數形結合——給學生一個立體的“數學”

摘 要：數學家華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”要幫助孩子們解決學生思維與能力之間差異這一矛盾，最好的方法就是在數學課中，想辦法讓孩子們體驗到數形結合的思想，由數及形，因形尋數，找到攀登的腳手架，數學在他們的眼中也會隨之變得簡潔而豐富。

關鍵詞：數形結合；見數思形；見形想數；以形助數

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2013）04-093-2

“數”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數”和“形”的矛盾的統一。恩格斯曾說過：“數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學”。 “數形結合”是一種重要的數學思想方法。數形結合的思想滲透在數學教學的每一個領域，教師只有在平時的教學中扎扎實實落實“數形結合”的思想，學生才能真正做到見數思形、見形想數、以形助數、以數輔形。

一、見數思形

匈牙利著名數學家路莎·彼得的一句話：“數學家往往不是對問題進行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，甚至把它轉化為已經得到解決的問題。”

[片段賞析]

計算12+14+18+116=

師：這個算式有什么特點？學生發現前一個分數是后一個分數的2倍。

師：怎樣解決這個問題呢？

生：把12轉化為816，把14轉化為416，把18轉化為216

師：這是用通分的方法轉化，有沒有更簡潔的方法呢？

課件分步演示，出示右圖：

師：看圖想一想，可以把這個算式轉化成怎樣的算式計算？

生：12+14+18+116=1-116=1516

師：再出示下面的算式，讓學生嘗試解決。

13+16+112+124=

學生自然通過畫圖分析：13+16+112+124=13×2-124=1524

通過上面的畫圖分析，使學生直觀地感受到了加法轉化成減法的思維過程，看起來一目了然，這不正是數形結合的優越性嗎！經常在教學中滲透數形結合的思想，就會在學生頭腦中播下了形與數有密切聯系的種子，久而久之，學生也就會逐漸體會到數學中形與數之間的無限魅力。

二、見形想數

數的產生源于對具體物體的計數。我們不難發現從數的概念的建立到數的運算，處處蘊涵著數形結合的思想。生動形象的圖形使得抽象的知識變得趣味化、直觀化，讓學生在學習時，不再感到枯燥乏味，反而能夠使學生從中獲得有趣的情感體驗，讓學生主動去探索，把握概念本質。

[片段賞析]

師：知道“0.4元”是多少錢嗎？

生：0.4元就是4角。

（板書：4角=0.4元）

師：4角錢有沒有1元多？

生：沒有，少得多。

師：看來，和1元相比，0.4元只能算是一個“零頭”了。如果我們用這樣的一個長方形表示1元（出示一個空白的長方形），你能想辦法將0.4元表示出來嗎？

（學生拿出練習紙折折、畫畫、涂涂，將自己的設想表示出來）

師：告訴老師，你們想折出什么結果？

生：把它折成10等份。

師：為什么要折成10等份呢？

生：因為1元等于10角，折成10等份后1份就是1角，4份就是4角。

（再展示幾張學生動手折、畫、涂的紙片，歸納共性：畫的長方形平均分成10份，其中的4份涂色）

師：通過大家的創造，可以看出，“0.4元”就是將1元平均分成10份，表示出其中的4份。（屏幕逐步顯示1元平均分成10份，1份是“1角”，然后再涂4份的過程）

師：這樣的圖示，大家并不陌生吧。它讓你想起什么了嗎？

生1：以前咱們學分數時，也是這樣子平均分一分、涂一涂。

生2：我想到了元。把1元平均分成10份，其中的4份就是410元。

師：哦，原來0.4元和我們熟悉的 410元的意義一樣啊。

……

以上是許衛兵老師執教的《認識小數》片段。這部分教學，跟一般的教法相比，最大的變革就是，教師讓比分數還抽象的小數擁有了自己對應的直觀畫面。真正做到了數形結合！同時，師生共同對圖示的幾個十分之一，逐一計數追問，手法樸素、本真，簡約地突出對小數單位（0.1）工具、標準的意義理解，促進小數數型模型的生成性建構。通過以上的數形結合，小數的意義化抽象為直觀，顯得有血有肉，非常豐滿。

三、以形助數

對于數學而言，思維是內在的，本質的，而語言是外在的。數學信息的出示可以是文字語言，也可以是符號語言，還可以是圖像語言。對于學生而言，不僅要學會讀懂這些信息，而且要學會信息之間的轉換；而對于老師而言，更要注意不同語言形式在不同環境下的合理使用，使你的課堂更加精彩。

[片段賞析]

（將涂一涂中的圖放大印給學生，其中圓片制成三種不同大小，正方形改成長方形）

師：請同學們打開學具袋，動手折一折，再分別涂出它們的12。

（學生獨立活動，教師巡視）

師：展示學生的作品，并引導學生各自說說怎樣得出12的。

師：（將學生的作品分三個層次展示）結合展示追問：

（1）圖形的種類不一樣，為什么都可用12表示？

（2）同一張長方形紙，涂色部分的形狀不一樣，為什么也都用12表示？

（3）同一種形狀，涂色部分的大小不一樣，為什么還都用12表示？

片段中，讓學生在自主涂色、分層展示和互動交流中，多次形象感知12的三要素——平均分、分成2份和表示其中的1份，使學生深刻地認識到雖然圖形的種類（形狀不同）、具體的分法（積同形異）、圖形的大小（形同積異）不同，但他們都具有把圖形平均分成2份、表示其中的1份的特質。從而，讓學生逐步從原型中舍去12的非本質屬性，建立具有一般意義的12的本質表象，抽象出分數12的本質屬性。這一創造性的處理，無疑會使學生對分數的理解步步深入，有效提升從形象到抽象認識12本質特征的價值。