函數變形有講究

提問 對問題“函數f（x）=與g（x）=是相同的函數嗎”，我的解答是：通過分母有理化對f（x）變形， 得f（x）====g（x）. 所以f（x）與g（x）是相同的函數.這種解法對嗎？

回答 要判斷兩個函數是否相同，就要判斷兩個函數的定義域和對應關系是否完全一致.你對形式復雜的函數f（x）進行化簡變形，這個思路是值得肯定的. 變形后， f（x）的表達式恰與g（x）的表達式相同，但這只能說明f（x）與g（x）的對應關系相同.由于g（x）的定義域為{xx≠0且x∈R}，而f（x）的定義域為R，兩者的定義域不同，故f（x）與g（x）不是相同的函數.

問題問的是兩函數是否相同，其本質就是考查函數的等價變形以及對函數定義的理解.你對f（x）進行分母有理化時，將分子和分母同乘以x+1-，由于當x=0時，x+1-=0，所以這一步等于忽略了分母不為0的限制，默認x≠0，縮小了定義域的范圍，因此不是等價變形.

對于分式函數，要在化簡變形的同時確保函數的定義域不變，我們可以采用分子有理化的方法.對分子和分母同乘以x-1-，則f（x）===.由于x-1-恒不為0，所以變形中f（x）的分母也不可能為0.這樣，我們就能在變形中確保f（x）的定義域R不變，使f（x）得到了等價變形.