11=3×3×3

……

73+75+……+89=9×9×9

所以，1+3+5+……+89=1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+9×9×9=13+23+33+……+93。

當然，我們可以將上述運算作一般性的推廣，使學生的解題思路更加開闊。然而，其真正的用意卻在于：

第一種運算中，等式右邊的1×1、2×2、3×3……45×45，是來自對平面圖形——正方形的直接觀察，1×1、2×2、3×3……45×45分別為邊長是1、2、3……45的正方形面積，因此，求1+3+5+7+……+89的和，等同于計算邊長為45的正方形面積。

第二種運算中，等式右邊的1×1×1、2×2×2、3×3×3……9×9×9，則是來自對空間圖形——正方體的直接觀察（圖略），1×1×1、2×2×2、3×3×3……9×9×9分別為棱長是1、2、3……9的正方體體積，求1+3+5+7+……+89的和，等同于計算棱長分別為1、2、3……9的正方體體積的和。

在本例題目中，通過對加數進行轉化，而轉化后的數量關系獲得了幾何解釋，運用數形結合思想，以及歸納思想使問題變得直觀形象、易于觀察到問題的本質。

四、一題多解的意義

一題多解不但從實際上解決問題，為解題提供不同的策略和方法，也為學生解題思維產生重大的教育意義。

1.一題多解有利于拓寬學生的思維空間

在解題時，要經常注意引導學生從不同的方面，探求解題途徑，以求最佳解法。教師要為學生而教，要為學生創造思維的空間。一題多解的核心是開放學生的思維、是拓寬學生空間的具體形式。

一題多解有利于培養學生思維的靈活性

中小學生的思維是以具體形象思維為主，容易產生消極的思維定勢，造成一些機械思維模式，干擾解題的靈活性。一題多解的設計，是促使學生對同一問題展開多向思考，促使學生的思維呈現活化狀態，是鼓勵學生標新產異，培養學生思維靈活性的有效途經。

一題多解有利于培養學生思維的嚴密性

思維的嚴密性是指分析、思考問題時全面、細致，能把各種可能出現的情況都考慮到，并能正確推導出結果。由于受思維定勢的影響，有些學生常常在解題中把不相干的數據連接起來或在證明題中論證不必要的步驟，而忽視它們的邏輯意義。一題多解因為具有答案唯一的特性，因而需要學生全方位，細致入微地分析問題，從而培養學生思維的嚴密性。

一題多解有利于培養學生的創造性思維

創造性思維，它要求學生憑借自己的知識水平能力，對某一問題從不同的角度，不同的方位去思考、創造性地解決問題。在教學中，教師要重視學生思維能力的培養，特別是創造性思維，它是思維過程中的最高境界。在教學中應充分挖掘教材中的智力因素，多啟發、多引導，努力創造條件，引導學生從各個角度去分析思考問題，發展學生的求異思維，給學生以創新的機會，使其創造性地解決問題。

5.一題多解有利于鼓勵學生獨立個性的發展

每個人都有自己的數學現實，即每個人都有自己的生活、工作和思考特定客觀世界以及反映這個世界的各種數學觀點、運算方法和有關知識結構。在教學中，教師就要充分滿足不同水平、不同認知風格、不同個性的學生發展需要，使學生按照各自特定的方式發展自我、完善自我，從而形成個性的獨特與健康。

6.一題多解有利于轉變學生的學習方式

由于一題多解中解法的多樣性、新穎性，促使學生自主探究、相互進行交流與合作。為了尋找更簡潔的解題方法，學生會主動查資料，學習從不同角度研究問題，還能主動與他人合作，分享經驗提高學生的學習信心。

一題多解不但能讓學生達到解題的目標要求，而且讓學生的思維得以拓展，不受固定思維模式的束縛。學生多角度、多方位地去思考解題的方案，讓解題增添了新穎性和趣味性，解題思維模式解放了，解題方法也應多種多樣，這樣才能使得枯燥的數學解題變得更加具有吸引性，學生才能更加對數學感興趣，而不會覺得數學枯燥無趣。