分層次 小步走 面向全體 共同提高

摘要：在教學過程中如何選擇適當的方法，讓所有的學生都參與到學習的過程中，使各層次的學生得到共同的發展，是一個值得每位教師探索的問題。

關鍵詞：數學；分層教學；探究

中圖分類號：G427文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2013）02-079-2

我校是一所新創辦的普通高級中學，學生來源廣，知識水平、認知能力參差不齊。如果課堂教學不顧學生的個性差異，搞“一刀切”，則會帶來消極后果；若要求較高，只顧及少數尖子生的“迅速發展”，必然會影響中、“學困生”（把基礎較差或學習有困難的學生稱為“學困生”）的學習效果，造成兩極分化的現象；若總是片面地照顧“學困生”，低要求、低標準，則既不能真正地轉化“學困生”，更抑制了優秀生的發展要求。因此，要貫徹面向全體的教學思想，就必需在兩者之間找到平衡點，力求使各個層次的學生互相促進共同發展，“學困生”不弱，優生更優。

一、降低起點，顯現根源，同時起步

復習導引：師問：（1）數軸上兩點間的距離公式？（2）直角坐標系中點A（x1，0），B（x2，0）之間的距離如何表示？改為A（0，y1），B（0，y2）呢？（3）直角坐標系中點A（x1，0），B（x2，y2）之間的距離如何表示？改為A（x1，y1），B（0，y2）呢？（4）求下列兩點間的距離：1. A（2，3），B（5，3）2. A（-2，3），B（-2，5）3. A（1，0），B（3，5）4. A（1，4），B（1，-3）你能得到更一般的結論嗎？（讓學生先思考，再討論交流）

生答：對A（x1，y0），B（x2，y0）有|AB|=|x1-x2|；對A（x0，y1），B（x0，y2）有|AB|=|y1-y2|；

師問：A（2，3），B（3，5）之間的距離如何求？一般地，對A（x1，y1），B（x2，y2），當AB不平行于坐標軸時，|AB|又如何表示呢？

板書課題：兩點間的距離公式

（一個好的教學設計就是由若干個“問題串“形成的一個完整的過程。如果“問題串”中的“問題“設計得太簡單了，那么就達不到讓學生認知的目的，如果設計得太難了學生的理解跟不上，那么就違背了我們的初衷。因此，要把握好“問題串”的“度”。

本節課開始若直接由數軸上的兩點間的距離引入直角坐標平面上兩點間的距離，優生的抽象思維能力可以得到很好的訓練，但會使中、“學困生”產生思維障礙，特別是基礎不好的學生，其思維啟動慢，需較多地依賴于感性認識，習慣于形象思維。故本節課從已有的知識出發，通過自然的類比引伸，符合學生的認知能力，對優生亦有吸引力。對特殊情形的研究，為基礎不好的學生提供了所需的感性材料，從特殊到一般的過程為學生創造了認知的情境，為解決課題作好了鋪墊，并培養了學生抽象、概括能力。提供原型，發展已知，探求矛盾恰恰是認識的出發點，也是提高學習興趣的根本做法，因此能促使所有學生同時啟動思維的閘門，進入對新知渴求、希望探索的思維狀態）

二、放慢節奏，延遲判斷，共同參與

新授：讓學生探求：A（2，3），B（3，5）之間的距離，留足夠思考的時間，并進行討論。

（教師在課堂上要敢于給學生以思考的時間，把數學發現的成功機會留給學生，讓學生真正成為數學發現的主人。有老師擔心這樣做耗時較多，帶來課堂容量不足，影響教學效果。其實，片面追求課堂內容上容量是“填鴨式”教學的典型特征，沒有學生的主動參與就不可能有高密度的思維容量，而這恰恰是我們追求的目標。要增加思維容量，一種有效的手段就是放慢節奏，延遲判斷，留下充裕的時間，將探索和發現的機會讓給學生。若直接得出結論，再加以證明則失去了一次訓練思維，滲透數學思想的良機。這種做法無論對優生還是學習困難的學生都是很有必要的：優生發現問題的機會大大增加，并贏得反思的時間；“學困生”增加了思考的時間，由于可以互相討論，他們可以從其他同學那里得到某種啟發，并有足夠的時間進行“所以然”的討論。可見這一做法增加了集體的參與程度，促進了學生的互相作用，提高了課堂思維密度）

三、仔細分解，收縮跨度，各得發展

提問：你是怎樣求A（2，3），B（3，5）之間的距離的？（盡可能讓“學困生”回答）

師（提煉思想）：構造直角三角形的過程，實際上是把未知問題轉化為已知的過程。這就是化歸思想。那么對A（x1，y1），B（x2，y2）之間的距離又如何求呢？

由于特例的啟發，學生可以想到解決的方法，而發現的過程本身就是證明。

（以上的過程作了兩個方面的分解，其一，先研究特例再解決一般情形，前者為后者作了有效的鋪墊，并有機地滲透了特殊化的思想方法。其二，將AB的距離分解為兩直角邊的探求，通過轉化步入了“最近發現區”。這種做法既能幫助“學困生”弄懂弄通，又是對科學的思想方法的演示和數學思想方法的操練，對全體學生都是大有裨益的。因此對于學生層次不整齊的班級，合理的分解思維過程，逐步收縮思維的跨度是非常必要的。不過這一收縮和分解的主動權應交給學生，決不是由教師分解得一清二楚。收縮過程要讓學生明了分解的目的，力求上升到思想的高度，獲得高效能的教學效果）

