玫瑰線軌跡模型及其仿真實驗

摘 要： 建立了玫瑰線軌跡模型，對模型進行了理論證明并使用Mathematica軟件對其做了仿真實驗。理論與實驗均表明，當模型中參數時，即可得到玫瑰線軌跡ρ=acosnθ。該模型從運動的角度揭示了玫瑰線的生成規則，為機械繪制玫瑰線提供了理論依據。

關鍵詞： 玫瑰線； 軌跡； 仿真實驗； Mathematica軟件

中圖分類號：TP391 文獻標志碼：A 文章編號：1006-8228（2013）04-01-03

Model of rose curve trajectory and simulation experiment

Wang Fugui1， Wang Jianwei2

（1. College of Arts and Sciences， Shanxi Agricultural University， Taigu， Shanxi 030801， China；

2. College of Information Science and Engineering， Shanxi Agricultural University）

Abstract： The model of rose curve trajectory is given in this paper in which it is proven theoretically. A simulation experiment has been done using mathematical software. Both the theory and experiment indicate that when ， ρ=acosnθ can be achieved. The formation rule of the rose curve is revealed based on motion. Theoretical evidence for related mechanical drawing is provided.

Key words： rose curve； trajectory； simulation experiment； Mathematical softwares

0 引言

玫瑰線的極坐標方程為ρ（θ）=acosnθ，如ρ（θ）=acos3θ表示3葉玫瑰線，ρ（θ）=acos2θ表示4葉玫瑰線等[1，2]。由于玫瑰線的曲線美觀，所以使用玫瑰線可以設計出許多非常漂亮的幾何圖案[3]。許多學者對玫瑰線的幾何特性作了研究，熊作朝先生研究了玫瑰線的周長[4]，潘陸益先生等研究了玫瑰線的花瓣數及周期性等[5，6]，李星秀先生等研究了逐點生成算法[7]。玫瑰線有許多實際應用，如掃描瞬時視場[8]，安全底紋的設計[9]等。本文建立了玫瑰線的軌跡模型，并使用Mahtematica程序設計語言編寫了玫瑰線軌跡仿真程序[10，11]。

1 軌跡模型

1.1 模型描述

如圖1所示，設動圓半徑為，動圓圓心初始位置為A（，0），動圓上的動點Q的初始位置為B（a，0），動圓的圓心P繞著原點O（0，0）勻速公轉，角速度為ω（ω>0時為逆時針旋轉，ω<0時為順時針旋轉），同時動圓上的動點Q繞著動圓的圓心勻速自轉，自轉的角速度為kω，即自轉角速度為公轉角速度的k倍，則點Q的運動軌跡即為玫瑰線。

1.2 模型證明

由于P點旋轉的角速度為ω，Q點旋轉的角速度為kω，故在t時刻時∠AOP=ωt，∠BPQ=kωt，如圖2所示。所以動點Q在t時刻的直角坐標為：

⑴

t時刻Q點與原點之間距離平方為：

⑵

假設t時刻Q點在極坐標系下的極角為θ（t），則

⑶

當t充分小時，與均位于第1或第4象限，故。

取，從而有：

⑷

下面驗證對于任意的時刻t時，⑷式均成立。現把⑷式轉換為直角坐標系下坐標。

⑸

⑹

由⑸式與⑹式可知，Q運動軌跡的極坐標方程為

⑺

1.3 模型應用

從⑺式知，模型中的參數k取不同的值，將得到不同的玫瑰線軌跡。令，得，故當模型中的參數時，即得到模型中Q點的運動軌跡為玫瑰線ρ（θ）=acos（nθ）（n≠1）。

2 仿真實驗

2.1 仿真程序

我們在Mathematica7.0環境下編寫了模型仿真函數roseLineTrajectory，函數roseLineTrajectory輸出動點Q的運動軌跡。源代碼如下：

roseLineTrajectory[a_， k_， Dynamic[t_]] ：=

DynamicModule[{angleCalc， p， q， tt， g}，

g[] ：= （p = RotationMatrix[t].{a/2， 0}；

（*點P在t時刻位置*）

q=RotationMatrix[k t].{a/2， 0}；

（*點Q在t時刻相對于P點的偏移量*）

Show[Graphics[{{Dashed， Circle[{0， 0}， a/2]

