變結構中趨近律的分析與改進

摘 要：本文設計出一種新趨近律，很好地彌補了傳統冪次趨近律在實際生產應用中的弊端，引入到二階系統中，從而得出一個新的控制律。該控制律可保證系統運動終點能很好的趨向滑模面，有降低抖振和保持快速趨近的動態品質。

關鍵詞：變結構 趨近律 抖振

中圖分類號：N3 文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2013.03.045

1 .傳統趨近律的分析

趨近律策略是變結構研究中的一種典型方法，通過分析趨近律，對系統的控制性能和滑模面有一個針對性的了解，達到消除抖振的目的。

在變結構中，傳統趨近律主要包括等速、指數、冪次和一般趨近律。

2 .冪次趨近律的得出

首先從冪次趨近律的微分形式出發進行分析。

冪次趨近律微分形式：

s=-k1s（t）？琢sgn（s（t）） （1）

在有限時間內到達，設■ =k1s（t）？琢，其中 ，k1>0 ，1>？琢>0，

sgn（s（t））=1. s（t）>0 sgn（s（t））=-1. s（t）<0

積分可得：t=■，其中s（0）=s0為系統的初始值。

則： t=■ .

系統軌跡s到達滑模面s（t）=0，那么時間t=■ ，當 0<？琢<1，時，時間 t=■，這樣保證了有限時間到達切換面，從而可以減小抖振。

本文在冪次趨近律基礎上，設計了一個新的趨近律，即s=-k1s（t）？琢sgn（s（t））-k2cos？茁 （2） 其中， k1>0 ，k2>0，1>？琢>0，？茁>1

離散趨近律的到達條件。

取一個SISO系統，狀態方程為：x（k+1）=Ax（k）+bu（k）其中，x（k）=[x1（k），x2（k）]T為狀態變量，u（k）為輸入變量。取T為0.001s，將式離散化，得到離散趨近律為：

■=-k1s（k）？琢sgn（s（k））-k2cos？茁sgn（s（k）） （3）

s（k+1）-s（k）=-k1Ts（k）？琢sgn（s（k））-k2Tcos？茁sgn（s（k）） （4）

其中，T為采樣周期，驗證離散滑模的存在和可達性條件：

[s（k+1）-s（k）]sgn（s（k））<0. [s（k+1）+s（k）]sgn（s（k））>0.

由（3）和（4）得：

[s（k+1）-s（k）]sgn（s（k））

=[-k1Ts（k）？琢sgn（s（k））-k2Tcos？茁sgn（s（k）） ]sgn（s（k））

=-k1Ts（k）？琢s（k）-k2Tcos？茁s（k）<0 （5）

[s（k+1）+s（k）]sgn（s（k））

=[-k1s（k）？琢Tsgn（s（k））-k2Tcos？茁s（k）+2s（k）]sgn（s（k））

=[2s（k）-k1s（k）？琢Tsgn（s（k））-k2Tcos？茁sgn（s（k））]sgn（s（k）） （6）

因此： [s（k+1）+s（k）]sgn（s（k））>0. （7）

綜合（5）、（7）兩式，設計的組合趨近律完全滿足到達條件。

3 .冪次控制律的設計

設定滑模面為s（k）=Cx（k）=0，

即：s（k+1）=Cx（k+1）=C[Ax（k）+Bu（k）]

=CAx（k）+CBu（k） （8）

把（8）式代入離散趨近律（4）中，得：

s（k+1）-s（k）=CAx（k）+Bu（k）]-s（k）

=-k1s（k）？琢Tsgn（s（k））-k2Tsgn（s（k）） （9） 則：

u（k）=-（CB）-1[CAx（k）+k2Tcos？茁sgn（s（k））-s（k）+k1s（k）？琢Tsgn（s（k））]

（10）

首先保證系統可控，滑模控制必須滿足可控條件CB≠0，那么離散控制律為：

u（k）=-（CB）-1[CAx（k）+k2Tcos？茁sgn（s（k））-s（k）+k1s（k）？琢Tsgn（s（k））]

（11）

采用飽和函數sat（s（t））取代符號函數sgn（s（t）），能有效防止控制器發生抖振。

sat（s（t））=1 s（t）>△

sat（s（t））=ks s（k）≤△ k=1/△

sat（s（t））=-1 s（t）<△

則離散控制律（11）式變為：

u（k）=-（CB）-1[CAx（k）+k2Tcos？茁sat（s（k））-s（k）+k1s（k）？琢Tsat（s（k））]

（12）

4 .仿真實例

針對移狀態變量和輸入變量，將其寫成狀態方程形式：

X=Am（t）+Bp（t）

對比仿真圖像，可以看出飽和函數在降低抖振中的效果是非常明顯的。

5 . 結論

本文基于傳統趨近律分析和改進，針對SISO系統有很好的控制效果，且具有很好的魯棒性。由于變結構控制對外界干擾不靈敏，使得其應用范圍很廣。

References

[1] Liu Jinkun（劉金琨），MATLAB Simulation for Sliding Mode Control（滑模變結構控制MATLAB仿真）[M] .Benjing：Tsinghua University Press，2005

[2] Gao Weibing（高為炳），Theory and Design Method for Variable Structure Control（變結構控制的理論及設計方法 ）[M]，Benjing：Science Press（科學出版社），1996.