思想方法經典 解題思維靈活

說到競賽題，同學們的第一印象就是難.那么，競賽題究竟難在哪兒呢？首先，題目背景新穎，其中不少是平時從未見過的.有些題目的形式看似熟悉，但條件或結論仍是比較陌生的.其次，解決問題的思維要求高，很多數學競賽試題難以用常規方法來思考與求解，需要動用較高層次的思維.因此，從試題的難易程度來講，大部分競賽題與側重考查基礎知識和基本技能的高考題不屬于同一個層次.

但高考和競賽這兩種考試共有的選拔功能又決定了兩者之間可以相互借鑒，所以高考試題中經常出現競賽數學思想，以競賽試題為背景，考查同學們靈活解題的能力.這些試題往往出現在客觀題與主觀題的壓軸部分.

不過，具有競賽試題背景的高考題并不像同學們想象的那么可怕，因為它們考查的本質還是高中數學的知識和方法.下面我們就以幾道具有競賽背景的高考試題為例，體驗這類問題的思考方法與解決方法.

利用解方程的思想

例1 [2010年高考數學江西卷理科第22題第（1）問] 證明以下命題：對任一正整數a，都存在正整數b，c （b

解析： 參考答案是這樣的：“考慮到結構特征，取特殊值12，52，72構成等差數列，因此對任一正整數a，只需取b=5a，c=7a就能使a2，b2，c2成等差數列.”

看了這個解答后，我們肯定會疑惑：為什么要取特殊值12，52，72構成等差數列？這種解法是如何想到的？讓我們一起來分析一下.

未知數個數多于方程個數的方程被稱為不定方程，不定方程是初等數論……