（*P點運動軌跡*）}，

{Dotted， Circle[p， a/2]}，

Circle[p， a/2， {Min[k t， 0]， Max[k t， 0]}]，

Circle[{0， 0}， a/2， {Min[0， t]， Max[0， t]}]，

PointSize[Medium]，

Point[p]，

Point[p+q]，

Arrow[{{0， 0}， p}]， Arrow[{p， p + q}]}，

PlotRange->{{-a-0.1， a+0.1}，{-a-0.1，a+0.1}}，

Axes -> True，

AxesLabel -> {x， y}]，

ParametricPlot[

RotationMatrix[u].{a/2， 0} +

RotationMatrix[k u].{a/2， 0}， {u， -10^-8， t}，

PlotStyle -> Thick，

PerformanceGoal -> \"Quality\"]]）；

LocatorPane[Dynamic[tt，

（angleCalc @@ Normalize /@ {#， tt}） ]，

Dynamic[g[]]， Appearance -> None]，

Initialization ：> （tt = {1， 0}； t = 0；

angleCalc[newp_， oldp_] ：= （t = t +

ArcCos[newp.oldp] Sign[Cross[newp].（newp-oldp）]；

tt={Cos[t]， Sin[t]}））

]

2.2 仿真程序測試

要得到3葉玫瑰線軌跡，可取參數k=-2，故調用模型仿真函數如下：

roseLineTrajectory[1， -2， Dynamic[t]]

輸出仿真交互界面如圖3所示。

使用鼠標在圖3中拖動點P，可使點P繞原點旋轉，程序將動態地輸出動點Q所劃過的軌跡，如圖4所示。

當P點旋轉一周以上時，得到Q點的運動軌跡為一條封閉的3葉玫瑰線ρ（θ）=cos（3θ），如圖5所示。

取參數時，輸入：

roseLineTrajectory[1， -4/3， Dynamic[t]]

可得到如圖6所示的7葉玫瑰線。

3 結束語

本文建立了玫瑰線的軌跡模型，對模型進行了計算機仿真實驗，通過實驗驗證了理論的正確性。通過調整模型中參數k的值，可以得到不同的玫瑰線軌跡，故該模型可以應用于機械繪制任意玫瑰線，可使玫瑰線的應用更加廣泛。

參考文獻：

[1] 同濟大學數學教研室.高等數學上冊（第4版）[M].高等教育出版社，1996.

[2] 李億民.關于多葉玫瑰線的一個注記[J].山東理工大學學報（自然科學版），2009.23（2）：88-90

[3] 楊濤，王坤茜，徐人平等.函數圖形中的玫瑰線在紡織中的應用[J].毛紡科技，2008.10：40-43

[4] 熊作朝.關于玫瑰線周長的一個恒等關系[J].思茅師范高等?？茖W校學報，2011.27（3）：13-14

[5] 潘陸益.玫瑰線及其應用研究[J].計算機應用與軟件，2008.25（10）：236-238

[6] 金義明，張三元.廣義玫瑰線及其應用[J].計算機應用研究，2004.3：170-171

[7] 李星秀，康寶生.玫瑰線和普通旋輪線的逐點生成算法[J].計算機工程與設計，2006.27（5）：746-748

[8] 張磊，裘雪紅.一種新的確定\"玫瑰線\"掃描中瞬時視場的方法[J].紅外技術，2003.25（1）：44-47

[9] 亓文法，李曉龍，楊斌等.動擺線及其在安全底紋設計中的應用[J].計算機輔助設計與圖形學學報，2008.20（2）：267-272

[10] Sal Mangano.Mathematica Cookbook[M].O'Reilly Media，2010.

[11] 張韻華，王新茂.Mathematica7實用教程[M].中國科學技術大學出版社，2011.