中學數學（應用題）與數學建模

摘 要 數學學科具有自身獨有的特性，而將數學知識與實際應用結合起來的理念正得到越來越多的數學教育者的重視與認同，數學應用問題不僅能夠很好地反映數學問題與實際生活問題之間的聯系，建立有效的數學模型，還能將這種聯系更為簡潔、生動地表現出來，因此，中學數學教學者應該認識到這一點，通過多種有效措施來推進數學建模的教學實踐活動。

關鍵詞 中學數學 應用題 數學建模 函數形式

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

Middle School Maths （Word Problems） and Mathematical Modeling

Abstract Mathematics has its own unique characteristics， and the the mathematical knowledge combined with the practical application of the concept is to get more and more attention and recognition of the Mathematics Education mathematics application problem is not only good to reflect mathematical problems with real-life issuesthe link between effective mathematical model， this contact can be more concise， vivid manifested， therefore， the secondary school mathematics teaching should recognize this through a variety of effective measures to promote practical activities of the teaching of mathematical modeling.

Key words middle school maths； word problem； mathematical modeling； functional form

0 緒言

我們在學習和認知的過程中，如果涉及到從定量的角度來研究一個實際問題，就必須要對調查研究的對象進行深入實際的調查和研究，并作出一系列的推斷以及假設，在處理數學問題的過程中，我們就需要用數學專用的符號以及語言，來將所遇到的問題轉化成為數學公式，也就是我們通常所講的數學模型，通過解決在模型中的問題來類推解決實際問題。這樣的一個解決問題的過程就是數學建模的過程。在中學數學教育過程中，我們需要解決很多與實際生活密切相關的問題，特別是應用題，鑒于此，我們就需要在這個過程中建立起一種數學模型，從而輔助學生更迅速地解決所遇到的問題。

在教育部下發的關于《基礎教育改革綱要》中，明確指出，在課堂授課過程中，要加強授課內容與學生的生活以及現代社會發展之間的關系，要投入精力去關注學生的學習興趣以及經驗，將一些有利于學生長遠發展的知識與技能教授給他們。從這個角度來看我們在中學教學過程中積極開展數學建模活動，對于更好地執行與發揚課程改革的思想，有著非常現實的意義。

1 在中學數學教學過程中建立數學模型的意義

從根本上來講，數學建模活動是一種再創造性的活動，它是一種讓學生去親身經歷做數學的教學過程，并在這個過程中形成自身特有的數學意識，方便后續的數學問題的解決。建立數學模型，是當下數學學習的一種較為新穎的方式，它擺脫了以往那種題海戰術和填鴨式的教學方式，更多地倡導學生動手去實踐和探索交流，將更多的主動權交給了學生。在中學，開展有效的數學建模活動，有利于學生更好地理解數學問題，發現數學的價值，并能激發他們主動將數學知識與日常生活中的問題聯系起來，親身體驗那種運用自己所掌握的知識來解決實際問題的過程，對于培養學生的學習興趣，發揮他們的創新性和實踐性有著非常重要的意義。

新課標將數學應用意識提升到了一個較高的高度上，認為在教學的過程中，教師應該提供相應問題的實際背景，從而有效地反映出數學的應用價值，有效地開展數學建模的學習活動，最主要的是，要開設多種能夠體現數學的應用特性的課程，從而方便學生能夠更好地體驗數學的實際效應。我們也必須認識到的是，對中學數學建模教學的研究，是數學教學研究的一個非常重要的組成部分，在新課標下，我們的數學教學改革過程中必須要解決的一個重要的問題，作為中學數學教師來講，要認識到數學建模對于數學教學的重要意義，從自身的實際情況出發，通過多種有效的形式在教學過程中動員學生建立起有效的數學模型，從而輔助他們更好地理解數學問題。

2 中學數學學習對于數學建模的具體要求

在數學學習的過程中，通過建立模型來引導自己的思維模式是一種全新的學習方式，對于學生來講，學習的空間得到了進一步的擴展，他們也有足夠的能力去體驗數學的具體價值，還可以在建模的過程中，洞察到數學這一個學科與其他的學科之間的有效聯系，可以進一步增強自己運用所學到的知識來解決數學問題的能力，并養成了將知識點與實際生活聯系起來的意識，學生在這個過程中，也會自然而然地開始對數學學習感興趣，從而發展自己的創新與實踐能力。①

在新的知識背景和課程改革的要求之下，中學數學應用的建模過程必須要遵循以下幾點：

首先，在建模的過程中，必須要認識到，問題是建模的最關鍵問題，但是問題又是多方面的，不是一成不定的，它通常來源于學生對于日常生活以及現實世界的多種感悟。學校以及學生必須要根據各自的實際情況，來安排數學建模的學習活動，在教學的過程中，要激發學生的學習積極性，鼓勵學生從日常生活中出發，聯系實際，提出一些問題，從而根據問題來建立模型，最終解決問題。

