利用均值不等式求最值的技巧

利用均值不等式求最值是高考的熱點(diǎn)問題. 這類問題主要考查“和定積最大，積定和最小”兩種情況，即已知變量（正數(shù)）的和為定值時(shí)，求積的最大值；已知變量（正數(shù)）的積為定值時(shí)，求和的最小值.在解題時(shí)，要遵循“一正（各項(xiàng)或各因式均為正值）、二定（和或積為定值）、三相等（各項(xiàng)或各因式能取到相等的值，即具備等號(hào)成立的條件）”的原則.

高考試題一般很少直接考查均值不等式的應(yīng)用，而是需要同學(xué)們通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、換元、構(gòu)造等方法，對(duì)題中的式子進(jìn)行調(diào)整、轉(zhuǎn)化，使其符合應(yīng)用均值不等式的情形.下面，我們就談一談?dòng)镁挡坏仁角笞钪档淖冃渭记?

一、添項(xiàng)法

如果所求式的形式為a+b且ab不為定值，我們可以考慮使用添項(xiàng)法，給所求式添上僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)，把它變成a+c-c+b的形式.注意，添項(xiàng)后應(yīng)符合“積為定值”的情形.

例1 設(shè)a>b>0，則a2++的最小值是

（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4

解析： 因?yàn)閍2··=不為“定值”，所以不能直接套用均值不等式求解.觀察可知該式的分母為ab，a（a-b），如果添項(xiàng)后，新增的項(xiàng)和原有的項(xiàng)相乘能消去分母，得到定值，就能用均值不等式求解.

a2++=a2-ab+ab++=ab+

+a（a-b）+

≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)ab=且a（a-b）=時(shí)等號(hào)成立.結(jié)合a>b>0，解得a=，b=. 選D.

評(píng)注： 通過添項(xiàng)把原式分為兩部分，這兩部分各項(xiàng)之積分別為定值，這是求解例1的關(guān)鍵.在使用添項(xiàng)法時(shí)，關(guān)鍵是要仔細(xì)觀察原式，弄明白究竟該添什么項(xiàng)，才能使代數(shù)式的積為定值.

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于添項(xiàng)后屬于“x+型”的求最值問題，我們不妨用添項(xiàng)法一試.

二、拆項(xiàng)法

對(duì)于“x+型”的求最值問題，若兩項(xiàng)之積為定值……