四、及時反饋，加以鞏固，夯實基礎

鞏固：練習1 求兩點間的距離

1.已知：平面內A，B兩點，求兩點間的距離

（1）A（-2，3）， B（4，5）（2）A（-5，-6）， B（2，-4）

練習2 已知：點A（x，0）和B（2，3）的距離為32，求x的值。若|AB|為3或2呢？

練習3 判斷△ABC的形狀

已知：△ABC三個頂點A（-1，0），B（1，0），C（12，32），試判斷△ABC的形狀

（在概念講解以后，通過題組的形式，對概念及時鞏固，通過反饋有利于及時發現問題，解決問題。練習1是兩點間的距離公式的直接應用；練習2是兩點間的距離公式的逆用，訓練學生的逆向思維；練習3是兩點間的距離公式的實際應用，訓練學生應用公式解決實際問題的能力。）

例題：求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

注意講解例時要使學生明確兩點，第一為什么要建立坐標系（要表示式中的線段長，就需要知道各點的坐標）；第二怎樣選擇坐標系？（培養求簡意識）

（公式的形式對稱，易于記憶，及時利用利于提高記憶效果。知識是能力的保證，上述例題練習對掌握基礎知識基本技能是非常必要的，練習1直應用公式，起記憶之效；練習2反映了公式中的變量知四求一，滲透了方程的思想，學會靈活運用；例題體現了解析幾何的基本思想；用代數的方法研究幾何問題，是解析法的啟蒙，合理建立坐標系和恰當設點也是解析幾何的基本技能，幾個問題逐層深入，使各個層次的學生的基礎知識，基本技能得到訓練和強化，為進一步發展創造了有利的條件。

應該注意為使鞏固練習起到反饋信息的作用，練習的形式要靈活多樣，如對容易混淆的概念要創設適當的糾錯情境，從正、反、側多方面對概念進行剖析，在對比和分析判斷中正確辨析新舊概念的異同。對過于抽象的內容要以循環反復，螺旋遞進的方式進行練習，力求在練習中加深對概念的理解。應重視外延對理解內涵的輔助作用，在對特殊對象的共性分析中深化對內涵的理解。總之，扎實的基本功對所有學生都是不可或缺的）

五、巧妙引伸，適度拓展，挖掘潛能

提問：（3+1）2+（-2-1）2表示哪兩點間的距離？（x+1）2+（y-1）2表示哪兩點間的距離？求函數y=x2+x+2+x2-2x+2的最小值。

（兩點間的距離公式實是計算線段長度的代數式，它體現了一種特定形式的代數式的幾何意義，因此應該在應用這種幾何意義進行逆向思維訓練的同時將知識活化，通過數形轉化培養思維的創造性和深刻性。這是利用知識的內涵進行的拓展，對優生來說無疑是一次發展能力優化思維的良機，而對中、“學困生”而言也是不難接受的。特別是在由具體實例作了感性準備后，又由于問題本身的趣味性能調動起積極的參與意識和活躍的思維活動，對挖掘“學困生”的潛能也是很有功效的。）

六、多討論，交互作用，互相促進

讓學生討論如何應用距離公式求上述函數的最小值。

（學生水平差異較大時，發揮學生的交互作用是逐步縮小差距的主要措施。這種交互作用一方面能使“學困生”得到優生的幫助啟發，感受到團結互助的溫暖和集體智慧的力量，從而增強上進的信心和勇氣。由于討論是在平等的氛圍中進行的，與由教師提問優生得到結果相比，不僅是“學困生”的參與程度增加了，更使其參與意識增強了。特別是“學困生”想到了某些優生也未想到的方法時其信心更是倍增。另一方面，討論在培養優生的能力上也是很有益的：要將自己的觀點讓“學困生”理解，就必須準確、形象地表達自己思想。這一表述過程既有優生自己的反思，也有“學困生”的評價，對完善思維是有很大幫助的。而“學困生”難以理解之處正可以使優生弄清問題的關鍵，從而強化對重點難點的認識。當然當“學困生”提出了優生未想到的見解時也是對優生的自我教育）

七、善于總結，歸納提煉，發現規律

解決上述問題后，讓學生思考還有何種最值問題也可以用這種轉化方法處理。根據平面幾何中的兩類問題的類比，可以發現形如最大值的問題亦可運用數形結合法解決再引導學生對課本內容進行小結：

（1）公式及其推導方法；

（2）公式的作用：①求距離；

②代數問題幾何化；

③蘊涵的數學思想。

（總結是抽象概括的過程，是使學習內容條理化的過程。總結過程本身能培養學生的抽象概括能力，而總結的結果能使學生抓住這一節課的精髓，尤其是“學困生”，其條理化程度低、掌握的知識較為零碎，只有通過總結使之形成板塊結構，方能讓其抓住“綱”而帶動“目”。另外，將思想方法應于分析過程之中對優生是有效的，但對“學困生”效果不佳。筆者認為，通過總結將隱于教學之中的思想方法加以明顯化，并使學生掌握這些思想方法，對提高學生尤其是中差生的能力是必不可少的。也只有做到這一點，對“學困生”的轉化才能變為現實。）

八、留有余味，延伸課外，發展特長

最后提出問題課后思考：求函數y=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1的最大值。

（運用課堂內容的自然延伸，創設課外的思維空間是促使學生個性特長得到充分發揮的一種有效手段，也是因材施教教學原則的重要體現。）