其次，在建模的過程中，教師應該指導學生自己動腦去思維，積極地參與到問題解決的整個過程，并且能夠明確數學和其他學科之間的固有聯系，從而認識到數學這門學科的內在魅力，認識到數學具有很強的實用價值，從而增強學生的動手能力。與此同時，學生在這個過程中，完全可以根據自己的經驗提出一系列的問題，勤于動腦，根據自己理解問題的方式，來主動探討解決問題的方式，理清思路，綜合運用多種知識來解決問題，從而在這個過程中鍛煉自己的創新意識。在解決問題的過程中，教師應該引導學生不能局限于以前的處理方式，在當下，應該運用多種手段來更為簡潔方便地解決問題，譬如說在查找資料的過程中，就可以依賴網絡計算機等工具來實現快捷、準確的操作。

最后，在數學建模解決應用問題的過程中，教師應該積極引導學生與人溝通交流，不能悶不吭聲地獨自思考，應該在溝通與交流的過程中，發現別人的長處，規避自己的缺陷，從而獲得解決問題的靈感，在具體的過程中，應該在堅持獨立思考的基礎上，鼓勵學生交流合作。教師在這個過程中也可以將學生分為幾個學習小組，小組成員之間互相促進學習，從而實現共同進步的目的。在中學數學應用建模的教學過程中，教師應該積極地為學生安排一次建模活動，將課外學習和課內學生很好地結合起來，更充分地結合數學應用教學和數學建模，促進學生的數學學習實現質的突破與飛躍。②

3 中學數學應用建模的具體流程

我們可以通過一個圖表來分析數學建模的具體流程（如圖1），事實上，建模的過程就是這個框圖的不斷的循環往復的過程，當然，結合具體的實際情況，中學階段的數學建模教學有著自己獨有的特性，我們從數學應用的角度來分析建模過程的話，必須要理解和掌握四個主要的層次：

第一個層次是指直接的套用公式來計算；第二個層次是利用現有的模型來分析和解決問題；第三個層次是針對所遇到的問題，進行淺層次分析和加工，對一些主要的問題以及因素建立起數學模型來解決問題；最后一個層次就是針對原始的一些數據和條件進行分析與加工，從而提煉和推斷出數學模型，在對其分析求解，從而解決問題。

我們都知道，這幾個層次是由淺入深的，其中最后一個層次是一個完整且典型的數學建模問題，但在中學階段，我們應該將能力定位在第三個層次，這主要是由于，就針對中學生來講，他們建模能力的形成是對基礎知識和能力進行鍛煉而產生的綜合性的效果，主要的目的還是在于打基礎，但從另一個角度來講，如果僅僅關注基礎問題，就很難實現實際能力的突破。鑒于此，新課標要求在中學階段能夠進行一次較為完整的建模教學活動，所以，我們完全可以在實際的教學過程中有意識地引入第四個層次的內容，鼓勵學生進行完整的建模訓練之中。事實上，對中學數學應用進行準確的建模定位，對于教師更好地指導學生開展建模教學活動，有著非常現實的意義，可以避免教師陷入不必要的盲目教學應用過程中。③

我們舉例來講，在中學數學應用的過程中，需要學生解答這樣的一個問題：本市出租車的計費標準，4以及4千米以內的話按照10元收取，如果4千米<里程數<10千米，超出4千米的里程按照1.2元每千米的價格收費，如果超過了18千米，則按照1.8元每千米的價格來收費。 鼓勵學生通過思考，用不同的數學形式來進行表述，例如說函數的形式、解析式的形式以及列表的形式等等。最終得出的結果如圖2所示：

4 結語

近年來，隨著科學技術的不斷向前發展，將數學知識與實際應用結合起來的理念正得到越來越多的數學教育者的重視與認同，數學應用問題，不僅能夠很好地反映數學問題與實際生活問題之間的聯系，建立有效的數學模型，能將這種聯系更為簡潔、生動地表現出來，在當下非常值得推崇，因此，中學數學教學者應該認識到這一點，通過多種有效措施來推進數學建模的教學實踐活動。

注釋

① 駱魁敏.信息技術與高中數學建模課程整合的研究[J].信息技術教育，2009（6）.

② 高中數學課程標準制定組.高中數學標準的框架設想[J].數學教育學報，2011（2）.

③ 譚佩貞.中學數學建模教學的若干原則[J].四川師范學院學報，2012（1）.