“一元二次方程”教學片段

投影顯示：

開學初，我校要組織一次排球賽，參賽的每兩隊之間都要比賽一場，根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，應組織多少個隊參加比賽？

師：哪個小組有想法了，首先老師要問同學們，總共要打多少場比賽？（生答28.）28場.現在如果我們無法知道，想用方程來解決，我們設什么？設有x個隊參賽，總場數怎么用代數式x表示出來呢？好，老師來引導一下好了，假如你就是那x隊中的一個隊，那你要和多少個隊比賽？

生：x減1個隊.

師：為什么要減1個隊呢？

生：因為自己除外.

師：自己和自己不打，自己隊要和其他隊都打.那這時候，像你這樣的隊有多少個呢？

生：……

師：我們總共設了多少個隊？

生：x個隊.

師：那么每個隊都要和其他隊比多少場比賽？

生：x減1個隊.

師：那么像你這樣的隊有多少個？

生：x個.

師：那么這時候表示成方程，就是……

生：x（x-1）.

師：這位同學站起來，今天咱們兩個初次見面握一下手，他和我握手，我和他熱情接待一不一樣呢？

生：一樣的.

師：所以你對一場比賽在x（x-1）過程中，研究了幾次呢？

生：兩次.

師：那我們應該做什么呢？

生：除以2.

師：非常好，請坐。那好，我們現在再歸納一下。我看有同學還是迷迷糊糊地瞪著老師.我假設我校有x個隊要參賽，那拿其中一個為研究對象，他要和余下的多少個隊比賽？（生答x-1個.）對，x-1個隊比賽.而像這樣的隊有多么個呢？

生：x個.

師：所以呢，我們用x（x-1）來表示，但這時我們發現A對B與B對A是一場比賽，所以我們要做什么？（生答除以2.）對除以2，這時候就是我們總的場次，等于多少場呢？（生答28.）對28場，好，現在和老師來一起化解一下，有分數這樣煩瑣怎么辦啊？兩邊同乘以2，[師板書：x（x-1）=56）.]接著呢，（師板書：x2-x=56.）然后呢，（師板書：x2-x-56=0.）這根我們在黑板上列出的方程是不是很相似呢？對，很相似，實際上，這就是一大類方程，請看一下大屏幕：

這些方程有什么共同特點呢？它們與一元一次方程的區別、聯系在哪里？你會給他們起名字嗎？

師：好，一個小組一個小組來，這位女同學很沉默啊，你來吧，你說他們的共同特點是什么？

生：未知數的次數是2.

師：什么次數是2？（生答最高次數.）對，最高次數.好，請坐.依次下一個.

生：都有相同的未知數.

師：也就是說一個方程里有幾個相同的未知數？

生：一個.

…………

師：（和學生共同總結一元二次方程的定義.）好，我們了解了一元二次方程的定義后，我們接著來.這么多一元二次方程，我們給它一個什么東西才行？首先，我們要用一個一般形式來表示它，大家看，右邊我們必須把它化成什么？（生答0.）對0，左邊最高項是幾次？（生答2次.）2次，接下來可能有1次，也可能有常數項，那么如果2次項我們用x來表示未知項，那么2次項它的系數可能是誰？對，用a來表達，所以表示為ax2，接著加什么？bx，接著還有什么？（生有的說加，有的說減.）那c是什么呢？對是常數項，可能為正，也可能為負，也可能為0，所以我們用加c來表示，這時候呢？等于0.

師：當你把它化成右邊為0的一般形式后，左邊實際上是一個什么式子.

生：多項式.

師：那么多項式一般按照降冪的形式來排列，那么ax2我們把叫作二次項，那么a就叫作二次項的系數，那么接下來同學們說一下bx……有同學說，老師你錯了，我發現了，那么錯在什么地方？

生：a不能等于0.

師：為什么呢？

生：等于0就沒有未知數了.

師：沒有什么了，對沒有二次項，可能它不是一元二次方程，也可能不是一個方程，那么b與c有什么條件？B可以等于0嗎，那么方程就變成了ax2+c=0，那么如果c等于0呢？方程就變成ax2+bx=0，那么這就是我們一般情況下包含的特殊情況，當然還有一個特殊情況，b等于0，c也等于0，這時方程就變成ax2=0，這3種就是一般情況下的特殊情況.好，我們來看一下這個方程：3x2+20x-5 600=0，那么它的二次項是什么？

生：3x2.

師：一次項的系數是多少？（生答20.）對，20，常數項是多少，是5 600還是負的5 600，好的，我們要注意都是說單項式和的形式，把以一定要把它的符號帶上，好，我來提問：x2-x-56=0，我隨意讓一位同學來說，可能我隨便來問一個概念.

…………

【議課】哈爾濱市教育研究院 郭崗田

看了這15分鐘的教學片段，從總體上可概括為：“新”“活”“實”“適”。

新——教師的教學理念新，教學設計新，教學形式新。

活——“活”就是鮮活、靈活、活躍。教師能從鮮活的實際生活引入，并對教材深入挖掘，重組加工，體現靈活性；課堂中教師具備隨機應變的教育能力，能夠巧妙處理預設與生成，發揮學生的主體作用，使課堂充滿活力。

實——“實”主要體現真實、樸實、扎實。這個片段呈現的是真實的課堂教學；能將教學設計中的三維目標與實際課堂教學活動實現有機融合。課堂情境的創設樸實自然，教師引領學生探究、發現、總結、提升，突出了學生的主體地位，使三維目標達到有效的落實。同時，也看出這位教師具有扎實的教學基本功，語言親切、板書規范、媒體使用嫻熟。

適——就是教師點撥適時，問題設置適當，延伸拓展適度。

下面，我具體從以下3方面進行點評：

一、讓學生在經歷新知識的生成過程中，滲透數學思想方法

1.感悟概念的生成，讓學生經歷概念的生成過程。如教師講授一元二次方程與一元一次方程的定義對比，通過幾只球隊參加比賽的例子，得出一元二次方程的定義，并引導學生討論一元二次方程的特殊和拓展，使學生深刻體會到一元二次方程與一元一次方程的區別與聯系。

如果教師能引導學生進一步分析一元二次方程定義的關鍵詞，是不是學生對定義的理解會更好。

2.讓學生經歷一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）中的a、b、c的討論過程，滲透了從特殊到一般，從具體到抽象的數學思想方法，也體現了方程思想、類比思想和數學建模思想。真正使知識與方法有機融合，這也是新版數學課程標準的要求。

二、問題設計

1.具有趣味性。引入學生感興趣的素材，激發了學生的參與積極性，使學生全身心地投入到數學活動中來。如，以球隊比賽、學生握手問題等例子為載體探究知識，提高了學生學習的積極性和主動性。

2.具有應用性。與現實生活緊密聯系，貼近學生生活，充分體現數學來源于生活，又服務于生活的理念。真正體會到數學的應用價值。

3.具有挑戰性，注重在探究中設疑，層層深入，問題的設計符合學生的最近發展區。如，教師通過一些判斷是否是一元二次方程的判斷題，用一般式如何表示一元二次方程等問題，加深了學生對一元二次方程定義的理解。

如果教師對于一些非常簡單的問題能充分放手讓學生回答，不包辦代替，是不是效果會更好。

三、學生活動

從整體來看，大部分學生都能參與到活動中來。每個學生的思維真正動起來了，獨立思考意識強。如，學生在教師的引導下，獨立思考為什么ax2+bx+c=0中，為什么要求a≠0等問題，提高了學生分析問題解決問題的能力。

在學生活動過程中，教師能尊重學生差異，營造輕松和諧的學習氛圍。使不同程度的學生均得到發展，從整體上達成教學目標。

在學生的活動中，如果教師能引導學生通過互動、合作方式去解決問題，評價語言再豐富些，是不是教學效果會更好。